Міністерство освіти і науки України
Державний університет ТеЛЕКОМУНІКАЦІЙ
КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
ЗАТВЕРДЖУЮ
Завідуючий кафедрою
________________Барабаш О.В.
“ ____ “ _____________ 2015 року
Тільки для викладачів
СЕМЕСТР 2
МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА № 17(35)
МОДУЛЬ 3(6)
Тема 5(12): Основи теорії функції комплексної змінної.
Розклад функцій в ряд Лорана. Особливі точки та інтегральні лишки аналітичних функцій.
з навчальної дисципліни вища математика
напряму підготовки телекомунікації
освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр
Розробка
кандидатом фіз.-мат. наук, доцентом Онищенко В.В.
Обговорено на засіданні кафедри (ПМК)
Протокол № __________
“ ____ “ _____________ 2015 року
Київ - 2015
Навчальні цілі: Набуття студентами первинних навичок розкладу функцій в ряд Лорана. Знаходити особливі точки та інтегральні лишки аналітичних функцій.
Виховні цілі: Обґрунтувати, що якісне вивчення математичного програмування сприяє:
розвитку логічного та аналітичного мислення, пам’яті;
можливості самостійно вивчати сучасну науково-технічну літературу;
вмінню коротко і зрозуміло висловлювати свої думки;
акуратності і точності записів, уважності, дисциплінованості;
вмінню конспектувати, красиво оформлювати записи робочих зошитів для практичних занять та індивідуальних робіт;
набуттю навичок систематизації матеріалу, що вивчається.
Час: 1,5 години.
План проведення заняття та розрахунок часу
Введення.
Перевірити наявність студентів…………………………….……до 5 хвилин
Навчальні питання:
1.Актуалізація знань студентів ………………………………10 хвилин
2.Оримання практичних навичок 55 хвилин
3.Завдання………………………………………………………….. 15 хвилин
Заключення до 5 хвилин
НАВЧАЛЬНО-МАТЕРІАЛЬНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ
Бажано мати:
1. крейду і вологу губку.
Література:
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1978. – Т.2.
Гутер Р.С., Янпольский А.Р. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие для втузов. – Изд.2-е, перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1976.
Данко П. Е., Попов А. Г. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие, ч. 2. – М.: Высшая школа, 1967.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа для втузов. – М.: Наука, 1972.
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие для вузов. – 10-е издание. – М.: Наука,1990.
Валєєв К. Г., Джаладова І. А., Лютий О.І. та ін. Вища математика: Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. – К.: КНЕУ, 2002.
Навчальні матеріали
І. Актуалізація знань студентів (повторення основних положень лекції):
Ряди функцій комплексної змінної
Приклад 1. Дослідити на збіжність:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Розв’язання.
а) Обидва дійсні ряди ізбігаються – перший за ознакою Даламбера, а другий за радикальною ознакою Коші (покажіть це самостійно). Тому заданий ряд також збігається.
б) Ряд з дійсних частин розбігається як гармонічний, тому заданий рядтеж розбігається (хоча ряд з уявних частинзбігається заознакою Даламбера).
в) Ряд з дійсних частин збігається як узагальнений гармонічний з показником степеня, а ряд з уявних частинрозбігається як геометрична прогресія зі знаменником. Тому заданий рядтеж розбігається.
г) Обидва дійсні ряди ірозбігаються, оскільки не задовольняють необхідну ознаку збіжності (покажіть це самостійно). Тому заданий ряд також розбігається.
Приклад 2. Показати, що заданий ряд збігається абсолютно
.
Розв’язання. Дослідимо на збіжність ряд із модулів:
.
Цей ряд збігається як геометрична прогресія зі знаменником . Тому заданий рядзбігається абсолютно.
Приклад 1. Знайти радіус збіжності степеневого ряду:
а) ; б); в).
Розв’язання.
а)
.
б) .
в)
.
Приклад 2. Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі точки і знайти радіус збіжності отриманого ряду.
Розв’язання. Подамо функцію у вигляді
.
Якщо , то другий доданок в останньому виразі можна розглядати як суму нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом і знаменником. Тоді
.
Отриманий ряд в силу однозначності розвинення і є шуканим рядом Тейлора. Радіус збіжності цього ряду визначається з умови . Тоді. Отже,.
Радіус збіжності можна знайти інакше як відстань від центра ряду до найближчої особливої точки функції (у даної функції особлива точка єдина).