- •Операции над множествами. Свойства операций, их иллюстрации с помощью диаграмм Эйлера.
- •Декартово произведение множеств. Способы задания множеств и наглядности представления. Свойства декартово произведения.
- •Число элементов и объединения, разности, декартовом произведении множества.
- •Теоретико-множественный смысл сложения, вычитания.
- •Теоретико-множественный умножения и деления целых неотрицательных чисел.
- •Теоретико-множественный смысл арифметических операций в множестве z свойств.
- •Аксиоматический метод в математике. Требования к системе аксиом.
- •Система аксиом Пеано. Аксиоматические определение натурального числа.
- •Наименьший элемент
- •Умножение натуральных чисел в аксиоматической теории. Законы умножения.
- •Свойства множества натуральных чисел.
- •Вычитание и деление в аксиоматической теории. Основные свойства.
- •Множество целых неотрицательных чисел.
- •Деление с остатком.
- •Предмет и значение логики. Понятие. Объем и содержание понятия. Основные операции над понятиями.
- •Определение понятий. Виды определения понятий. Требования к правильному определению понятий.
- •Простые суждения. Структура простого высказывания. Классификация простых высказываний.
- •Состав простого суждения
- •Сложные высказывания. Логические операции : отрицание простых и сложных высказываний. Таблицы истинности.
- •Отношение логического следования и логической равносильности. Теорема. Структура теоремы и виды теорем.
- •Умозаключения. Общая характеристика и виды умозаключений.
- •Основные правила построения умозаключений . Проверка правильности умозаключений.
- •Индуктивные умозаключения и их виды. Умозаключения по аналогии.
- •Доказательство математических утверждений. Структура доказательства. Непрямое доказательство.
- •Доказательство утверждений методом математической индукции.
-
Сложные высказывания. Логические операции : отрицание простых и сложных высказываний. Таблицы истинности.
Высказывание — предложение, выражающее суждение. Если суждение, составляющее содержание (смысл) некоторого высказывания, истинно, то и о данном высказывании говорят, что оно истинно. Сходным образом ложным называют такое высказывание, которое является выражением ложного суждения. Истинность и ложность называются логическими, или истинностными, значениями высказываний.
Сложное высказывание получается путем объединения простых высказываний связками - частицей НЕ; союзами И; ИЛИ; НЕВЕРНО, ЧТО...; ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА..., КОГДА...; ЕСЛИ..., ТО... Значение истинности cложных высказываний зависит от истинности входящих в них простых высказываний и объединяющих их связок.
Сложные (составные) высказывания представляют собой набор простых высказываний (по крайней мере двух) связанных логическими операциями.
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).
Логическое выражение - это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).
Связки "НЕ", "И", "ИЛИ" заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.
Введем перечисленные логические операции. Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым (или исходным) высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза «И»сложное высказывание также считается ложным. Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым (или исходным) высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно. Отрицание - логическая операция, которая с помощью связки «не» каждому исходному высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.
Таблица истинности — это таблица, в которой отражены все значения логической функции при всех возможных значениях, входящих в неё логически Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» (true либо false, 1 либо 0). Таблицы истинности для основных двоичных логических функций
Конъюнкция Дизъюнкция Импликация Эквиваленция
|
a |
b |
a∧b |
|
|
a |
b |
a∨b |
|
|
a |
b |
a→b |
|
|
a |
b |
a↔b |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|