10.9. Теорема про мінімум потенціальної енергії

Розглянемо три рази статично невизначувану систему (Рис.10.20,а), зусилля в елементах якої визначити тільки з рівнянь рівноваги неможливо. Перетворимо систему в статично визначувану, відкинувши відповідне число зв'язків. У даному прикладі (Рис.10.20,б) відкинуті три зв'язки – шарнірно рухомі опори В, С і D. Дію відкинутих зв'язків замінимо відповідними реакціями , які будемо розглядати як незалежні зовнішні навантаження.

Рис.10.20

Обчислимо за методом Кастільяно переміщення точок прикладення силв напрямку їх дії:

; ;,

де  потенціальна енергія деформації системи.

Оскільки ці переміщення дорівнюють нулю, то

; ;. (10.49)

Рівняння (10.49) є необхідною умовою екстремуму функції . Легко бачити, що цей екстремум є мінімумом, оскільки відповідно до формули (10.46) другі частинні похідні функціїподорівнюють:

; ;. (10.50)

Переміщення  завжди додатні величини, а додатний знак других похідних свідчить про те, що умови задачі (10.49) є умовами мінімуму функції .

Таким чином, приходимо до теореми про мінімум потенціальної енергії: в статично невизначуваних системах зайві невідомі зусилля набирають таких значень, при яких потенціальна енергія деформації має найменшу величину.

Ця теорема була встановлена італійським математиком, механіком і військовим інженером Луїджі Федеріго Менабреа (18091896) і названа його ім'ям. Теорема відома також як теорема про найменшу роботу, оскільки замість потенціальної енергії можна говорити про чисельно дорівнену їй роботу зовнішніх сил.

На підставі наведеної теореми можна зробити висновок, що при додаванні будь-яких зв'язків потенціальна енергія завжди зменшується.

10.10. Тести до теми №10 “Загальні теореми про пружні системи. Загальні методи визначення переміщень”

Таблиця 10.2

№	Питання	Час для відповіді, секунди
1	2	3
1	На яких двох фундаментальних принципах механіки заснований загальний метод визначення переміщень?	30
	1. Принцип Сен-Венана і закон Гука.
	2. Принцип суперпозиції і закон всесвітнього тяжіння.
	3. Принцип можливих переміщень і закон збереження енергії.
	4. Прицип Даламбера і закон Ньютона про дію і рівну їй протидію.
2	Як називаються групи постійних сил і відповідних переміщень, на яких ці сили виконують роботу?	20
	1. Зосереджені сили і лінійні переміщення.
Продовження таблиці 10.2
1	2	3
	2. Зосереджені моменти і кутові переміщення.
	3. Крутні моменти і кути закручування.
	4. Узагальнені сили та узагальнені переміщення.
3	Який вигляд має теорема про роботу зовнішніх сил (теорема Бетті)?	30
	1.
	2.
	3.
	4.
4	Що означає вираз:	20
	1. Роботу зовнішніх сил.
	2. Потенціальну енергію деформацій.
	3. Роботу внутрішніх сил.
	4. Повну роботу.
5	У якому випадку сума робіт зовнішніх і внутрішніх сил на можливих нескінченно малих переміщеннях точок системи дорівнює нулю?	30
	1. Якщо система складається з незалежних тіл, що вільно переміщуються одне стосовно іншого.
	2. Якщо система перебуває під дією неврівноважених сил.
	3. Якщо система тіл перебуває в рівновазі.
	4. Якщо система тіл випробує динамічне деформування.
6	Що виражає теорема Бетті?	30
	1. Рівність взаємних деформацій.
	2. Рівність взаємних напружень.
	3. Рівність взаємних робіт.
	4. Рівність взаємних переміщень.
7	Що виражає теорема Максвелла?	20
	1. Рівність взаємних деформацій.
	2. Рівність взаємних напружень.
	3. Рівність взаємних робіт.
	4. Рівність взаємних переміщень.

Продовження таблиці 10.2
1	2	3
8	Який з загальних методів визначення переміщень при плоскому згинанні надається формулою:	20
	1. Метод Лагранжа.
	2. Метод Кастільяно.
	3. Метод Максвелла.
	4. Метод Мора.
9	Який з методів визначення переміщень при розрахунку шарнірних ферм наданий формулою:	30
	1. Метод Мора.
	2. Метод Кастільяно.
	3. Метод Лагранжа.
	4. Метод Максвелла.
10	Визначити за допомогою методу Мора стрілу прогину (в мм) для балки, зображеної на рисунку, якщо жорсткість поперечного перерізу балки дорівнює кНм².	180
11	Використовуючи формулу Максвелла, знайти вертикальне переміщення вузла В (в мм) ферми, зображеної на рисунку, якщо жорсткості стержнів ферми однакові Н.	300
12	Визначити потенціальну енергію деформацій (в Нм) для балки, що згинається, зображеної на рисунку при жорсткості поперечного перерізу кНм².	240

Продовження таблиці 10.2
1	2	3
12	Визначити потенціальну енергію деформацій (в Нм) для балки, що згинається, зображеної на рисунку при жорсткості поперечного перерізу кНм².	240
13	Використовуючи вираз для потенціальної енергії деформацій і теорему Клапейрона, визначити стрілу прогину (у мм) для балки, зображеної на рисунку, якщо жорсткість поперечного перерізу балки кНм².	240
14	Зміст якої з теорем виражає рівняння: , де U  потенціальна енергія деформацій, Р – узагальнена сила.	30
	1. Теорема Максвелла.
	2. Теорема Кастільяно.
	3. Теорема Бетті.
	4. Теорема Лагранжа.
15	Використовуючи теорему Кастільяно, визначити стрілу прогину (у мм) для балки, зображеної на рисунку, якщо жорсткість поперечного перерізу балки кНм².	240
16	Зміст якої з теорем виражає рівняння: , де U  потенціальна енергія деформацій, – узагальнена координата.	30
	1. Теорема Максвелла.
	2. Теорема Кастільяно.
	3. Теорема Бетті.
	4. Теорема Лагранжа.


Продовження таблиці 10.2
1	2	3
17	Якою повинна бути потенціальна енергія деформацій конструкції відповідно до теореми Менабреа?	30
	1. Приймати максимальне значення.
	2. Приймати мінімальне значення.
	3. Дорівнювати нулеві.
	4. Приймати від’ємне значення.
18	Як називається графо-аналітичний метод визначення переміщень, наданий формулою: .	20
	1. Метод Мора.
	2. Метод Кастільяно.
	3. Метод Мора-Сімпсона.
	4. Метод Лагранжа.
19	Який з одиничних станів балки варто прийняти при визначенні за методом Мора-Сімпсона кута повороту перерізу А для балки, зображеної на рисунку?	30
	1.
	2.
	3.
	4.
20	Використовуючи метод Мора-Сімпсона, визначити прогин перерізу А зображеної на рисунку балки (у мм), якщо жорсткість поперечного перерізу балки кНм².	300
Продовження таблиці 10.2
1	2	3
21	Визначити за допомогою методу Мора-Сімпсона кут повороту перерізу А зображеної на рисунку балки (в рад), якщо, жорсткість поперечного перерізу балки кНм².	240