Розділ 1. Випадкові події.
Простір елементарних подій. Операції з подіями.
Означення ймовірності події (класичне, геометричне, статистичне).
Сумісні та несумісні події. Теорема додавання ймовірностей.
Залежні та незалежні події. Теорема множення ймовірностей.
Ймовірність появи хоча б однієї з n несумісних подій. Надійність системи
Формула повної ймовірності.
Формула Байєса.
Формула Бернуллі.
Локальна теорема Муавра-Лапласа.
Інтегральна теорема Муавра-Лапласа.
Теорема Пуассона.
Ймовірність відхилення відносної частоти від ймовірності у незалежних випробуваннях.
Розділ 2. Випадкові величини.
Дискретні випадкові величини: закон розподілу, функція розподілу та її графік, полігон розподілу.
Числові характеристики дискретних випадкових величин.
Біноміальний закон розподілу.
Геометричний закон розподілу.
Гіпергеометричний закон розподілу.
Розподіл Пуассона.
Неперервні випадкові величини: закон розподілу, функція розподілу та її графік, щільність розподілу та її графік.
Числові характеристики неперервних випадкових величин.
Рівномірний закон розподілу неперервних випадкових величин.
Показниковий закон розподілу неперервних випадкових величин.
Нормальний закон розподілу неперервних випадкових величин.
Ймовірність попадання значень нормально розподіленої випадкової величини на інтервал. Правило трьох сігм.
Функції дискретних випадкових величин та їх числові характеристики.
Функції неперервних випадкових величин та їх числові характеристики.
Системи двох дискретних випадкових величин та їх числові характеристики.
Функція розподілу системи двох випадкових величин та її властивості.
Коваріація двох дискретних випадкових величин та її властивості.
Коефіцієнт кореляції двох дискретних випадкових величин та його властивості.
Умовний закон розподілу двох дискретних випадкових величин.
Системи двох неперервних випадкових величин та їх числові характеристики.
Коваріація двох неперервних випадкових величин та її властивості.
Коефіцієнт кореляції двох неперервних випадкових величин та його властивості.
Умовний закон розподілу двох неперервних випадкових величин.
Нерівності Чебишова.
Закон великих чисел (теорема Бернуллі, теорема Чебишова).
Центральна гранична теорема (центральна гранична теорема для однаково розподілених випадкових величин, теорема Ляпунова).
Розділ 3. Математична статистика.
Первинна обробка та графічне подання вибіркових даних (генеральна сукупність, вибіркова сукупність, варіаційний ряд, інтервальний ряд, полігон частот, гістограма частот).
Емпірична функція розподілу та її властивості.
Числові характеристики вибіркової сукупності (не групованої та групованої вибірки)
4. Точкові статистичні оцінки параметрів генеральної сукупності та вимоги до них.
5. Методи визначення точкових статистичних оцінок.
6. Інтервальні статистичні оцінки для параметрів генеральної сукупності.
7. Побудова довірчого інтервалу для оцінки математичного сподівання при нормальному законі розподілу генеральної сукупності при відомій дисперсії.
8. Побудова довірчого інтервалу для оцінки математичного сподівання при нормальному законі розподілу генеральної сукупності при невідомій дисперсії.
9. Поняття статистичної гіпотези.
10.Критична область. Основний принцип статистичної перевірки статистичних гіпотез.
11. Загальний алгоритм перевірки правильності нульової гіпотези. Потужність критерію.
12. Перевірка гіпотез про математичне сподівання.
13. Критерій узгодження Пірсона.
Види зв’язку між випадковими величинами.
Вибірковий коефіцієнт кореляції.
Згладжування експериментальних даних методом найменших квадратів.
Лінійна регресія.
Задачі. І. Випадкові події
1. Із 60 питань, що входять в екзаменаційні білети по вищій математиці, студент підготував 50. Кожен білет містить 3 питання. Яка ймовірність того, що студент візьме білет, усі питання якого він знає?
2. Абонент, що набирає номер телефону, забув дві останні цифри. Пам’ятаючи лише те, що вони різні, він набирає номер навмання. Яка ймовірність того, що набрані потрібні цифри?
3. Інженер обслуговує два вузли зв’язку. Спостереження показали, що кожний з них потребує уваги інженера 10 хв. протягом години. Знайти ймовірність того, що протягом години один з вузлів зв’язку потребує уваги інженера, коли інженер буде обслуговувати інший (зупинка кожного вузла протягом години може здійснитися у будь-який момент часу, і ці моменти зупинки вузлів є незалежними).
4. Яка ймовірність того, що навмання поставлена точка в круг буде знаходитися у квадраті, вписаному у цей круг?
5. Задумано
два додатних числа
та
,
кожне з яких не більше 2. Знайти ймовірність
того, що
.
6. Розрив телефонної лінії відбувся на ділянці між 40 і 60 кілометрами. Яка ймовірність того, що це сталося між 38 і 42 кілометрами?
7. Робітник обслуговує три верстати-автомати, що працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що протягом години перший верстат потребує уваги робітника, дорівнює 0,95, для другого та третього верстатів ця ймовірність дорівнює відповідно 0,8 і 0,85. Яка ймовірність того, що протягом години уваги робітника потребують:
1) три верстати;
2) два верстати;
3) один верстат;
4) хоча б один верстат.
8. На складі взяли 5 мішків борошна І ґатунку і 7 мішків борошна ІІ ґатунку. Довільні 6 мішків з 12 витратили на приготування одного з видів паляниць. Знайти імовірність того, що половина з цих 6 мішків борошна виявилася борошном І ґатунку.
9. Імовірність того, що один з трьох ліфтів виявиться в даний момент на першому поверсі, дорівнює 0,1. Яка імовірність того, що хоча б один ліфт виявиться на першому поверсі?
10. 30% приладів збирає спеціаліст високої кваліфікації і 70% — середньої. Надійність приладу, зібраного спеціалістом високої кваліфікації, дорівнює 0,9, приладу, зібраного спеціалістом середньої кваліфікації, — 0,8. Взятий прилад працює безвідмовно. Визначити ймовірності того, що він зібраний спеціалістом високої кваліфікації.
11. Імовірність того, що витрата води на деякому підприємстві виявиться нормальним, дорівнює 0,75. Знайти імовірність того, що у найближчі 6 днів витрата води буде нормальною протягом 3 днів.
12. При деякому випробуванні імовірність позитивного виходу дорівнює 0,8. Знайти імовірність того, що число позитивних виходів при 200 випробуваннях буде не менше 170.
13. В ящику 12 сталевих і 8 мідних деталей. Імовірність того, що сталева деталь буде придатної при збиранні дорівнює 0,95, мідна — 0,97. Знайти імовірність того, що випадково взята з ящика деталь виявиться придатною.
14. Яка імовірність того, що серед 200 чоловік виявиться якнайменше 4 лівші, якщо в середньому лівші складають 1%?
16. Завод, що виготовляє радіолампи, дає 5 % браку. На випробування взято 3 радіолампі. Знайти імовірність того, що серед них буде дві зіпсованих.
17. Імовірність неточного збирання приладу дорівнює 0,2. Знайти імовірність того, що серед 500 приладів виявиться від 410 до 430 точних.
18. На вітрині прилавку довільно виставлені 5 вазочок з цукерками різної вартості. Знайти імовірність того, що дві вазочки з найдорожчими цукерками опиняться поруч.
19. На завод потрапляють литво в болванках з трьох ливарних заводів. З першого заводу потрапляє 20 % литва, з другого — 50 %, з третього — 30 %. Частка дефектних болванок на першому заводі становить 20 %, на другому — 10, на третьому — 15. Взята навмання болванка виявилася дефектною. Визначити ймовірність того, що вона надійшла з другого заводу.