Нахождение площади фигуры
.docxНахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y).
В разделе геометрический смысл определенного интеграла мы разобрались с нахождением площади криволинейной трапеции G. Вот полученные формулы:
-
для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке[a;b],
-
для непрерывной и неположительной функции y=f(x) на отрезке[a;b].
Однако при решении задач на нахождение площади очень часто приходится иметь дело с более сложными фигурами.
В этой статье мы поговорим о вычислении площади фигур, границы которых заданы функциями в явном виде, то есть, как y=f(x) или x=g(y), и подробно разберем решение характерных примеров.
Навигация по странице.
-
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).
-
Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).
Теорема.
Пусть функции и определены и непрерывны на отрезке [a;b], причем для любого значения x из [a;b]. Тогда площадь фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b, и вычисляется по формуле .
Аналогичная формула справедлива для площади фигуры, ограниченной линиями y=c,y=d, и : .
Доказательство.
Покажем справедливость формулы для трех случаев:
В первом случае, когда обе функции неотрицательные, в силу свойства аддитивности площади сумма площади исходной фигуры G и криволинейной трапеции равна площади фигуры . Следовательно,
Поэтому, . Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.
Аналогично, во втором случае справедливо равенство . Вот графическая иллюстрация:
В третьем случае, когда обе функции неположительные, имеем . Проиллюстрируем это:
Теперь можно переходить к общему случаю, когда функции и пересекают ось Ox.
Обозначим точки пересечения . Эти точки разбивают отрезок [a; b]на n частей , где . Фигуру Gможно представить объединением фигур . Очевидно, что на своем интервале попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как
Следовательно,
Последний переход справедлив в силу пятого свойства определенного интеграла.
Графическая иллюстрация общего случая.
Таким образом, формула доказана.
Пришло время перейти к решению примеров на нахождение площади фигур, ограниченных линиями y=f(x) и x=g(y).
К началу страницы
Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиямиy=f(x) или x=g(y).
Решение каждой задачи будем начинать с построения фигуры на плоскости. Это нам позволит сложную фигуру представить как объединение более простых фигур. При затруднениях с построением обращайтесь к статьям: основные элементарные функции, их свойства и графики; геометрические преобразования графиков функций и исследование функции и построение графика.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямыми , x=1, x=4.
Решение.
Построим эти линии на плоскости.
Всюду на отрезке [1;4] график параболы выше прямой . Поэтому, применяем полученную ранее формулу для площади и вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
Немного усложним пример.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение.
В чем здесь отличие от предыдущих примеров? Ранее у нас всегда были две прямых, параллельных оси абсцисс, а сейчас только одна x=7. Сразу возникает вопрос: где взять второй предел интегрирования? Давайте для этого взглянем на чертеж.
Стало понятно, что нижним пределом интегрирования при нахождении площади фигуры является абсцисса точки пересечения графика прямой y=x и полу параболы . Эту абсциссу найдем из равенства:
Следовательно, абсциссой точки пересечения является x=2.
Обратите внимание.
В нашем примере и по чертежу видно, что линии и y=x пересекаются в точке(2;2) и предыдущие вычисления кажутся излишними. Но в других случаях все может быть не так очевидно. Поэтому рекомендуем всегда аналитически вычислять абсциссы и ординаты точек пересечения линий.
Очевидно, график функции y=x расположен выше графика функции на интервале [2;7]. Применяем формулу для вычисления площади:
Еще усложним задание.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .
Решение.
Построим график обратной пропорциональности и параболы .
Прежде чем применять формулу для нахождения площади фигуры, нам нужно определиться с пределами интегрирования. Для этого найдем абсциссы точек пересечения линий, приравняв выражения и .
При отличных от нуля значениях x равенство эквивалентно уравнению третьей степени с целыми коэффициентами. Можете обратиться к разделу решение кубических уравнений чтобы вспомнить алгоритм его решения.
Легко проверить, что x=1 является корнем этого уравнения: .
Разделив выражение на двучлен x-1, имеем:
Таким образом, оставшиеся корни находятся из уравнения :
Теперь из чертежа стало видно, что фигура G заключена выше синей и ниже красной линии на интервале . Таким образом, искомая площадь будет равна
Рассмотрим еще один характерный пример.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и осью абсцисс.
Решение.
Сделаем чертеж.
- это обычная степенная функция с показателем одна треть, график функции можно получить из графика отобразив его симметрично относительно оси абсцисс и подняв на единицу вверх.
Найдем точки пересечения всех линий.
Ось абсцисс имеет уравнение y=0.
Графики функций и y=0 пересекаются в точке (0;0) так как x=0 является единственным действительным корнем уравнения .
Графики функций и y=0 пересекаются в точке (2;0), так как x=2является единственным корнем уравнения .
Графики функций и пересекаются в точке (1;1), так как x=1является единственным корнем уравнения . Это утверждение не совсем очевидно, но - функция строго возрастающая, а - строго убывающая, поэтому, уравнение имеет не более одного корня.
Как же действовать дальше? Здесь есть несколько вариантов.
-
Можно фигуру G представить суммой двух криволинейных трапеций. Первая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке , вторая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже красной линии на отрезке . Следовательно, искомая площадь будет равна .
-
Можно фигуру G представить разностью двух фигур. Первая фигура является криволинейной трапецией и расположена выше оси Ox и ниже синей линии на отрезке , вторая фигура расположена выше красной и ниже синей линии на отрезке . В этом случае площадь представляем как .
-
А можно фигуру G рассматривать на отрезке , заключенной правее синей линии и левее красной. Вот на этом варианте и остановимся.
Единственное замечание: в этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида . То есть, ограничивающие линии нужно представить в виде функций от аргумента y. Это сделать в нашем случае достаточно легко. Разрешим уравнения и относительно x:
Таким образом, искомая площадь равна
Мы бы пришли к этому же результату и в двух других случаях.
Можно переходить к последнему примеру.
Пример.
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .
Решение.
С построением этих линий проблем возникнуть не должно. На чертеже красной линией изображен график функции , синей линией , а черной линией .
Определим точки пересечения линий.
Начнем с графиков функций и :
Найдем точку пересечения графиков функций и :
Осталось найти точку пересечения прямых и :
Дальше можно поступить двояко:
-
Площадь искомой фигуры можно представить суммой площадей фигур, изображенных на рисунке
Тогда площадь фигуры равна:
-
Также можно было площадь исходной фигуры выразить суммой площадей, показанных на чертеже
Для этого случая, перед применением формулы для вычисления площади фигуры, разрешим уравнения линий относительно x:
Таким образом, площадь равна:
Как видите, значения совпадают.
К началу страницы
Подведем итог.
Мы разобрали все наиболее часто встречающиеся случаи нахождения площади фигуры, ограниченной явно заданными линиями. Для этого нужно уметь строить линии на плоскости, находить точки пересечения линий и применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие навыков вычисления определенных интегралов.