дополнительно для заочников по матем

41

1 1

4

7

1 1

4

7

1 1

4

7

0 − 2 2

− 2

~

0 1

−1

1

~

0 1

−1

1

2 1 −1

3

0 −1

−

9

0 0

−10

−10

−11

Соответствующая диагональная система уравнений имеет вид

λ1 + λ2 + 4λ3 = 7,

λ2

− λ3 =1,

−10λ3 = −10.

Решая эту систему, получаем: λ1 =1,

λ2 = 2,

λ3 =1.

Таким

образом,

λ = a + 2

+

c

,

т.е.

вектор

b

d

в

базисе

a,

, c имеет координаты 1, 2, 1.

b

Ответ: (1, 2, 1).

Задание 3. Матрица системы имеет вид

1

0

−1

A =

1

1

1

0

1

3

A

A

A

1

11

21

31

A−1 =

A

A

A

∆

12

22

32

A

A

A

13

23

33

A11 =

1 1

= 2,

A21

= −

0 −1

= −1,

A31

=

0 −1

=1,

1

3

1

3

1

1

A12

= −

1 1

= −3, A22

=

1 −1

=3, A32 = −

1 −1

= −2 ,

0

3

0

3

1

1

A13

=

1 1

=1, A23 = −

1 0

= −1, A33

=

1 0

=1.

0

1

0

1

1

1

Тогда

2

−1

1

A−1 =

−3 3

− 2

1

−1

1

x

2

−1

1

2

1

x

2

=

−3 3 − 2

6

1

−1

1

5

x3

0,4x

+ 0,3x

≤300,

4x +

3x

≤3000,

1

2

≤180,

1

2

≤1800,

0,2x1

+ 0,3x2

2x1 +

3x2

80x1

+ 40x2 ≥32000, или

x2 ≥800,

2x1 +

x

≥ 0,

x

≥ 0,

1

1

x2 ≥ 0.

x2 ≥ 0.

4x1 + 3x2

=3000,

2x

+ 3x

2

=1800,

1

+ x2 =800,

2x1

x

= 0,

1

x2 = 0.

44

х2

100

800

600

A

B

D

C

0

400

750

900

х1

Пересечение отмеченных полуплоскостей – многоугольник

АВСD яв-

ляется искомой областью допустимых вариантов товарооборота.

Задание 5.

1. lim

3x2

− 2x −8

.

2x2

−5x + 2

x→x0

lim

3x2 − 2x −8

=

3 42 − 2 4 −8

=

32

=

16

.

14

7

x→4

2x2 −5x + 2 2 42 −5 4 + 2

16 .

Ответ:

7

б) х0 = 2. Теорему о пределе элементарной функции здесь при-

менить нельзя, так как в точке

2 знаменатель рассматриваемой дроби

обращается в нуль. Имеем неопределенность вида

0

0

. Так как при

4

3x2 − 2x −8

3 x +

3x + 4

3 2 + 4

10

lim

= lim

3 (x − 2)

= lim

=

=

.

2x2 −5x + 2

1

2x −1

2

2

−1

3

x→2

x→2

x→2

2 x −

(x − 2)

2

3x

2

− 2x −8

3

− 2

x

− 8

3

lim

= lim

x2

=

.

2x2 −5x + 2

− 5

+ 2

x→∞

x→∞ 2

x

2

x2

Ответ: 3 .

1 − cos6x

2

2. lim

. При x →0

числитель и знаменатель дроби

x( 4 + x −

x→0

2)

0 . Чтобы

стремятся к нулю,

т.е.

мы имеем неопределенность вида

0

менателе, умножив числитель и знаменатель дроби на

( 4 + x + 2),

числитель преобразуем по формуле 1 − cos 6x = 2sin 2 3x и

воспользу-

емся известным пределом lim

sin x

=1. Таким образом,

x

x→0

lim

1

− cos6x

= lim

2sin2 3x( 4

+ x + 2)

=

x(

4 + x −

2)

4 + x +

x→0

x→0 x( 4 + x − 2)(

2)

lim

2sin2

3x( 4 + x + 2)

= 2lim( 4

+ x + 2) lim

sin2 3x

=

x2

x2

x→0

x→0

x→0

sin 3x 2

sin 3x

2

2

=8 lim

9 = 72lim

= 72 1 = 72.

x→0

3x

x→0 3x

Ответ: 72.

2n

−1 3n−2

∞

3. lim

. Имеем неопределенность вида 1

. Выраже-

n→∞ 2n

+ 3

2n −1

3n−2

2n

−

1

3n−2

− 4

3n−2

=

lim

= lim 1 +

−1

= lim 1 +

2n

+

3

2n +

n→∞ 2n + 3

n→∞

n→∞

3

2n+3

−4

(3n−2)

− 4

2n+3

−4

= e

−6

= lim

1

+

,

2n +

n→∞

3

так как

2n+3

− 4

− 4(3n − 2)

−4

= e и

lim 1 +

lim

= −6

2n +

2n

+ 3

n→∞

3

n→∞

Ответ: −6 .

Задание 6.

Эластичность спроса относительно цены Ep(q) опре-

деляется

по формуле

Ep (q) =

p

′

q

q ( p) . Рассмотрим функцию

5 p + 2

q =

. Найдем производную

p −1

5( p −1) −(5 p + 2)

5 p −5 −5 p − 2

′

7

q ( p) =

( p −1)2

=

( p −1)2

= −

.

( p −1)2

Тогда

Ep (q) = −

p( p −1)

7

= −

7 p

.

(5 p + 2)

( p −1)2

(5 p + 2)( p −1)

При р = 2

получаем

E2

( p) = −

14

= −

7

≈ −1,17% . Это означает, что

12

6

если цена возрастет на 1 %

(от 2 до 2,01), то спрос на товар уменьшит-

ся приблизительно на 1,17 %.

47

Задание 7. y =

x

.

(x −1)2

Исследование функции проводим по следующей схеме:

1. Находим область определения функции.

Функция не определена лишь в точке х = 1, в которой знамена-

тель обращается в нуль. Следовательно,

D( f ) = (−∞, 1) (1, + ∞).

2. Исследуем функцию на четность и нечетность. Функция не

является ни четной, ни нечетной, так как

f (−x) =

− x

= −

− x

и f (−x) ≠ f (x), f (−x) ≠ − f (x).

(−x −1)2

(x +1)2

3. Исследуем функцию на непрерывность и определим верти-

кальные асимптоты.

Исследуем поведение функции в окрестности точки х = 1. Функ-

ция имеет разрыв второго рода в точке х = 1, причем

lim

x

= +∞,

lim

x

= +∞. Следовательно, прямая х = 1 яв-

(x −1)2

(x −1)2

x→1−0

x→1+0

ляется

вертикальной

асимптотой

графика

функции

при

x →1 − 0

и

x →1 + 0 . В каждой точке области определения функция

y

′

(x −1)2 − 2x(x −1)

(x −1)(x −1 − 2x)

(x +1)

=

(x −1)4

=

(x −1)4

= − (x −1)3 .

Решаем уравнение

y′= 0, т.е.

−

x +1

= 0 x = −1.

(x −1)3

Таблица 1

х

(−∞, 1)

−1

(−1, 1)

(1, + ∞)

y′

–

0

+

–

у

− 1

4

min

Из табл. 1 следует, что функция в интервалах (−∞, −1)

и (1, + ∞) убы-

вает, так как y′< 0 ;

в интервале (−1,1) возрастает, так как y′> 0 .

′′

x +1

′

(x −1)

3

−3(x −1)

2

(x

+1)

y

−

=

3

6

=

(x −1)

= −

(x −1)

= −

(x −1)2 (x −1 −3x −3)

=

2(x + 2)

.

(x −1)6

(x

−1)4

Решаем уравнение

y′′= 0 , т.е.

2(x + 2) =

0

x = −2 .

(x −1)4

Итак, х = –2

– критическая точка второго рода. Других критических

точек нет.

Найденная критическая точка х = –2

разбивает область опреде-

ления на следующие интервалы:

(−∞, − 2),

(−2, 1),

(1, + ∞).

Определим знак y′′

на каждом из этих интервалов. Результаты

поместим в табл. 2.

49

Таблица 2

х

(−∞, − 2)

− 2

(−2, 1)

(1, + ∞)

y′′

–

0

+

+

y

Выпукла

−

2

Вогнута

Вогнута

∩

9

перегиб

Из табл. 2

видно, что в интервале (−∞, − 2) кривая выпукла, так как

y′′< 0 ; а в интервалах (−2, 1) и

(1, + ∞)

– вогнута, так как y′′> 0 .

При переходе через критическую точку второго рода

х = –2 сле-

ва направо вторая производная

меняет

знак. Следовательно, точка

х = –2 является точкой перегиба, причем f (−2) = − 2 .

9

7. Определяем горизонтальные асимптоты. Так как

x

1

lim

= lim

x

= 0,

2

x→±∞ (x −1)2

x→±∞

1

1

−

x

то прямая

у = 0 является горизонтальной асимптотой графика функ-