2.6. Вычеты функций и их применение

_{Изучаемые вопросы: Теорема Коши о вычетах; Вычисление вычетов; Вычет в бесконечно удалённой точке; Приложение вычетов к вычислению интегралов.}

2.6.1. Теорема Коши о вычетах

Пусть – изолированная особая точка функции. В окрестности этой точкиможет быть представлена рядом Лорана

. (1)

Коэффициент в разложении (1) называетсявычетом функции в изолированной особой точке. Он обозначается как

. (2)

Теорема Коши. Если регулярна в областивсюду, за исключением внутренних точек, то интеграл от функции, взятый по контуру областив положительном направлении, равен произведениюна сумму вычетовв точках:

. (3)

○ Исключим точки , окружив их достаточно малыми окрестностями с границами(см. рисунок).

Воставшейся области(она закрашена серым)удовлетворяет всем условиям интегральной теоремы Коши, следовательно,

(4)

(здесь у контуров поставлен минус, т.к. обход окружностей осуществляется в отрицательном направлении – областьостаётся справа).

Но в окрестности ряд Лорана для:

, (5)

и, интегрируя почленно, получаем:

.

В этом интеграле все члены, кроме содержащего , равны нулю (см. п.2.4.4), а

. (6)

Изменив в (4) направление обхода, с учётом (6.) получим (3). ●

2.6.2. Вычисление вычетов

1. Рассмотрим вычисление вычета в полюсе первого порядка (простой полюс). Пусть в окрестности имеет место разложение

. (7)

Умножим обе части этого равенства на :

. (8)

Устремим , тогда переходя к пределу, получаем

. (9)

Выражению (9) можно придать другой вид, если представить , где– регулярные вфункции, причём, аимеет простой корень. Тогдаи, по правилу Лопиталя

. (10)

2. Пусть теперь – полюс порядка, т.е. ряд Лорана функции:

. (11)

. Умножим обе части этого равенства на и продифференцируем пораз:

и устремим

, (12)

откуда, по аналогии с предыдущим пунктом,

. (13)

Пример 1. □ Найти вычеты в изолированных особых точках.

□ Полюсы функции расположены в точках, в которых знаменатель дроби обращается в нуль, т.е. их можно найти, решив уравненияи. Корни второго уравнения:– простые полюсы, а корень первого уравнения– полюс второго порядка (он равен степени разности). По формуле (6.9 из Учебного пособия) находим:

Аналогично, найдём, что . В полюсе второго порядка по (13)

. ■

2.6.3. Вычет в бесконечно удалённой точке

Пусть в окрестности бесконечно удалённой точки функцияпредставима рядом Лорана

. (14)

Вычетом в бесконечно удалённой точке называется взятый с противоположным знаком коэффициент при минус первой степени в разложении (14):

. (15)

Пример 2. Найти вычет в бесконечности функции .

□ Разложение в степенной рядсправедливо при любом. Тогда. ■

Теорема. Если имеет конечное число особых точек, то сумма вычетов её, включая вычет в бесконечно удалённой точке, равна нулю, т.е.

. (16)

2.6.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов

Если регулярна в односвязной области, то по теореме Коши интеграл от неё по любому замкнутому контуру вравен нулю:.

Основная теорема о вычетах: если непрерывна на границеобласти, за исключением конечного числа особых точек, то

. (17)

Для вычисления этого интеграла необходимо:

1. Определить контур интегрирования и сделать его рисунок.

2. Найти особые точки подынтегральной функции, которые находятся внутри контура интегрирования, и вычислить вычеты в них, определив тип этих точек.

3. Используя основную теорему о вычетах, найти численное значение интеграла.

Пример 1. Найти несобственный интеграл (– вещественная переменная).

□ Рассмотрим интеграл от ФКП , где– комплексная переменная,– отрезок вещественной оси,– полуокружность радиуса. Вычислимс помощью вычетов.

Подынтегральная функцияимеет полюсы второго порядка в точках. Пустьдостаточно велико, так чтопопадает внутрь контура (см. рисунок). Тогда для полюса второго порядка, который изображен на рисунке

Следовательно, . С другой стороны,, а последний интеграл, и, значит,. ■

Вопросы для самопроверки по теме 2.6

1. Какой коэффициент ряда Лорана называется вычетом функции ?

2. Сформулируйте теорему Коши о вычетах.

3. Напишите формулы для вычисления вычетов в полюсе первого порядка, полюсе порядка и в БУТ.

4. Чему равна сумма вычетов функции , имеющей конечное число особых точек?

Все шесть тем этого раздела подробно описаны в Учебном пособии, которое Вам предстоит изучить. В результате Вы сможете решить задачи контрольной работы, варианты которой, в соответствии с вашим шифром, содержатся в разделе 4.