- •Элементы логики. Функции. Действительные числа.
- •Числовые множества
- •Эквивалентные множества. Конечные и бесконечные множества
- •Бином Ньютона
- •Предел последовательности. Подпоследовательности и частичные пределы
- •Свойства последовательностей имеющих предел (сходящиеся последовательности)
- •Предел функции. Частичный предел функции
- •Непрерывные функции.
- •Производная. Основные теоремы дифференциального исчисления функций одной переменной. Формула Тейлора и её применения.
- •Исследование функций одной переменной с помощью аппарата дифференциального исчисления
- •Неопределённый интеграл
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций
- •Интеграл Римана
- •Проведя в точках деления a,b прямые, параллельные оси ординат, разобьем криволинейную трапецию на n частичных трапеций. В каждом частичном интервале возьмем точки 1,2,…,т, так что
- •Оценка интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле
- •Приложения определенного интеграла
- •Метод прямоугольников. Пусть требуется вычислить интеграл
- •Несобственные интегралы
Элементы логики. Функции. Действительные числа.
В математике часто некоторые словесные выражения заменяют посредством символов. Так, например, символом заменяют выражение "для произвольного", или "для любого", или"какого бы ни было", а символом — выражение "существует", или "найдется". Символы и называются кванторами.
Запись А => В {импликация) означает, что из справедливости высказывания А вытекает справедливость высказывания В. Если, кроме того, из справедливости высказывания В вытекает справедливость А, то записываем . Если, то высказывание В является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание А.
Если предложения А и В справедливы одновременно, то записываем . Если же справедливо хотя бы одно из предложений А или В, то записываем .
Операции над множествами.
Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.
Множество обозначают символом А = {х}, где х — общее наименование элементов множества А. Часто множество записывают в виде А = {а, b, с,...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества А.
Будем пользоваться обозначениями:
N - множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных чисел;
С - множество всех комплексных чисел;
Z0 - множество всех неотрицательных целых чисел.
Запись означает, что элемент а принадлежит множеству А.
Запись означает, что элемент а не принадлежат множеству А.
Множество В, все элементы которого принадлежат множеству А, называется подмножеством множества А, и при этом записывают . Всегда , так как каждый элемент множества А, естественно, принадлежит А. Пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента, обозначим символом . Любое множествосодержит пустое множество в качестве своего подмножества.
Определение 1. Если ,то А и В называются равными множествами, при этом записывают А = В.
Определение 2. Если , то множество элементов множества J, не принадлежащих А, называется дополнением множества А к множеству J.
Дополнение множества А к множеству J обозначают символом или просто СА, если известно, к какому множеству берется дополнение. Таким образом,
.
Если ,, то иногда дополнениемножества В к множеству А называют разностью множеств А и В и обозначают А\В, т. е.
.
Пусть А и В подмножества множества J.
Определение 3. Объединением множеств А и В называется множество
.
Аналогично, если, подмножества множестваJ, то их объединением будет множество
.
Определение 4. Пересечением подмножеств А и В называется множество (рис. 5)
Аналогично, символом обозначают пересечение подмножеств, множества J, т. е. множество
.
Определение 5. Симметрической разностью двух множеств А и В называется множество, определяемое объединением разностей А\В и В\А (рис. 6).
Симметрическую разность обозначают символом .
Определение 6. Два элемента а и b называются упорядоченной парой, если указано, какой из этих элементов первый, какой второй, при этом ((а, b) = (с, d)) <=> (а = с b = d).
Упорядоченную пару элементов а и b обозначают символом (а, b).
Аналогично определяется упорядоченная система из n элементов , которую обозначают символом.Элементы называются координатами упорядоченной системы .
Определение 7. Совокупность всевозможных упорядоченных пар (а, b), где , , называется произведением множеств А и В и обозначается символом .
Аналогично, символом ,обозначают произведение множеств , т. е. совокупность всевозможных упорядоченных систем , где .