6 Хвилі в реальних середовищах

6.1 Хвильові рівняння з дисипативним членом

Для розгляду хвиль в реальних середовищах поставимо наступні умови:

1. Будемо рахувати , що рішенням хвильового рівняння є функція зміщення

, (6.1)

де - частота коливань,К- комплексне хвильове число^* .У свою чергуК = k - і, де k - дійсна частина хвильового числа ,- коефіцієнт затухання,і– уявна одиниця.

2. Дисперсійне співвідношення для даної моделі хвильового рівняння повинно бути дійсним.

3. Коефіцієнт хвильового рівняння перед другою просторовою похідною дорівнює добутку групової та фазовоїшвидкостей:

Ці три умови є достатньо природними. Так для ідеально пружного середовища маємо хвильове рівняння

, (6.2)

а дисперсійне співвідношення для (6.2)

. (6.3)

По умові 2 уявна частина (6.3) дорівнює нулю, звідки коефіцієнт затухання дорівнює нулю, а фазова та групова швидкість між собою рівні , що відповідає умові 3. Як і слід було очікувати , затухання та дисперсія хвиль у ідеально пружному середовищі відсутні.

^*Тут і далі аргументи поля зміщеньU(t,х)для спрощення

опускаємо.

Одним з найпростіших хвильових рівнянь для диспергуючих середовищ є рівняння Клейна-Гордона

. (6.4)

Його дисперсійне співвідношення

,

(6.5)

знову приводить в силу умови 2 до вимоги =0, а вираз (5) спрощується

.

для рівняння (6.4) фазова швидкість дорівнює

, (6.6)

а групова швидкість

. (6.7)

Вирази (6.6) та (6.7) вказують на дисперсію швидкостей, а їх добуток відповідає умові 3.

Отже для рівнянь (6.2) та (6.4) в силу умови 2 коефіцієнт затухання дорівнює 0, оскільки при переході до дисперсійного співвідношення у ньому виявляється лише один уявний член. Якщо хвильове рівняння буде містити дисипативний член, пропорційний похідній поля зміщення, буде спостерігатись затухання хвиль. Причому степінь похідної має бути непарна, якщо у другому члені хвильового рівняння парна похідна по X або парною , якщо другий член містить непарну просторову похідну.

Розглянемо поширення хвиль у середовищі, яке описується наступним хвильовим рівнянням

. (6.8)

Дисипативний член у рівнянні (6.8) пропорційний швидкості зміщення часток середовища, а поглинання енергії пружних хвиль обумовлено в'язким тертям , наприклад , при перетіканні флюїду у поровому просторі.

Можна показати , що рівняння (6.8) описує тіло Максвела. Дисперсійне співвідношення для (6.8) має вигляд

.

(6.9)

Вираз (6.9) в силу умови 2 створює систему рівнянь

. (6.10)

Розв’язуючи (6.10) відносно , отримаємо

. (6.11)

Перевіримо виконання умови 3. З (6.10) випливає, що

,

звідки . Тоді вираз (6.11) можна представити у вигляді

. (6.12)

Знайдемо з (6.8) значення b

, (6.13)

і, підставляючи його у (6.11), отримаємо значення для коефіцієнта затухання

. (6.14)

Якщо дисипативний член пропорційний U_х, хвильове рівняння буде наступним

. (6.15)

Дисперсійне співвідношення рівняння (6.15)

,

(6.16)

по умові 2 розпадається на систему

. (6.17)

З другого рівняння (6.17) отримаємо

, (6.18)

а з першого

.

Звідки V_фV_rp=с². З врахуванням цього (6.18) запишемо так

. (6.19)

Розв’язуючи (6.15) відносно d,отримаємо

. (6.20)

Підставивши (6.20) в (6.19), знайдемо кінцевий вираз для коефіцієнта затухання

. (6.21)