petrophysics2004

В уравнении (12.4) наглядно проявилось основное свойство упру­

гого тела при всестороннем сжатии: относительная объемная дефор­

мация пропорциональна приложеиному напряжению. Другими сло­

вами, коэффициент 13, так же, как Е и v, являются константами, ха­

рактеризующими упругие свойства тела.

Однако в природе ничего нет идеального. Уже в 1935 г. П. Бридж­

мен, изучая сжимаемость различных металлов и минералов при все­

сторонних давлениях до 3000 МПа, обнаружил в поведении этих, ка­ залось бы, однородных и упругих материалов, отклонение от линей­

ного закона Гука. Эмпирическое уравнение П. Бриджмена для

описания упругой деформации имеет вид:

lAV

--ру-=13=а-Ър, (12.5)

где а иЪпостоянные для: данного материала коэффициенты, при­

чем Ь/а==1О-6+1О-5. Это было одним из первых исследований, пока­

завших отклонение деформации реальных упругих тел от закона,

принятого в теории упругости.

В минералах и реальных горных породах всегда имеются включе­ ния, поры, каверны Поэтомунеливейность деформаций должна в них

проявляться еще ярче.

Рассмотрим деформацию среды, состоящую из большого числа шаров одинакового диаметра D, размещенных по закону кубической упаковки. Объем элемента такой модели пористой среды V0, включа­

ющей N3 шаров, найдем из выражения

При приложении всестороннего напряжения р объем среды без

смещения центров шаров уменьшается и его новое значение в упру­

гой области деформаций

Для определения а1 используем решение контактной задачи Гер­

ца, найденное А.И. Динником (1952 г.) для: случая сжатия двух упру­ гих шаров под действием сосредоточенной силы F:

(12.9)

где Етв и vтвмодуль Юнга и коэффициент Пуассона материала ша­

ров.

Так как напряжение, приходящееся на каждую плоскость выде­ ленного нами куба, равно

290

N2F F

р= N2Ji- = Dz'

то, подставляя это равенство в (12.9) и затем в (12.8), найдем

Дифференцируя (12.1О) пор, получим выражение для.коэффици­

ента объемной сжимаемости рассматриваемой модели осадочной по­

роды:

Из этого простого решения следует, что коэффициент объемной

сжимаемости модели осадочной породы, так же как и ее модуль

объемного сжатия К, не являются по существу модулями, а зависят от величины среднего нормального напряжения р. Закон Гука в этом случае можно применить только к бесконечно малым изменениям деформаций и напряжений [15]. Другими словами, в каждой точке деформационной кривой будет существовать соотношение, устанав­

ливаемое этим законом, но все упругие характеристики среды пере­ менныони изменяются в зависимости от приложеиного напряже­

ния:

При такой форме записи закона Гука величины [3(р), Е(р) и v(p) не

являются модулями в прямом смысле этого слова - они зависят от

механического напряжения. Любое фиксированное значение этих ве­

личин может характеризовать среду, находящуюся только в опреде­

ленном напряженном состоянии. При изменении напряжения изме­

няется и значение этих величин.

Другими словами, закон Гука как линейная зависимость между напряжением и деформацией остается справедливым лишь в преде­ лах бесконечно малых приращений напряжений и деформаций.

Для рассмотренной нами модели пористой горной породы, пред­ ставленной упругими шарами равного радиуса в кубической упаков­ ке, найдена связь между упругими параметрами модели в целом и

материала сфер. Это сделано с использованием аппарата классичес­

кой теории упругости применительно к модели дискретной среды.

К сожалению, строение реальных горных пород значительно много­

образнее. Трудно построить такую универсальную детерминирован­ ную упругую модель, а значит, и использовать приемы классической

теории упругости. В этой связи уравнение (12.11) следует рассмат­

ривать лишь как простейший пример, указывающий на возможность такого подхода, а также на то, что для реальных горных пород необ-

291

ходимо каждый раз устанавливать зависимость упругих свойств от

напряженного состояния.

12.1. О&ЬЕМНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ГОРНЫХ ПОРОД

Физические свойства горных пород при всестороннем напряже­

нии, не превышающем предела упругости, изменяются в результате

объемных деформаций. С этим видом напряженного состояния чаще всего приходится сталкиваться при изучении упругости в петрофи­ зике. Деформации сдвига, характеризующие изменение формы твер­ дого тела, сложнее определить экспериментально. Ими более широ­ ко пользуются в механике грунтов при изучении прочностных свойств

горных пород. В последующем изложении настоящего раздела мы бу­

дем из практических соображений по возможности не прибегать к

понятиям о сдвиговых деформациях в горных породах.

12.2.1. Понятие о дифференциально-упруrих средах

Трудности, с которыми встретились исследователи при изучении

деформации пористых тел, заставили искать новые приемы. В этом

отношении большого интереса заслуживают работы М. Био (1941 г.) и

Ф. Гассмана (1951 г.). В частности, Ф. Гассман предложил рассматри­ вать пористые породы как дифференциально-упругие тела, т. е. та­ кие, отдельные компоненты которых можно уподобить порознь уп­

ругим телам и применить к ним зависимости из теории упругости

сплошных сред в дифференциальной форме. В последующем И. Гир­ стма (1957 г.) показал, что несмотря на кажущееся различие моделей М. Био и Ф. Гассмана, математически они эквивалентны.

М. Био и Ф. Гассман рассмотрели деформацию пористых пород,

не содержащих помимо воды других минеральных включений в по­

рах. В. М. Добрынин (1970 г.), используя подход Ф. Гассмана, рассмот­ рел более общий случай, когда в порах породы находятся минераль­ ные включения (глина), отличающиеся по упругим свойствам от ске­

лета, и не связанные с ним механически.

Горные породы в общем случае - довольно сложные образова­

ния. Объем породы V, равный по величине объему твердого скелета Vск• складывается из объема породообразующих минералов Vтв и объема пустот или пор V п• заполненных флюидом (водой, нефтью,

газом или смесью их):

Внутри пор породы могут находиться включения (Vвк), представ­ ленные минеральным веществом (глинами) или флюидом, отличным по свойствам от пластовой воды (нефти, газа).

Термином «скелет породы» (Vск> будем пользоваться в тех случа­

ях, когда требуется определить деформацию породы без учета упру­ гих свойств насыщающих породу флюидов, т. е. только при изучении

деформаций. Термин «объем породы» (V) применяется в более ши­ роком смысле, когда требуется определить деформацию породы с уче­

том упругих свойств флюидов.

292

Объемнаядеформацияскелетапородыскладываетсяиздеформации породообразующих минералов и поровоrо пространства при изменении среднеrо нормальноrо напряжения (dp), обусловленноrо весом вышеле­ жащейТОJПЦИ пород, пластовоrо давления (dpiJJI) и температуры (d'Г).

Дифферен~ирование уравнения (12.13) позволило получить сле­

дующие выраЖения для определения относительных деформаций

скелета dV/V, поровоrо пространстваdV0 /Vп• твердой фазыdVтв/Vтв•

породы [15]:

dV

-V=~cкd(p-pПJJ)+~твdpiiJI-a.ТВdT;

где

J.l.p=(1-flrJJ~вкf~тв)/(1-тtrJJ) JLт=(1-тtrJJrJ.вк/«тa)/(1-тtrJJ),

~ск• Рпи~тв-коэффициентысжимаемостисоответственноскелета, пор и твердой фазы породы; Рак - то же для. глинистых включений; «вк•

«та - коэффициенты тепловоrо расширения глинистых включений и минералов твердой фазы породы; тtrJJотносительная глинистость.

Коэффициенты J.l.p и JLтв уравнении (12.14) отражают влияние рас­ сеянной глинистости в порах породы на деформацию поровоrо про­ странства и твердой фазы породы.

Рекомендуемые значения коэффициентов J.l.p и JLт приведеныв табл. 28; более подробные графики в работе [15].

Между коэффициентами сжимаемости имеет место связь

Т а б зх и ц а 28. Рекомендуемые значении коэффициентов J.lp и 11т в порис­

тых горных породах [15]

Порода

293

12.2.2. Однофазные и низкопористые породы

Многие минералы, магматические и метаморфические горные по­

роды, как известно, имеют весьма низкую пористость, измеряемую

единицами процентов. Такие породы можно рассматривать как одно­ фазные. Их упругие свойства могут меняться в зависимости от крис­ таллической или структурной анизотропии, но свойства этих телв на­

пряженном состоянии, характеризующие объемные деформации (на­ пример, объемная сжимаемость), подобны идеально упругим средам.

Из уравнения (12.15) следует, что если в пористой среде k0 --+0, то f3ск--+ 13тв· Другими словами, объемная сжимаемость такой сложно по­

строенной породы приближаетсяк сжимаемости ее твердой фазы. Это

предельный случай использования полученных уравнений для оп­ ределения деформаций горных пород, поэтому он требует некоторой детализации деформационной модели.

В реальных минералах, в магматических и метаморфических по­

родах, а также в солях всегда имеется небольшое (до 1- 3 %) количе­

ство включений или пор. Наличие таких «дефектов» несколько уве­

личивает сжимаемость таких тел, сохраняя общие черты деформа­

ции сплошных тел.

Коэффициент сжимаемости таких низкопористых тел можно оце­

нить с помощью модели 3. Хашина, представляющей собой сплошное

упругое тело с равномерно распределенными в нем шаровыми вклю­

чениями, занимающими лишь небольшой объем этого тела:

3(1-vтв>(A...-1Jku

где /30, 13тв• /33 - коэффициенты сжимаемости соответственно тела в

целом, твердой фазы и заполнителя пор; vтвкоэффициент Пуассо­

на твердой фазы.

Расчеты показывают, что даже при (:33 /13тв=10 и k0 =2% величина (:30 превышает /3тв за счет пористости менее чем на 5% и практически

не зависит от величины напряжения [15].

Таким образом, минералы и низкопористые горные породы можно

при инженерных расчетах объемных деформаций рассматривать как идеально упругие тела. Для них характер нагрузок (статические или колебательные) не имеет большого значения. Другое делопористые

породы, содержащие в порах значительное количество флюидов.

12.2.3. Деформация при статических вагружениях

Система уравнений (12.14) позволяетопределить упругие свойства горных пород при статических нагружениях. Имеются в виду лабо­

раторные изучения пород на установках, имитирующих естествен­

ное залегание пород.

294

Вид уравнений в этом случае зависит от граничных условий опы­

тов. Рассмотрим некоторые из них.

1. В процессе деформации эффективное напряжение и темпера­

тура постоянны (р-рпл)=const и T=const. Частным случаем этого на­ гружения является исследование в сосуде высокого давления образ­ ца, не закрытого эластичной оболочкой (р-Рол)=О.

Уравнения (12.14) в этом случае принимают вид:

Этот прием используетсядляопределения 13твпо результатам из­

мерения объема образца.

Коэффициентсжимаемоститвердойфазы 13твхарактеризуетсжи­

маемость минеральных зерен, слагающих скелет породы, поэтому он

близок к коэффициенту сжимаемости сплошного упругого тела.

Рассмотрение результатов экспериментальных определений ко­

эффициентов сжимаемости твердой фазы некоторых горных пород

(табл. 29) показывает, чтокоэффициент 13твхарактеризуетсянеболь­

шой величиной, практически не зависящей от приложеиного давле­ ния. Его среднее значение на один-два порядка ниже коэффициента

сжимаемости пор обломочных и карбонатных пород.

2. В процессе деформации температура и давление насыщающей

порыпородыжидкостипостоянны (Т=const, Pnл=const). Система урав­

нений (12.14) в этих условиях принимает вид:

-(~,:В1...т= (1-1ko)f3~dp;

Этот способ нагружения часто используют для определения ко­

эффициентов сжимаемости породы и в частности коэффициента (30 •

На рис. 99 представлены результаты экспериментального изуче­ ниябольшойколлекции горных пород с гранулярной пористостью. Для

всех изученных пород наблюдается закономерное уменьшение сжи­

маемости пор с увеличением всестороннего эффективного давления:

295

где ~nmax и (P-Pм>mln"'2 МПакоординаты точки на эксперимен­

тальной кривой, начина.я с которой становитс.я справедливым урав­

нение (12.18).

Величина коэффициента сжимаемости пор ~nmax .явл.яетс.я слож­

ной функцией литологического состава. Его величина закономерно

увеличиваетс.я с ростом глинистости пород и ухудшением ее отсор­

тированности [15]. По мере увеличени.я эффективного напр.яжени.я вли.яние литологии и пористости пород нивелируетс.я. Роль темпера­

туры в пределах от О до 200 ·с относительно невелика.

3. Большой интерес дл.я подземной гидродинамики представл.яет изучение объемной деформации горизонтального пласта пород в ре­ зультате падени.я в нем пластового давлени.я (p=const, T=const). С этой целью пользуютс.я пон.ятием коэффициента сжимаемости пор

породы в дренируемом пласте:

Подставим, согласно (12.14), значение (1/V0 ) (dV0 /dрм) при усло­

вии p=const и T=const в уравнение (12.19):

Практическое использование уравнени.я (12.20) станетвозможным, если определена величина dp/dprur Дл.я случа.я тонкого горизонталь­ ного пласта бесконечного простирании можно пренебречь относитель­

ными боковыми смещени.ями при деформации. Решение этой задачи

Т а блица 29. Значении коэффициентов сжимаемости твердой фазы не­

которых пород

297

для частного случая несжимаемой твердой фазы (~тв=О) дано в работе

И. Гиртсма (1957 г.). Рассмотрим это решение для более общего случая.

Согласно первому уравнению (12.14) при изотермическом сжатии

имеем

-(d:)T =~скdр-(~ск-~тв)dрПJJ ·

Рассматривая пласт как упругое тело, это уравнение можно с по­

мощью выражения {12.12) преобразовать, опустив для простоты ин­ дексы при коэффициенте Пуассона и модуле Юнга:

-(~)т =3(1-:v)dp-[3(1-:v)_~твJdpм.

Введем прямоугольную систему координат и направим ось z пер­ пендикулярно к плоскости пласта. В силу симметрии задачи направ­ ления главных нормальных напряжений совпадут с направлениями осей координат. Тогда выражение для горизонтальной составляющей относительной деформации ех пласта при изменении среднего нор­

мального напряжения на величину dp можно с учетом предыдущего

уравнения записать:

Поскольку в силу осевой симметрии задачи Рх=Ру• и напр~жение, создаваемое весом вышележащих пород, постоянно (dp2 =0), то, пре­

небрегая боковыми относительными деформациями в пласте беско­

нечного простирания ех=еу=О, уравнение (12.21) можно преобразо­

вать:

(12.22)

Поскольку р = 1/3(рх+Ру+Р2)=2/3 Рх+ 1/3 Pz и p 2 =const, то

dp=2/3dpx;

из уравнения (12.22) найдем:

Последнему уравнению с помощью равенств (12.4) и (12.15) можно

придать вид

(12.23)

298

Если в уравнении (12.23) пренебречь сжимаемостью зерен поро­

ды, то оно перейдет в известное уравнение И. Гиртсма.

В песчано-глинистых высокопористых коллекторах (см. рис. 83) k0

При значении коэффициента Пуассона v = 0,2; dp/dрм=0,5, т. е. ко­

эффициент сжимаемости пор такой породы, определенный по паде­ нию пластового давлении, равен половине коэффициента сжимаемо­ сти пор той же породы, найденного при всестороннем сжатии:

~п.пп=0,5 ~п·

В трещиноватых породах, открытая пористость которых очень

низка (kт= ш-3), а роль твердой фазы играет непроницаема.я «матри­ ца», ~111>~тв• отношение~~https://studfile.net/(k,.~т) оказатьс.ясущественнобольше еди­

ницы. Тогда dp/dpм--+ О и согласно (12.20) ~пл--+(~0 - ~~тв>·

Результаты исследований, приведеиные в настоящем разделе,

свидетельствуют о том, что при объемных деформациях, в условиях

статических нагрузок упругие характеристики горных пород зави­

сит от конкретных напряженных состояний. Это обстоятельство не­

обходимо учитывать при исследованиях.

12.2.4. Деформация при колебательных динамических

нагрузках

При изучении упругих свойств горных пород в скважинах стан­

дартными акустическими приборами используются колебательные

поли напряжений с частотой 20-30 кГц. Если учесть достаточно

высокое гидравлическое сопротивление порового пространства у

большинства пород в естественном залегании, а также кратковре­ менность действии колебательных напряжений, можно допустить,

что в пористых породах насыщающая вода не сможет перетекать

в порах под действием таких динамических нагрузок. Следователь­

но, в этом случае поры можно считать гидраолически изолирован­

ными. Это предположение не .явл.яетс.я строгим, так ~ак оно сдела­ но без учета неравновесных термодинамических процессов и не учитывает вливнии частоты колебательного процесса. Однако дли вычислений, припитых в практике, такое приближение позволнет

воспользоваться простыми деформационными моделями при изу­

чении закономерностей, связанных с кинематическими характе­

ристиками волновых процессов (скорость упругих волн). Это при­

ближение не может использоваться при изучении динамических характеристик (затухание упругих волн), требующего учета вли­

внии неравновесных термодинамических процессов в поровом про­

странстве породы.

Воспользуемся пон.ятием о коэффициенте объемной сжимаемо­

сти пористого тела, имеющего систему гидраолически изолирован­

ныхпор:

299