Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",

ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ

ДЛЯ РОЗРАХУНКОВИХ РОБІТ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

За редакцією С.І.Гургули, В.М.Мойсишина

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів

вищих навчальних закладів

Івано-Франківськ

2010

2

А в т о р и:

С.І. Гургула, В.М. Мойсишин, С.С. Гулька, І.М. Гураль, Л.І. Камаєва, Т.Г. Лавинюкова, Д.Ф. Лялюк, Д.Д. Матієшин, М.В. Маковійчук, Л.Д. Мельниченко, Л.А. Мойсеєнко, М.М. Осипчук, Я.І. Савчук, Л.Р. Смоловик, І.Р. Тимків, В.В. Тирлич, В.Д. Яцишин

Р е ц е н з е н т и:

Загороднюк А.В. – завідувач кафедри математичного і функціонального аналізу Прикарпатського національного університету ім. В. Стефаника, доктор фіз.-мат. наук, с.н.с.; Маслюченко В.К. – завідувач кафедри математичного аналізу

Чернівецького національного університету ім. Ю. Федьковича, доктор фіз.-мат. наук, професор; Приймак В.І. – професор кафедри інформаційних систем у

менеджменті Львівського національного університету ім. І. Франка, доктор економічних наук, кандидат фіз.-мат. наук.

З 41 Збірник завдань для розрахункових робіт з вищої математики: Навчальний посібник / С.І. Гургула, В.М. Мойсишин, С.С. Гулька та ін.; За ред. С.І. Гургули, В.М. Мойсишина. – Івано-Франківськ:

ІФНТУНГ, 2009. – 451с. ISBN 978-966-694-123-0

Збірник завдань адресовано студентам технічних та економічних спеціальностей вишів, робочі навчальні плани яких передбачають виконання розрахункових робіт. Книга містить 7000 питань і вправ, зміст яких повністю відповідає типовій програмі з вищої математики. У межах кожного з 13 розділів книги виокремлено теоретичні питання і практичні вправи у 30 варіантах, що дозволяє кожному студенту навчальної групи запропонувати індивідуальне завдання

УДК 51(075.8) ББК 22.11

ISBN 978-966-694-123-0 © С.І.Гургула, В.М. Мойсишин,

С.С.Гулька та ін., 2010

3

Зміст

Вступ___________________________________________ 5 1 Векторна алгебра та аналітична геометрія __________ 7

Теоретичні питання __________________________ 7 Розрахункові завдання ________________________ 7 2 Лінійна алгебра ________________________________ 53 Теоретичні питання __________________________ 53 Розрахункові завдання ________________________ 54

3 Вступ до математичного аналізу __________________ 96

Теоретичні питання __________________________ 96 Розрахункові завдання ________________________ 96 4 Диференціальне числення функцій однієї змінної ___ 109

Теоретичні питання __________________________109 Розрахункові завдання _______________________ 110

5Комплексні числа, многочлени ___________________129

Теоретичні питання _________________________ 129 Розрахункові завдання _______________________ 129

6Інтегральне числення функцій однієї змінної _______ 138

Теоретичні питання __________________________138 Розрахункові завдання _______________________ 139

7Диференціальне числення функцій декількох

змінних ___________________________________ 172 Теоретичні питання _________________________ 172 Розрахункові завдання _______________________172

4

8 Диференціальні рівняння _______________________ 192 Теоретичні питання _________________________ 192 Розрахункові завдання _______________________ 193 9 Ряди _________________________________________ 226 Теоретичні питання _________________________ 226 Розрахункові завдання _______________________ 227

10Кратні, криволінійні, поверхневі інтеграли. Елементи теорії поля _________________________________ 253 Теоретичні питання _________________________ 253 Розрахункові завдання _______________________ 254

11Теорія функцій комплексної змінної. Операційне числення __________________________________ 306 Теоретичні питання _________________________ 306 Розрахункові завдання _______________________ 307

12Рівняння математичної фізики __________________ 345

Теоретичні питання _________________________ 345 Розрахункові завдання _______________________ 345

13Теорія ймовірностей та математична

статистика _________________________________ 384 Теоретичні питання __________________________384 Розрахункові завдання _______________________ 385 Література ______________________________________450

5

Вступ

Інтегрування вищих навчальних закладів (ВНЗ) України у міжнародний освітній простір зумовлює необхідність розробки та втілення у практику навчального процесу заходів, спрямованих на підвищення якості освіти. Одними з них є розрахункові роботи (РР), які активізують самостійну роботу студентів і сприяють більш глибокому засвоєнню фундаментальних дисциплін, центральне місце серед яких належить вищій математиці.

Пропонований збірник завдань призначений для студентів технічних ВНЗ, містить 7000 питань і вправ, зміст яких повністю відповідає типовій програмі з вищої математики для технічних та економічних спеціальностей.

У межах кожного з 13 розділів книги виокремлено теоретичні питання і практичні вправи у 30 варіантах, що дозволяє кожному студенту навчальної групи запропонувати індивідуальне завдання. Зрозуміло, що зміст і кількість вправ РР лектор узгоджує з робочою програмою математичної дисципліни для тієї чи іншої спеціальності.

Виконання студентами РР контролюється викладачем, який попередньо перевіряє правильність розв’язку завдань. Завершальним етапом є захист РР, під час якого студент повинен правильно відповідати на теоретичні питання, пояснювати хід розв’язку вправи, розв’язувати аналогічні завдання.

Розділи збірника підготували:

1.Векторна алгебра та аналітична геометрія – В.М.Мойсишин, І.Р.Тимків;

2.Лінійна алгебра – Я.І.Савчук;

3.Вступ до математичного аналізу – Л.Д.Мельниченко;

4.Диференціальне числення функцій однієї змінної – С.С.Гулька;

5.Комплексні числа, многочлени – С.І.Гургула;

6

6.Інтегральне числення функцій однієї змінної – І.М.Гураль, С.І.Гургула;

7.Диференціальне числення функцій декількох змінних – Д.Ф.Лялюк;

8.Диференціальні рівняння – С.І.Гургула, В.В.Тирлич;

9.Ряди – В.Д.Яцишин, С.І.Гургула;

10.Кратні, криволінійні, поверхневі інтеграли. Елементи теорії поля – Т.Г.Лавинюкова, Л.А.Мойсеєнко;

11.Теорія функцій комплексної змінної. Операційне числення – С.І.Гургула, Л.Р.Смоловик, М.В.Матієшин;

12.Рівняння математичної фізики – Л.І.Камаєва,

Д.Д.Матієшин; 13. Теорія ймовірностей та математична статистика –

В.М.Мойсишин, М.М.Осипчук.

Автори вдячні викладачам кафедри вищої математики ІФНТУНГ Б.С.Сікорі, В.П.Нісонському за надані матеріали, поради та уточнення.

Відгуки, зауваження та побажання просимо надсилати за адресою:

кафедра вищої математики Івано-Франківського національного технічного університету нафти і газу; 76019, м. Івано-Франківськ, вул. Карпатська, 15.

e-mail: math@nung.edu.ua тел. (03422) 4-21-23

7

1 Векторна алгебра та аналітична геометрія

Теоретичні питання

1.Поняття вектора. Лінійні операції над векторами, їх властивості.

2.Проекція вектора на вісь, її властивості.

3.Розклад вектора за базисом.

4.Декартові система координат на площині і в просторі.

5.Скалярний добуток векторів.

6.Векторний добуток векторів.

7.Мішаний добуток векторів.

8.Полярні координати на площині. Перетворення прямокутних координат.

9.Поняття про рівняння лінії на площині.

10.Різні форми рівняння прямої на площині. Кут між прямими. Відстань від точки до прямої.

11.Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола, парабола.

12.Поняття про рівняння поверхні і лінії в просторі.

13.Різні форми рівнянь площини в просторі. Кут між площинами. Відстань від точки до площини.

14.Різні форми рівнянь прямої в просторі. Кут між прямими відстань від точки до прямої.

15.Пряма і площина в просторі. Кут між прямою і площиною. Точка перетину прямої і площини.

16.Поверхні другого порядку.

Розрахункові завдання

Задача 1. Задані вектори a = (a1;a2 ;a3 ), b = (b1;b2 ;b3 ), c = (c1;c2 ;c3 ) і d = (d1;d2 ;d3 ) в деякому базисі. Переконатись, що вектори ar, b , cr утворюють базис і знайти координати вектора d в цьому базисі.

8

1.1.a = (5;4;1), br = (−3;5;2), c = (2;−1;3), d = (7;23;4).

1.2.a = (3;1;5), br = (−1;2;1), c = (1;4;2), d = (12;6;3).

1.3.a = (2;1;4), br = (−1;1;1), c = (2;2;4), d = (3;−4;3).

1.4.a = (7;3;2), br = (4;2;−3), c = (−1;3;1), d = (13;3;10).

1.5.a = (1;4;0), br = (4;−1;3), c = (−1;5;−7), d = (−9;−2;−6).

1.6.a = (4;3;1), br = (−1;2;−3), c = (0;5;4), d = (−6;−14;−19).

1.7.a = (1;2;3), br = (5;1;−3), c = (−6;4;1), d = (−15;13;9).

1.8.a = (2;1;5), br = (−3;1;3), c = (5;1;−4), d = (−7;−4;11).

1.9.a = (2;7;7), br = (−4;3;9), c = (9;−6;−9), d = (28;−1;5).

1.10.a = (2;1;4), br = (−3;5;1), c = (1;−4;−3), d = (2;−5;−4).

1.11.a = (2;1;3), br = (−4;−2;1), c = (3;4;5), d = (1;3;2).

1.12.a = (3;1;2), br = (−5;2;7), c = (3;1;−1), d = (1;4;8).

1.13.a = (1;1;2), br = (−5;−4;3), c = (−1;1;−5), d = (2;1;−9).

1.14.a = (4;3;4), b = (−2;3;1), c = (4;6;4), d = (16;33;22).

1.15.a = (2;7;4), b = (3;−5;0), c = (4;1;1), d = (12;−33;−7).

1.16.a = (1;0;3), br = (4;5;6), c = (−1;4;5), d = (6;−20;−22).

1.17.a = (2;7;4), b = (3;−5;0), c = (4;0;11), d = (33;24;39).

1.18.a = (8;2;4), b = (3;2;1), c = (−6;−2;−3), d = (−4;4;5).

1.19.a = (2;1;3), br = (−1;3;6), c = (3;−1;6), d = (−4;11;−29).

1.20.a = (7;5;10), b = (2;−3;11), c = (3;2;5), d = (15;15;36).

9

1.21.a = (1;3;3), br = (−4;1;5), c = (−2;1;−6), d = (−3;5;−9).

1.22.a = (2;3;5), br = (7;14;25), c = (13;12;16), d = (0;18;39).

1.23.a = (3;5;1), br = (1;−1;−1), c = (1;−1;5), d = (−2;10;12).

1.24.a = (2;1;1), br = (−3;4;−4), c = (1;2;0), d = (−7;−1;−5).

1.25.a = (−1;4;3), b = (3;2;−4), c = (−2;−7;1), d = (6;20;−3).

1.26.a = (5;7;−2), b = (−3;1;3), c = (1;−4;6), d = (14;9;−1).

1.27.a = (1;−3;1), br = (−2;−4;3), c = (0;−2;3), d = (−8;−10;13).

1.28.a = (9;5;3), br = (−3;2;1), c = (4;−7;4), d = (−10;−13;8).

1.29.a = (11;1;2), br = (−3;3;4), c = (−4;−2;7), d = (−5;11;−15).

1.30.a = (5;3;1), br = (−1;2;−3), c = (3;−4;2), d = (−9;34;−20).

Задача 2. Відрізок, обмежений точками A та B , поділили точками C і D у заданому відношенні. Знайти координати цих точок поділу (2.1−2.10).

2.1.A(2;−7;9), B(8;11;−3), 1:2:3.

2.2.A(7;−1;9), B(−3;−6;−1), 2:5:3.

2.3.A(−6;8;−5), B(1;−6;2), 4:1:2.

2.4.A(2;4;0), B(2;−7;11), 2:3:6.

2.5.A(14;9;−3), B(0;2;−3), 3:2:2.

2.6.A(−6;7;11), B(2;−3;−1), 2:3:9.

2.7.A(10;3;5), B(−2;−7;9), 3:1:2.

2.8.A(6;7;12), B(−14;−9;0), 3:2:7.

2.9.A(5;4;6), B(−5;−1;1), 2:1:2.

10

2.10.A(9;6;7), B(1;−2;−1), 3:1:4.

Задано вершини трикутника A , B , C . Знайти довжину медіани, проведеної з вершини A (2.11−2.20).

2.11.A(5;7;−2), B(2;−1;−2), C (6;−1;6).

2.12.A(2;−5;−1), B(7;9;6), C (−3;5;2).

2.13.A(3;4;7), B(5;7;4), C (5;−9;−8).

2.14.A(7;2;3), B(−2;−11;5), C (6;−1;3).

2.15.A(7;9;−4), B(3;8;4), C (1;2;6).

2.16.A(3;0;−1), B(−1;1;6), C (5;7;8).

2.17.A(−6;2;5), B(8;4;1), C (4;10;9).

2.18.A(9;2;1), B(−7;2;4), C (3;−8;2).

2.19.A(4;−1;3), B(3;5;−1), C (−1;−7;−3).

2.20.A(−8;4;−2), B(4;7;8), C (0;3;2).

В точкахrA і rB прикладені паралельні протилежно напрямлені сили F1 і F2 . Знайти точку прикладання рівнодійної си-

ли (2.21−2.30).

2.21.A(2;6;7), B(2;−1;−6), Fr1 = 3H , Fr2 = 4H .

2.22.A(−4;5;2), B(6;−5;−3), Fr1 = 7H , Fr2 = 3H .

2.23.A(3;6;−5), B(1;−1;2), Fr1 = 5H , Fr2 = 2H .

2.24.A(−2;5;7), B(6;3;−1), Fr1 = 3H , Fr2 = 9H .

2.25.A(7;4;2), B(−1;−5;−6), Fr1 = 3H , Fr2 = 5H .