- •Розділ 1. Лінійна алгебра
- •1.1 Матриці та дії над ними
- •1.2 Означення та основні властивості визначників
- •1.3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Індивідуальне завдання за темою „Лінійна алгебра”
- •Розділ 2. Векторна алгебра
- •2.1 Поняття вектора та лінійні операції над векторами
- •2.2 Вектори у декартовій системі координат
- •2.3 Скалярний добуток векторів
- •2.4 Векторний добуток векторів
- •2.5 Змішаний добуток векторів
- •Індивідуальне завдання за темою „Векторна алгебра”
- •Розділ 3. Аналітична геометрія на площині
- •3.1 Пряма лінія на площині
- •3.2 Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола та парабола
- •Індивідуальне завдання за темою „Аналітична геометрія на площині”
- •Розділ 4. Аналітична геометрія у просторі
- •4.1 Площина у просторі
- •4.2 Пряма у просторі
- •Індивідуальне завдання за темою „Аналітична геометрія у просторі”
2.5 Змішаний добуток векторів
Змішаним (або векторно-скалярним) добутком трьох векторів,таназивається сукупність операцій:
. |
(2.26) |
Змішаний добуток трьох векторів – це скалярний добуток одного з цих векторів на векторний добуток двох інших векторів.
Геометричний зміст змішаного добутку: модуль змішаного добутку трьох векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда (рис. 2.11), побудованого на цих векторах, як на його ребрах.
Рис. 2.11 | |
(2.27) |
Якщо вектори задані в координатній формі ,та, то змішаний добуток векторів можна записати у вигляді
. |
(2.28) |
Властивості змішаного добутку векторів:
1) ;
2) ;
3) ;
4) , якщо вектори,такомпланарні;
5) , якщо вектори,таутворюють праву трійку векторів;
6) , якщо вектори,таутворюють ліву трійку векторів.
Основні задачі, які розв’язуються з використанням змішаного добутку векторів:
1) об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах ,та
; |
(2.29) |
2) об’єм піраміди, побудованої на векторах ,та
; |
(2.30) |
3) висота паралелепіпеда
; |
(2.31) |
4) висота піраміди
. |
(2.32) |
Індивідуальне завдання за темою „Векторна алгебра”
Дано координати точок . Необхідно:
Знайти модуль та напрямок вектора у просторі.
Знайти кут між векторами та.
Знайти проекцію вектора на напрям вектора.
Знайти вектор , перпендикулярний до вектораі до.
Обчислити площу трикутника АВС.
Знайти висоту паралелограма, побудованого на векторах і.
Обчислити об’єм піраміди .
Перевірити, чи колінеарні вектори і.
Перевірити, чи ортогональні вектори і.
Перевірити, чи належать точки до однієї площини.
Варіант 1 |
(0; -1; 2) |
(1; 2; 1) |
(-3; 2; 1) |
(0; 0; -1) |
(2; 6; -3) |
Варіант 2 |
(-1; 3; 0) |
(2; 1; -1) |
(3; -1; 2) |
(1; -1; 3) |
(5; 2; 2) |
Варіант 3 |
(0; 3; 1) |
(2; -1; 3) |
(0; 2; 1) |
(0; 1; 3) |
(1; -1;-4) |
Варіант 4 |
(-1; 2; 3) |
(-1; 3; 0) |
(0; -1; 2) |
(-2;1;-1) |
(5; 2; 3) |
Варіант 5 |
(2; -2; 0) |
(-2; -1;3) |
(1; -2; 0) |
(-1; 0; 1) |
(7;-2; -5) |
Варіант 6 |
(-2; 0;-1) |
(1; -2; 0) |
(0; 1; 1) |
(2; 0; -3) |
(-1; 1; 4) |
Варіант 7 |
(0; 1; -2) |
(2; 2; -1) |
(-1; -1;0) |
(-1;-1;0) |
(5; 2; 3) |
Варіант 8 |
(3; 1; -1) |
(2; -1; 0) |
(2; 1; 0) |
(2; 1; 3) |
(4; 0; 0) |
Варіант 9 |
(3; 2; 0) |
(1; -1; 1) |
(2; 0; -1) |
(2; 0; -1) |
(6; 6; -3) |
Варіант 10 |
(0; -3;-1) |
(1; 0; -2) |
(-1; 0; 2) |
(0; 0; 1) |
(-1; 1; 5) |
Варіант 11 |
(2; 1; -2) |
(1; 2; 3) |
(0; 3; 1) |
(-1;-2;-3) |
(2;-5;-18) |
Варіант 12 |
(0; 3; -2) |
(1; -2; 1) |
(-1; 0; 3) |
(1; -2; 0) |
(-4; 0; 4) |
Варіант 13 |
(2; -1; 3) |
(0; 1; -1) |
(-2; 3; 1) |
(0; -1; 0) |
(1; -2; 2) |
Варіант 14 |
(0; 2; -1) |
(1; 3; -1) |
(-2; 1; 0) |
(3; 0; 1) |
(0; -1; 3) |
Варіант 15 |
(1; -1; 2) |
(3; 1; -2) |
(0; 1; -1) |
(2; 3; 0) |
(1; 2; 2) |
Варіант 16 |
(1; 0; 2) |
(-1; 2; 3) |
(1; 0; -3) |
(2; 1; -1) |
(5; 3; -1) |
Варіант 17 |
(1;-3;-2) |
(0; -2; 1) |
(2; -3; 1) |
(-1; 0; 0) |
(-4; 3; 9) |
Варіант 18 |
(1; -2; 2) |
(0; 1; 3) |
(2; 1; -1) |
(-3; 1; 0) |
(6; 2; 0) |
Варіант 19 |
(2; -1; 0) |
(0; 1; 1) |
(-2; 0; 1) |
(-1;-1;-1) |
(0; -2; 0) |
Варіант 20 |
(-3; 0; 1) |
(1;-2; -1) |
(0; 3; 1) |
(-2; 1; 0) |
(1; 4; 2) |
Варіант 21 |
(-3;1;-1) |
(0; 2; 1) |
(-1; 3; 2) |
(2; -2; 2) |
(-1;-3;0) |
Варіант 22 |
(-1;-2;-3) |
(2; 1; 0) |
(0; 1; -1) |
(-3;1;-1) |
(-1; 1; 0) |
Варіант 23 |
(-1; 0; 0) |
(1; 2; -3) |
(2; 0; -1) |
(1; 3; -1) |
(-1; 1; 2) |
Варіант 24 |
(0; 0; -2) |
(2; 1; -3) |
(0; 1; -2) |
(-2;-1;0) |
(1; 4; 3) |
Варіант 25 |
(-2;-1;-3) |
(-3; 1; 0) |
(2; 1; -1) |
(0; 1; 3) |
(-2; 5; 9) |
Варіант 26 |
(0; 1; -4) |
(2; 2; -3) |
(-1;3; -1) |
(1; 1; 1) |
(-2; 4; 0) |
Варіант 27 |
(-3;0;1) |
(-2; 1; 3) |
(0;-1; -2) |
(-1;-2;-5) |
(1; 0; 3) |
Варіант 28 |
(3; 0; -2) |
(2; 1; -3) |
(-1; 0; 2) |
(2;-1;-1) |
(2; 0; -1) |
Варіант 29 |
(-4; 0; 3) |
(-3; 1; 2) |
(-1; 0; 2) |
(0; -3; 1) |
(-3; 0; 4) |
Варіант 30 |
(2; 2; 2) |
(3; 2; 0) |
(-1; 3;-1) |
(-2;-1;3) |
(-1;-1;-1) |