Higher_Mathematics_Part_1
.pdfThe graph of the function |
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y = lim 1+ x |
) |
1 |
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is |
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v |
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||||||||||||||||||||
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x |
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||||||||||||||||||||||
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x→0 |
( |
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e |
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||||||||
in the Fig. 3.9. |
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||||||
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||||||
Number e is transcendental number. |
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|
l |
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|||||||||||||||||
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e |
≈ 2,718281828459045. |
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x |
||||||||||||||
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O |
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||||||||||||||||||
The second honorable limit is connected |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||
with indeterminate expression |
1∞ . ( u(x)v(x) , |
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Fig. 3.9 |
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u(x) →1, v(x) → ∞, if x → x0 ). |
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1) |
lim |
loga (1+ x) |
= loga e; |
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x→0 |
x |
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2) |
lim ax − 1 |
= ln a; |
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3) |
lim |
(1+ x)k − 1 |
|
= k. |
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||||||||||||||||||||
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x→0 |
x |
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x→0 |
x |
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|||||
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|||||||||||||||||||
Using the limit (3.3), we can find the limits |
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|||||||||||||||||||||||
If а = е then |
ln (1+ x) |
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lim ax − 1 |
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|
lim ex − 1 = 1. |
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|||||||||||||||||||||||
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lim |
= 1 , |
|
= ln a , |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x→0 |
x |
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x→0 |
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x |
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x→0 |
x |
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|||||
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Micromodule 14 |
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EXAMPLES OF PROBLEMS SOLUTION |
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Example1. Evaluate lim |
( |
x − 4 |
) |
tg |
πx . |
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||||||||||||||
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x |
→4 |
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8 |
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Solution. At x = 4 we have an indeterminacy [0 ∞] . |
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Let us put x − 4 = t. For x → 4, |
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t → 0 and we obtain : |
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lim ( x − 4 )tg |
πx |
= lim ttg |
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π (4 + t ) |
= |
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lim t |
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π |
+ |
πt |
|
= |
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8 |
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tg |
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||||||||||||||||||||||
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8 |
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2 |
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8 |
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x→4 |
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t→0 |
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t→0 |
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πt |
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t cos |
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πt |
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π |
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πt |
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|||||||||||
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8 |
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8 t cos 8 |
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||||||||||||||
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= lim t − ctg |
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= |
− lim |
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= |
− lim |
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= |
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|||||||||||||
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8 |
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πt |
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π |
πt |
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||||||||||||||||||||||||||
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t→0 |
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t→0 |
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t→0 |
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π |
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sin |
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8 |
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8 sin |
8 |
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||||
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= − lim |
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8 t |
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limcos |
πt |
= − |
1 |
1 = − |
8 . |
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|||||||||||||||||
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|
t→0 |
π sin πt t→0 |
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8 |
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π |
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|
π |
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||||||||||||||
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8 |
|
8 |
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8 |
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|||
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173 |
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2 |
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( |
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) |
2 |
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) |
2 |
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2 |
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2 |
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3x + 6 |
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= |
3t − 3 + 6 |
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t |
|
3 + |
3t |
t |
= 3 + t + 2t t |
= 1+ |
|
2t |
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t . |
||||||||||||||||||||||||||
|
x+1 |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
x + 4 ) |
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t − 1+ 4 |
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( 3 + t |
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3 + t |
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|
3 + t |
|||||||||||||||||||
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2 |
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lim |
4 |
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4 |
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||||
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3x + 6 |
x+1 |
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|||||||||||||||
Then |
lim |
= e |
t→0 |
3+t |
= e |
3 |
= |
3 |
e |
4 |
. |
|
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||||||||||||||||||||
|
x + 4 |
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||||||||||||||||||
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x→−1 |
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|||||||
Example 5. Evaluate |
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lim uv . |
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|||||||||||||||||
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u→1 |
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v→∞ |
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|||
Solution. We shall denote u = 1+ |
1 |
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for u → 1 y → ∞ . Then |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
||
|
|
|
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|
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|
|
v |
|
lim |
v |
|
|
|
lim |
v |
u−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
lim |
|
v→∞ y |
v→∞ |
( |
) |
||||||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v→∞ y |
y→∞ |
|
|
|
u→1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim u =. |
|
lim |
1 |
+ |
|
|
= |
lim |
1+ |
|
|
|
|
|
y→∞ |
|
= e |
|
|
= e |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
u→1 |
|
|
v→∞ |
|
|
|
|
y |
|
|
|
y→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
v→∞ |
|
|
y→∞ |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Thus, considering the indeterminacy such as |
1∞ |
it is possible to use the |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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lim v(u−1) v→∞
formula lim uv = e u→1 . (3.4).
u→1
|
|
v→∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
Example 5. Evaluate lim |
x2 |
. |
|||
|
|
|
|||
|
|||||
x→0 |
cos 2x |
|
Solution. We have an indeterminacy 1∞ . In this case we can use the
formula (3.4). We find:
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cos x |
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
cos x − cos 2x |
|
|
|
|
2sin |
3x |
sin |
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
= lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||
|
|
x |
2 |
|
x |
cos 2x |
x |
2 |
cos 2x |
|
|||||||||||||||||||||||||
x→0 |
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 sin 2 |
lim |
sin |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
= lim |
2 |
|
lim |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
3x |
|
x→ 0 |
2 |
x |
|
|
x→ 0 cos 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Thus, limx→0 ( |
cos x |
)x2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ex→0 cos 2x |
|
x2 |
|
= e2 |
= |
e3 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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175