1. Наращение по простой процентной ставке

Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применя­ются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда ин­тервал начисления совпадает с периодом начисления (и составля­ет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждо­го интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут приме­няться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон.

Под наращенной суммой ссуды (долга,депозита,других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока начисления. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная формула зависит от вида применяемой процентной ставки и условий наращения.

К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов примем обозначения:

I-проценты за весь срок ссуды; 

P-первоначальная сумма долга; 

S-наращенная сумма, т.е. сумма в конце срока; 

i-ставка наращения процентов; 

n-срок ссуды.

Если срок измеряется в годах, то i означает годовую процентную ставку. Соответственно каждый год приносит проценты в сумме Pi. Начисленные за весь срок проценты составят

I=Pni.

Наращенная сумма, таким образом, находится как

S=P+I=P+Pni=P(1+ni).                    

Это выражение называют формулой простых процентов, а множитель (1+ni)-множителем наращения простых процентов. Определение современной величины Рнаращенной суммы Sназывается дисконтированием, а определение величины наращен­ной суммы S — компаундингом.

2. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получае­мой попрошествии интервала начисления (т. е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая опера­ция называется дисконтированием по учетной ставке, а также ком­мерческим или банковским учетом.

Дисконт— это доход, полученный по учетной ставке, т. е. раз­ница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

Пусть теперь

d(%) — простая годовая учетная ставка;

d — относительная величина учетной ставки;

D_г — сумма процентных денег, выплачиваемая за год;

D — общая сумма процентных денег;

S— сумма, которая должна быть возвращена;

Р — сумма, получаемая заемщиком.

Тогда, согласно определениям, имеем следующие формулы:

D_e=dS;

D=nD_e=ndS;

Р= S- D= S(l-nd) = S[l-(d/K)d].

Преобразуя последнее выражение, получаем формулу для оп­ределения наращенной суммы:

S=P/(1-nd)=P/(1-d*d/K)

Из этой формулы легко видеть, что в отличие от случая про­стых ставок ссудного процента простые учетные ставки не могут принимать любые значения. Именно для того, чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби в пра­вой части был строго больше нуля, т. е. (1 — nd) >0, или d< 1/n. Правда, со значениями d, близкими к предельным, вряд ли мож­но встретиться в жизни.

На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (т. е. покупке) векселей и других денежных обязательств. Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:

n=(S-P)/Sd

d=(S-P)/Sn=(S-P)*K/Sd

Математическим дисконтированием называется операция, когда по наращенной сумме S, периоду начисления пи про­стой процентной ставке iнужно определить первоначальную сумму Р: S = Р(1 + ni) =* Р= S/(1 + ni)

Список использованной литературы: основная литература 1-4

ЛЗ 10

Схемы начисления сложных процентов 1. Начисление сложных годовых процентов 2. Дисконтирование по сложной ставке процента 3. Эквивалентность процентных ставок

1. Начисление сложных годовых процентов

Сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.

Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом капитализации (начислении процентов).

Пусть Р — первоначальная сумма,

S — наращенная сумма,

i— годовая процентная ставка (проценты сложные).

Так как проценты сложные, то в конце каждого интервала начисления процентная ставка применяется к наращенной сумме на начало этого интервала начисления.

Предположим, что первоначальная сумма Р была помещена в банк под iпроцентов годовых (проценты сложные).

Прошел 1 год. Тогда наращенная сумма S = Р(сумма на начало этого интервала начисления) + iP(проценты) = = Р(1 + i).

Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 2 года). Тогда наращенная сумма после двух лет S= Р(1 + i) (наращен­ная сумма после одного года) + iP(l + i) (проценты) = = Р(1 + i)(l + 0 = Р(1 + i)²

Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 3 года). Тогда наращенная сумма после трех лет S = Р(1 + i)²(наращенная сумма после двух лет) + iP (1 + i) (проценты) = = Р(1 + i)²(l +i) = Р(1 + i)³.

И т. д.

Если п— период начисления процентов (в годах), то на­ращенная сумма через п лет

S= Р(1 + i) ⁿ.

2. Дисконтирование по сложной ставке процента

Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления сложных процентов.

Математическим дисконтированием называется операция, когда по наращенной сумме S, периоду начисления пи слож­ной процентной ставке iнужно определить первоначальную сумму Р.

3. Эквивалентность процентных ставок

Две ставки называются эквивалентными,если при одинаковой первоначальной сумме Ри на одинаковом периоде начисления п они приводят к одинаковой наращенной сум­ме S.

Эквивалентные процентные ставки— это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

При сравнении двух ставок из разных классов для одной из них находят эквивалентную ей ставку из другого класса и проводят сравнение двух ставок из одного класса.

Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случа­ях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения раз­личных процентных ставок.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок использу­ют уравнения эквивалентности, принцип составления которых за­ключается в следующем. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма S). На основе равенства двух вы­ражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между про­центными ставками различного вида.

Повторим формулы для определения наращенной суммы при различных способах начисления процентов, полученные в пре­дыдущих вопросах этой темы:

Приравнивая эти формулы попарно, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различ­ными процентными ставками.

Список использованной литературы: основная литература 1-4

ЛЗ 11

Потоки платежей, их виды, свойства и характеристики Понятие ренты, ее виды Понятие общей ренты и расчеты, связанные с нахождением ее параметров

1. Понятие ренты, ее виды

Потоки платежей весьма часто встречаются на практике. Заработная плата выплачивается, как правило, в виде потока платежей 2 раза в месяц, примерно через 15 дней. Плата за квартиру — поток, как правило, ежемесячных платежей. Семья откладывает на покупку автомобиля, внося ежемесячно на счет в банк некоторую сумму, и т.д. Регулярные взносы в пенсионный фонд — это пример аннуитета. Поэтому изучение потоков платежей очень важно.

Поток платежей — это последовательность величин самих платежей (со знаками) и моментов времени, когда они осуществлены.

Платеж со знаком плюс, который может быть опущен, — это поступление, платежи со знаком минус представляют собой выплаты.

Рентой называется последовательность периодических выплат, обычно равных по величине, осуществляемых через равные промежутки времени.

Аннуитет (финансовая рента)— это ряд последователь­ных платежей через одинаковые промежутки времени.

Наиболее распространенными примерами рент являются выплаты по облигациям, премии по страхованию, выплаты потребительских кредита и т.д.

Привести пример аннуитета.

Rj— это величина отдельного платежа ренты.

Временной интервал между двумя последовательными выплатами называется периодом ренты.

Срок от начала первого периода до конца последнего называется сроком ренты.

Интервал ренты— это время между двумя последовательными платежами. Если все платежи равны между собой, то это постоянная рента, иначе — переменная рента.

Различают два основных типа рент:

1. Безусловные ренты — это ренты с фиксированным сроком, т.е. даты первой и последней выплаты определены до начала ренты.

2. Условные ренты — ренты, в которых дата первой или последней выплаты зависит от некоторого события. Например, пенсия или премия по страхованию жизни.

Виды ренты:

1. обычная илипостнумерандо, выплаты производятся в конце каждого периода

2. приведенная (авансированная или пренумерандо), если выплаты — в начале каждого периода.

Поток называется конечным или бесконечным в зависимости от количества платежей в нем.

Для расчета наращения или дисконтирования платежей используется сложная процентная ставка i.

Наращенная (будущая) сумма ренты S— это все платежи вместе с процентами на дату последней выплаты.

Современная (приведенная) стоимость ренты — это все платежи вместе с процентами, пересчитанные на начальный момент времени ренты с помощью операции математического дисконтирования.

Существуют ренты:

1. верные(выплата не ограничена никакими условиями)

2. условные (выплата обусловлена наступ­лением какого-то события). Страховые взносы — это пример условной ренты.

Срок реализации отложенных рент откладывается на некоторое время.

Пусть р— число рентных платежей в году, а число mпоказывает, сколько раз в году начисляются проценты.

Ренты, для которых р= m, называются простыми.

Ренты, для которых р ≠ m, называются общими.

2. Понятие простой ренты и расчеты, связанные с нахождением ее параметров

Текущим значением ренты называется денежная сумма, эквивалентная множеству всех выплат в начальный момент ренты.

Наращенным значением (суммой) ренты называется сумма, эквивалентная множеству всех выплат в конце всего срока ренты.

Для обычной ренты текущее значение определяется за один период до первой выплаты, а наращенное значение — в момент последней выплаты. Очевидно, что и текущее, и наращенное значение зависят от процентной ставки, используемой в уравнении эквивалентности. Так период ренты может совпадать или не совпадать с периодом начисления процентов. Ренты по этому признаку классифицируются на простые и общие соответственно.

Пусть R— ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в конце каждого года по сложной процентной став­ке i, n— срок ренты.

R R R ...R R R

0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

Платеж в конце 1-го года даст наращенную сумму R(l + i)^n-1. Платеж в конце 2-го года даст наращенную сум­му R (1 + i)^n-1. Платеж в конце 3-го года даст наращенную сумму R (1 + i)^n-3 и т. д.

Наращенная (будущая) сумма ренты S = R(l + i)^n-1 + R(l + i)^n-2+ R(l + i)^n-3+ + ... + R(l + i)ⁿ + R. Мы получили сумму nпервых членов геометрической прогрессии с b = Rи знаменателем q= 1 + i.

S=b₁(gⁿ-1)/ (g-1) = R((1-i)ⁿ -1) / ((1-i) -1) = R((1-i)ⁿ -1) / i

R R R ...R R R

01 2 3 ...n-2 n-1 n

Платеж в конце 1-го года даст современную стоимость R(l + i)ⁿ. Платеж в конце 2-го года даст наращенную сумму R(l + i)^n-1. Платеж в конце 3-го года даст наращенную сум­му R(l + i)^n-2И т. д.

Наращенная (будущая) сумма ренты S = R(l + i)ⁿ + R(l + i)^n-1+ R(l + i)^n-2+ + ... + R(l + i)²R(l + i). Мы получили сумму nпервых членов геометрической прогрессии с b = Rи знаменателем q= 1 + i.

S=b₁(gⁿ-1)/ (g-1) = R*(1-i)* ((1-i)ⁿ -1) / ((1-i) -1) = R*(1-i)* ((1-i)ⁿ -1) / i

R R R ...R R R

01 2 3 ...n-2 n-1 n

Платеж в конце 1-го года даст современную стоимость R/(l + i). Платеж в конце 2-го года даст наращенную сумму R/(l + i)². Платеж в конце 3-го года даст наращенную сум­му R/(l + i)³И т. д.

Современная стоимость рентыА = R/(l+ i) + R/(l + i)² + R/(l + i)³ +…+ R/(l + i)^n-1 + R/(l + i)ⁿ.Мы получили сумму nпервых членов геометрической прогрессии b1=R/(l+ i) и знаменателем q = 1/(1 + i).

ТогдаА= b₁(gⁿ-1)/ (g-1) =R/(l + i)*(1/(1+i)ⁿ-1)/ (1/(1+i)-1)=

=R(1-1/(1+i)ⁿ)/i

Это современная стоимость простой ренты постнумерандо. Подставив в эту формулу вместо Rвеличину R(l + i), мы получим современную стоимость простой ренты пренумерандо

А= R*(1+i)*(1-1/(1+i)ⁿ)/i

Зная процентную ставку i, количество выплат n и наращенную сумму S(или современную стоимость А) простой ренты, можно определить величину отдельного платежа R. Для простой ренты постнумерандо наращенная (будущая) сумма ренты S=R((1-i)ⁿ -1) / I. Отсюда R=S*i/ ((1-i)ⁿ -1)

Для простой ренты пренумерандо наращенная (будущая)сумма ренты S=R*(1-i)* ((1-i)ⁿ -1) / I

Отсюда R=S*i/ (1+i)*((1-i)ⁿ -1))

Зная величину отдельного платежа R, процентную ставку iи наращенную сумму S (или современную стоимость А) простой ренты, можно определить количество выплат n.

Для простой ренты постнумерандонаращенная (будущая) S=R((1-i)ⁿ -1) / I.

Отсюда (1 + i)ⁿ - 1 = Si/R =>

n= ln (1+ Si/R) /ln (1+i)

Подставив в последнюю формулу вместо Rвыражение R(1-i).мы получим срок ренты пренумерандо:

n= ln (1+ Si/R(1+i)) /ln (1+i)

А= R*(1-1/(1+i)ⁿ)/I

Отсюдаn =-ln (1-Ai/R) /ln (1+i)

Подставив в последнюю формулу вместо Rвыражение R(1+i), мы получим срок ренты пренумерандо:

n =-ln (1-Ai/R(1+i)) /ln (1+i)

Зная величину отдельного платежа R, количество выплат nи наращенную сумму S (или современную стоимость А) простой ренты, можно попытаться найти процентную ставку. Но получается нелинейное уравнение.

Срок реализации отложенных рент откладывается на некоторое время — период отсрочки.

Список использованной литературы: основная литература 1-4

ЛЗ 12

Потоки платежей, их виды, свойства и характеристики Преобразование простой ренты в общую ренту. Простая бессрочная рента. Общая бессрочная рента. Бессрочная рента пренумерандо.

3. Понятие общей ренты и расчеты, связанные с нахождением ее параметров

Подставив в формулу для наращенной суммы простой ренты S=R((1-i)ⁿ -1) / I. и выражения R = Wi/((1 + i)^m/P- 1).мы найдем наращенную сумму общей ренты:

S = W((1-i)ⁿ -1) / ((1 + i)^m/P- 1).

Здесь n— это общее количество интервалов начисления процентов за весь срок ренты.

Подставив в формулу для современной стоимости простой рентыА=R*(1-1/(1+i)ⁿ)/I выражение R = Wi/((1 + i)^m/P- 1), мы найдем современную стоимость общей ренты: А = W*I*(1-1/(1+i)ⁿ)/ ((1 + i)^m/P- 1)

4. Преобразование простой ренты в общую ренту.

Пусть р— число рентных платежей в году, а число mпоказывает, сколько раз в году начисляются проценты. Для об­щей ренты р ≠m, а для простой ренты р = m.

Для простой ренты довольно несложно определяются все ее параметры. Поэтому для вычисления параметров общей ренты очень важно уметь преобразовывать общую ренту в простую ренту.

Пусть Wи R— величины выплат общей и простой рент соответственно, р — число рентных платежей в году для общей ренты, m— число интервалов начисления процентов в году, jи i — процентные ставки за интервал начисления про­центов общей и простой рент соответственно, n— общее чис­ло интервалов начисления процентов.

Данные ренты эквивалентны, то есть процентные ставки за периоды рент совпадают и эквивалентные этим рентам зна­чения, соответствующие одному и тому же моменту времени, совпадают. Тогда (1 + j)^p = (1 + i)^m =>j= (1 + i)^m/P- 1.

Наращенные суммы для обеих рент одинаковы:

R*(1-i)* ((1-i)ⁿ -1) / I - 1)= W((1 + i)^m/P- 1)/j

R/I = W/j R= Wi/j = Wi/((1 + i)^m/P- 1)

5. Простая бессрочная рента. Общая бессрочная рента. Бессрочная рента пренумерандо.

Под «вечной» годовой рентой понимается рента, последовательность платежей которой неограниченна, предполагается, что рента будет выплачиваться неограниченно долго.

Бессрочная рента — это рента, выплаты которой не ограничены никаким сроком. Существует множество примеров бессрочных рент, простейший из них, наверно, — последовательность периодических выплат процентов на продуктивно инвестированный капитал. Классификация бессрочных рент (на обычные, приведенные, отложенные и т.д.) полностью совпадает с классификацией рент (конечных), которые рассматривались выше. Например, обычная простая бессрочная рента — это множество периодических платежей, производимых бесконечно долго в конце каждого последовательного периода начисления процентов. Простая бессрочная рента

Бессрочная рента не ограничена никаким сроком, то есть срок ренты

n→∞.

R R R ... R R R

01 2 3 ...n-2 n-1 n

Современная стоимость простой бессрочной ренты

A=R/i. ОтсюдаR = Ai.

Общая бессрочная рента — это бессрочная рента, для которой период выплат отличается от периода начисления процентов.

Бессрочная рента пренумерандо отличается от бессрочной ренты постнумерандо только платежом в момент времени t= 0. Поэтому для простой бессрочной ренты пренумерандо современная стоимостьА — R + R/i, а для общей бессрочной ренты пренумерандо современная стоимость

А= W + R/i = W+ Wi/((1 + i)^m/P- 1)i= W/(1-1/(1 + i)^m/P)

Список использованной литературы: основная литература 1-4

ЛЗ 13

Сущность лизинга как инструмента финансирования 1. Формы лизинга и их основные особенности 2. Виды лизинга