Безопасность

Одно из важнейших свойств сети Петри, которая должна моделировать реальное устройство, – безопасность. Позиция сети Петри является безопасной, если число фишек в ней никогда не превышает 1. Сеть Петри безопасна, если безопасны все позиции сети.

Определение 10. Позиция p_iP сети Петри С= (Р, Т, I, O) с начальной маркировкой  является безопасной, если '1 для любой '  R(C, ). Сеть Петри безопасна, если безопасна каждая ее позиция.

Безопасность – очень важное свойство для устройств аппаратного обеспечения. Если позиция безопасна, то число фишек в ней равно 0 или 1. Следовательно, позицию можно реализовать одним триггером.

В первоначальном определении сети Петри были безопасны, поскольку переход не мог быть запущен, если не все из выходных позиций были пусты (а кратные дуги не были разрешены). Это объяснялось интерпретацией позиции как условия. Условие, будучи логическим высказыванием, либо истинно (представляется фишкой в позиции), либо ложно (представляется отсутствием фишки); кратные фишки не имеют никакой интерпретации. Таким образом, если интерпретировать сети как условия и события, маркировка каждой позиции должна быть безопасной.

Если позиция не является кратной входной или кратной выходной для перехода, ее можно сделать безопасной. К позиции p_i, которую необходимо сделать безопасной, добавляется новая позиция p'_i. Переходы, в которых p_i используется в качестве входной или выходной, модифицируются следующим образом:

Если p_i I(t_j) и p_i  O(t_j), тогда добавить p'_i к O(t_j).

Если p_i  O(t_j) и p_i  I(t_j), тогда добавить p'_i к I(t_j).

Рис.5.15 Рис.5.16

Цель введения этой новой позиции p'_i – представить условие «p_i пуста». Следовательно, p_i и p'_i дополнительны; p_i имеет фишку, только если p'_i не имеет фишки и наоборот. Любой переход, удаляющий фишку из p_i, должен помещать фишку в p'_i, а всякий переход, удаляющий фишку из p_i, должен помещать фишку в p'_i. Начальная маркировка также должна быть модифицирована для обеспечения того, чтобы точно одна фишка была либо в p_i, либо в p'_i. (Мы допускаем, что начальная маркировка безопасна.) Заметим, что такая принудительная безопасность возможна только для позиций, которые в начальной маркировке являются безопасными и входная и выходная кратность которых равна 0 или 1 для всех переходов. Позиция, имеющая для некоторого перехода выходную кратность 2, будет получать при его запуске две фишки и, следовательно, не может быть безопасной. Простая сеть Петри на рис.5.15 реобразована в безопасную, как показано на рис.6.16

Ограниченность

Безопасность – это частный случай более общего свойства ограниченности. Некоторые соображения относительно реального ограничения на аппаратную, реализацию позиций позволяют прийти к заключению, что безопасность – необязательное требование. Безопасность позволяет реализовать позицию триггером, но в более общем случае можно использовать счетчик. Однако любой аппаратно реализованный счетчик ограничен по максимальному числу, которое он может представить. Позиция является k-безопасной или k-ограниченной, если количество фишек в ней не может превышать целое число k.

Определение 11. Позиция p_i  P сети Петри С = (Р, Т, I, O) с начальной маркировкой  является k-беэопасной, если '(p_i)  k для всех '  R(C, ).

Иногда нас будет интересовать только то, является число фишек в позиции ограниченным или нет, а не конкретное значение границы. Позиция называется ограниченной, если она k–безопасна для некоторого k; сеть Петри ограниченна, если все ее позиции ограниченны. Ограниченную сеть Петри можно реализовать аппаратно, тогда как сеть Петри с неограниченными позициями в общем cлучае реализовать аппаратно нельзя.