- •Тема 7 общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений
- •7.1. Понятие о потенциальной энергии деформации. Закон сохранения энергии. Обобщенная сила и обобщенная координата
- •7.3. Вычисление потенциальной энергии деформации. Определение перемещений при непосредственном использовании потенциальной энергии
- •При плоском поперечном изгибе
- •7.5. Вычисление интегралов Мора по способу Симпсона
- •7.6. Матричный метод определения перемещений по способу Мора-Симпсона
- •7.7. Теоремы о взаимности работ и взаимности перемещений
- •7.8. Теорема Кастильяно. Теорема Лагранжа
- •7.9. Теорема о минимуме потенциальной энергии
- •7.10. Тесты к теме №7 “Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений”
7.6. Матричный метод определения перемещений по способу Мора-Симпсона
С развитием ЭВМ стало возможным выполнять громоздкие вычисления, связанные с определением перемещений, с помощью электронных машин. Особенно удобно это делать в том случае, если вычисление перемещений предполагает использование таких простых арифметических операций, как перемножение и сложение. Именно на использовании таких операций основан метод Мора-Симпсона.
Из курса линейной алгебры известно, что матрицей называется таблица, содержащая информацию в виде чисел, расположенных в определенном порядке в виде строк и столбцов. Например, матрица имеетстолбцов истрок:
.
С матрицами можно выполнять некоторые операции: сложение вычитание, умножение, обращение, транспонирование. Транспонированной называется матрица, у которой столбцы и строки меняются местами:
.
Матрицы А и В, имеющие одинаковое число строк и столбцов, можно складывать. В результате получим матрицу С, элементы которой имеют вид:
,
где матрица имеетстолбцов истрок.
При перемножении матриц следует пользоваться следующим правилом: число столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В. Перемножим, пользуясь эти правилом, матрицы А и D. Матрица имеет столбцов истрок:
.
Перемножая матрицы А и D, имеем:
При этом переместительный закон не действует:
.
Представим в матричном виде единичные и грузовые изгибающие моменты, приведенные на рис. 7.14 для одного участка.
; .
Рис.7.14
Транспонируем матрицу единичных моментов:
и введем еще одну матрицу В, которую назовем матрицей податливости:
.
Перемножая матрицы ,и, получим перемещение в матричном виде:
.
Легко увидеть, что в результате перемножения матриц перемещение приобретает вид, совпадающий с формулой Мора-Симпсона:
.
Сформулируем теперь порядок определения перемещений по методу Мора-Симпсона матричным способом при наличии нескольких участков и при необходимости определения ряда перемещений, например, прогибов и углов поворота в нескольких сечениях.
1. Изображаем грузовое состояние системы и столько единичных состояний, сколько перемещений требуется определить. Нумеруем участки балки, в пределах каждого из которых проставляем по три характерных сечения: на левом конце участка, посредине и на правом конце участка. Следует отметить, что число участков и “характерных” сечений на грузовом и единичном состояниях балки должно быть одинаковым.
2. Строим эпюры грузовых и единичных изгибающих моментов, где число определяемых перемещений.
3. Составляем матрицы грузовых и единичных изгибающих моментов:
; .
Здесь число “характерных” сечений.
Составляем матрицу податливости В:
,
где число участков.
4. Вычисляем перемещения по формуле Мора-Симпсона, записанного в матричном виде:
,
где матрица результирующих перемещений:
.