- •Тема 14 розрахунок тонкостінних оболонок і товстостінних циліндрів
- •14.1. Поняття про безмоментну теорію розрахунку тонкостінних оболонок
- •14.3. Теореми про проекцію рівнодіючих сил тиску
- •14.4. Розрахунок товстостінних циліндрів
- •Розв’язуючи ці рівняння щодо коефіцієнтів і, знаходимо: ; (14.28) . (14.29)
- •14.5. Окремі випадки розрахунку товстостінних циліндрів
- •14.6. Поняття про складені циліндри
- •14.7. Тести до теми №14 “Розрахунок тонкостінних оболонок і товстостінних циліндрів” Таблиця 14.1
Розв’язуючи ці рівняння щодо коефіцієнтів і, знаходимо: ; (14.28) . (14.29)
Підставляючи вирази для коефіцієнтів (14.28), (14.29) у формули (14.23)(14.25), одержимо формули Ламе для визначення радіального переміщення і напружень:
; (14.30)
; (14.31)
. (14.32)
Якщо скласти ліві і праві частини виразів для і, можна переконатися в тому, що сума радіального та колового напружень є величиною сталою:
.
Відносна деформація вирізаного з тіла циліндра кільця одиничної ширини в напрямку осі циліндра, також буде сталою:
.
Отже, циліндр можна розглядати, як складений з окремих кілець, нанизаних на вісь. Поперечні перерізи циліндра при деформації залишаються плоскими.
Формули Ламе виводилися для циліндра, у якого відсутнє днище. При наявності днища в поперечних перерізах виникають осьові напруження (Рис.14.16).
Рис.14.16
Допускаючи рівномірний розподіл напружень по товщині стінки, що є цілком справедливим вдалині від днища, і складаючи рівняння рівноваги на вісь, одержимо:
.
Звідки
. (14.33)
Порівнюючи цю формулу з рівняннями (14.31), (14.32), легко встановлюємо, що в даному випадку осьове головне напруження є середнім арифметичним між коловим і радіальним напруженнями:
.
Знаючи осьове напруження , визначимо збільшення радіального переміщення:
.
При наявності днища це збільшення варто додати до радіального переміщення, розрахованого за формулою (14.30).
Розглянемо кілька окремих випадків навантаження циліндра [3].
14.5. Окремі випадки розрахунку товстостінних циліндрів
1. Циліндр навантажений тільки внутрішнім тиском, зовнішній тиск малий або їм можна знехтувати, тобто ;.Формули для напружень і радіальних переміщень виглядають так:
; (14.34)
; (14.35)
; (14.36)
Зазвичай один з радіусів циліндра – внутрішніх або зовнішній – буває відомий з умов, що випливають з призначення конструкції, наприклад, внутрішній діаметр циліндра відомий з умови його вантажної під’ємності і тискові рідини. Тому вирази (14.34)(14.36) зручно привести до такого виду, при якому шуканим є відношення радіусів . Виразимо за допомогою цього відношення радіальні й колові напруження на внутрішній поверхні циліндра (при):
. (14.37)
Радіальні переміщення внутрішньої поверхні (збільшення внутрішнього радіуса циліндра) дорівнюватиме:
. (14.38)
Напруження і переміщення на зовнішній поверхні циліндра будуть такими:
; (14.39)
. (14.40)
Епюри напружень ідля розглянутого випадку при відношеннінаведені на рис. 14.17,а.
Рис.14.17
Найбільш небезпечною з точки зору міцності є точка, що знаходиться у внутрішньої поверхні циліндра.
Визначимо допустимий внутрішній тиск у циліндрі при безмежному збільшенні товщини стінки. Припускаючи і приймаючи в формулах (14.37), одержимо;.
Використаємо третю теорію міцності і з огляду на те, що у випадку, що розглядається, ;, одержуємо:
,
звідки
.
Таким чином, циліндр навіть з товщиною стінки нескінченно великою не витримує за міцністю, якщо внутрішній тиск перевищує половину величини допустимого напруження, прийнятого для матеріалу циліндра. У даному випадку збільшення товщини стінки не гарантує збільшення міцності.
2. Циліндр навантажений тільки зовнішнім тиском: ;. У цьому випадку формули Ламе для напружень (14.31), (14.32) і для переміщень (14.33) набувають наступного вигляду:
; (14.41)
; (14.42)
; (14.43)
Обоє напруження стискальні, причому за абсолютною величиною , а радіальне переміщення спрямовано до осі стержня (радіуси зменшуються).
У внутрішньої поверхні циліндра напруження дорівнюватимуть:
. (14.44)
Радіальне переміщення внутрішньої поверхні стінки циліндра дорівнюють:
. (14.45)
У зовнішньої поверхні циліндра:
; (14.46)
. (14.47)
Епюри напружень ідля випадку, що розглядається, при відношеннінаведені на рис.14.17,б. Найбільшого значення за абсолютною величиною напруженнядосягає у внутрішньої поверхні циліндра. У точках внутрішньої поверхні виникає лінійний напружений стан, напруженняпри,,. Так само, як і в попередньому окремому випадку навантаження максимальна величина допустимого зовнішнього тиску не може перевищувати половини величини допустимого напруження, встановленого для матеріалу циліндра.