Higher_Mathematics_Part_1
.pdfWe denote it as:
lim f (x) = C, or f(a – 0) = C.
x→a−0
A limit from the right and a limit from the left are called one-sided limits of a function.
If a function f (x) has a limit at point a, then
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lim |
f ( x ) = f ( a − 0 ) = |
f ( a + 0 ). |
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x → a |
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13.5. Properties of limits |
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Property 1. Suppose each function |
f (x) |
and g(x) has a finite limit at |
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point а, then: |
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||||
1) lim( f (x) ± g(x)) = lim |
f (x) ± lim g(x) ; |
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x→a |
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x→a |
|
x→a |
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|||
2) |
lim |
f (x)g(x) = lim f (x) lim g(x) ; |
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||||||||||
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x→a |
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x→a |
|
x→a |
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||||
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f (x) |
|
lim f (x) |
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3) |
lim |
= |
x→a |
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(if lim g(x) ≠0 ); |
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lim g |
(x) |
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|||||||||||
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x→a |
g(x) |
|
x→a |
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|||||||
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x→a |
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4) |
lim |
( |
f (x) g(x) = |
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lim g (x) |
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|||
lim f (x) x→a |
; |
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|||||||||||
|
x→a |
) |
|
(x→a |
|
) |
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||||
5) |
lim cf (x) = c lim |
f (x) |
( с is a constant).. |
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x→a |
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|
x→a |
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Property 2. Suppose the functions |
g(x), |
|
f (x) and h(x) are defined at |
||||||||||||
some neighbourhood of point x0 , except may be, the point x0. |
|||||||||||||||
Suppose |
lim g(x) = lim h(x) = A and g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) , then |
||||||||||||||
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x→ x0 |
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x→ x0 |
lim f (x) = A . |
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||||
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x→x0 |
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Property 3. (about limit of monotone function). If a function f (x) is mo- |
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notone and bounded for x < x0 |
or for x > x0 , |
then it has limit from the right or |
|||||||||||||
limit from the left. |
f (x) = f (x0 − 0) or |
|
f (x) = f (x0 + 0). |
||||||||||||
That is, |
lim |
lim |
|||||||||||||
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|
x→ x0 −0 |
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|
x→ x0 +0 |
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162
Micromodule 13
EXAMPLES OF PROBLEMS SOLUTION
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Example 1. Find a function inverse to the function |
y = |
|
ex − e− x |
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. |
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|
2 |
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Solution. We can solve the given equation with respect to x : |
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ex − e − x = 2y, i.e. e2x − 2yex −1 = 0. |
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|
This equation is square with respect to ex : ex = y + |
y2 +1 . |
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We accept only one value of a root, because ex |
> 0. After taking logarithms |
||||||||||||||||||||||||
of both parts we have x = ln ( y + |
y2 +1). This function is inverse to the initial |
|||||||||||||||||||||||||
one. We can rewrite it in a usual form, denoting the argument as |
x, |
and the |
||||||||||||||||||||||||
function as y : y = ln (x + |
x2 +1). |
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Example 2. Find a domain of definition of a function |
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y = |
sin (2x −1) + |
20 − x − x2 . |
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||||||||||||||||
|
Solution. The given function is the sum of two functions. Therefore we find |
|||||||||||||||||||||||||
the |
domain of definition |
for each |
|
function |
separately: |
|
y = |
sin(2x −1) and |
||||||||||||||||||
y = |
20 + x − x2 . For the first function it must be |
sin (2x −1) ≥ 0, |
i.e. |
2x −1 |
||||||||||||||||||||||
[2kπ; (2k +1)π] , whence |
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1 |
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π |
|
1 |
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||||
|
x kπ + |
|
|
; |
kπ + |
|
+ |
|
|
. For the second function the |
||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
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|
domain of definition is the set of numbers |
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x [−4; 5]. Hence, the domain of |
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definition of the given function is the set of intervals |
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1 |
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|
|
π |
|
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|
1 |
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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||
|
|
kπ + |
|
; kπ + |
|
|
+ |
|
∩[−4; 5], k Z |
, |
|
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||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
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|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
π + 1 |
|
π + 1 |
|
|
|
1 ; 5 . |
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||||||||||||
|
−π + 1 ; |
|
− |
1 ; |
π + |
|
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||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 2 |
|
|
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|
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|
|
2 |
|
|
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||||
|
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|
2 2 2 |
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Example 3. Find out which of the given functions is even, odd or neither even, nor odd.
а) f (x) = x sin 2x; b) f (x) = ln 22+− xx ; c) f (x) = x2 − 3x + 8 . Solution. а) We obtain:
f (− x) = − x sin(−2x) = (− x) (− sin 2x) = x sin 2x ; f (− x) = f (x) , hence, the given function is even;
163
Micromodule 13
SELF-TEST ASSIGNMENTS
13.1. Find the limits of functions |
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13.1.1. а) |
lim |
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|
2x2 − x3 |
|
|
; |
|
|
|
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|
|
b) |
lim |
|
2x2 + 9x − 5 |
; |
|
|||||||||
|
3 8x9 − 7x7 + 5x |
|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
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|
|
|
x→−5 x2 + 3x − 10 |
|
|
||||||||||||||||||
c) |
lim |
|
|
|
4x − 3 − |
2x + 3 |
. |
|
|
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||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
2x2 − 5x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13.1.2. а) |
lim |
|
|
|
4x2 − 2x − |
x + 1 |
; |
|
|
b) |
lim |
3x2 − 7x + 2 |
; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x − 5 |
|
|
|
|
3x |
2 |
+ 2x − 1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 3 |
|
|
|
|
|
||||
c) |
lim |
|
|
|
|
4x2 + 3x −1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||
|
x→−1 5x + 6 − |
|
3x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
13.1.3. а) |
lim |
|
3x3 − 2x2 + 5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
lim |
2x2 − 3x − 2 |
; |
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ 4 + x − 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
3x2 − 7x + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
c) |
lim |
|
|
2x + 2 − 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x → − |
1 |
|
4x2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.1.4. а) lim |
|
3 8x3 + 3x2 − 3 4x2 + 7x |
; |
b) |
lim |
|
x2 + 2x − 3 |
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
3x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−3 2x2 + 5x − 3 |
|
|
|||||||||||||
c) |
lim |
|
|
|
6x − 1 − |
12x − 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→ 1 |
|
|
|
|
|
3x2 − 4x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.1.5. а) |
lim |
|
|
|
|
|
12x − 7 |
|
; |
b) |
lim |
x2 + x −12 |
|
; |
|
||||||||||||||||
|
4 16x4 − 3x3 + 3 |
|
2x2 − 7x + 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
2x2 − 1 |
|
x→3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
c) |
lim |
|
|
|
4x − 5 − |
x + 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
2x2 − 5x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13.1.6. а) |
lim |
|
3x2 − 5x + 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
lim |
6x2 − 5x − 4 |
; |
|||||||||||||||
|
x→∞ |
|
1+ 4x − 7x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→− 1 |
2x2 + 3x + 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
lim |
|
|
|
3x − 4 − |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→2 |
|
|
|
2x2 − x − 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
166
13.1.21. а) |
lim |
3 3 − x3 + 2x + 5 |
|
; b) |
lim |
4x2 − 4x −15 |
; |
|||||
4 16x4 − 7x3 + x2 − 4 |
2x2 − 7x + 5 |
|||||||||||
|
x→∞ |
|
x→ 5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
c) |
lim |
|
|
x + 3 − 5x − 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→1 |
x3 − 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
13.1.22. а) |
lim |
|
2x2 − 4x + 5 |
; |
b) |
lim |
|
2x2 + 7x − 4 |
; |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞ x4 + 3x3 − x2 + 3 |
|
|
x→−4 3x2 + 10x − 8 |
|
c) |
lim |
|
|
4x2 + 3 − |
|
2x + 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2x2 + 3x − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.1.23. а) |
lim |
|
|
|
|
|
5x − 4 − |
2x + 3 |
; |
|
|
|
|
b) |
lim |
5x2 − 9x − 2 ; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
5x2 − 3x + 5 |
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
x3 − 8 |
|
||||||||||||||||
c) |
lim |
6x + 7 − |
2x + 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→−1 |
2x2 + x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
13.1.24. а) |
lim |
|
|
4 x12 − 4x5 + 3 x3 + 5x2 |
; |
b) |
lim |
4x2 + 4x − 3 |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
x3 − 3x2 + 7 |
|
|
|
|
|
x→− |
3 |
2x2 + 7x + 6 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
c) |
lim |
|
|
|
|
|
x + 1 − 2x − 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→3 |
x3 − 27 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
lim |
|
3x3 −8x2 + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3x2 −8x −3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
||
13.1.25. а) x→∞ 20x2 −4x + 3 ; |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
b) |
x→3 2x2 −9x + 9 ; |
|
|||||||||||||||
|
lim |
16x2 − 1 |
|
|
|
|
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|
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8x + 3 − 1 |
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x→− |
1 |
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c) |
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4 |
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; |
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13.1.26. а) lim |
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3 8x3 − 3x + |
x2 + 7x |
; |
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b) |
lim |
|
5x2 − 11x + 2 |
; |
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x→∞ |
3x − 5 |
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1 |
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10x |
2 |
+ 3x − 1 |
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x→ 5 |
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||||
c) |
lim |
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3x − 4 − |
4 − x |
. |
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x→2 |
2x2 − 3x − 2 |
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13.1.27. а) lim |
5 x4 − 3x3 + 5 + x − 1 |
; |
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b) |
lim |
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3x2 − 8x + 5 ; |
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||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||
x→∞ |
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3 2x2 − 3x |
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x→ 5 |
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3x2 + x −10 |
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|||||||||||||
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3 |
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c) |
lim |
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3x + 4 − |
2x + 3 |
. |
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x→−1 |
11x2 + 10x −1 |
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