Упражнения

1. Составьте программу для вычисления зависимости координаты и скорости гармонического осциллятора от времени с помощью алгоритма Эйлера - Кромера. Вычислите значения амплитуды А и полной энергии Е для начальных условий х_о=4, и , выбрав в обоих случаях . Какая величина определяет значение амплитуды А?

2. Определите временные зависимости потенциальной и кинетической энергий за один период. Где кинетическая энергия достигает максимального значения? Вычислите средние значения потенциальной и кинетической энергий за полный период.

3. Учтите в своей программе эффект затухания колебаний и постройте временные зависимости координаты и скорости гармонического осциллятора. Все расчеты проведите с параметрами

4. Возьмите и постройте график функцииx(t). Вычислите период и соответствующую угловую частоту и сравните их значения со случаем отсутствия затухания. Проведите дополнительные расчеты для случаев и 3. Увеличиваются или уменьшаются период и частота с увеличением коэффициента затухания? Получите зависимости полной энергии от времени для значений коэффициента затухания, приведенных выше.

Лабораторная работа №16 Вычисление электрического и магнитного полей создаваемых стационарным распределением зарядов и токов

Известно, что на заряд е, движущийся со скоростью , действует сила Лоренца

(16.1)

где E есть электрическое поле, а В - магнитное поле в точке нахождения заряда. Следовательно, если известны E и B, то мы можем рассчитать движение заряженной частицы. Поэтому в этой работе мы рассмотрим несколько методов вычисления полей E и В, создаваемых стационарными распределениями зарядов и токов, и получим значения Е и В графически в виде плотности силовых линий.

1. Электрический заряд и электрическое поле.

Источником гравитационной силы является так называемая гравитационная масса, своего рода гравитационный заряд. Аналогично, электростатическая сила порождается электрическим зарядом. Масса и заряд частицы имеют определенные численные значения, которые определяют насколько сильно на частицу действуют соответственно гравитационная и электрическая силы. Эти силы действуют независимо друг от друга, и между зарядом тела и его массой не существует определенного соотношения. В отличие от массы электрический заряд может быть как положительным, так и отрицательным. Экспериментально показано, что ни у одной из заряженных частиц не может быть заряда меньше, чем заряд электрона или протона. Этот элементарный заряд равен 1.6*10^-19 Кл. Кроме этого имеет место и закон сохранения заряда, который утверждает, что в замкнутой системе полный заряд остается постоянным.

Сила взаимодействия между двумя заряженными частицами определяется законом Кулона, который в системе СИ имеет вид

(16.2)

где - коэффициент пропорциональности;

- диэлектрическая проницаемость вакуума.

Экспериментально показано, что для случая электростатических сил имеет место принцип суперпозиции.

Напряженность электрического поля определяется как отношение электрической силы, действующей на пробный заряд, к величине этого заряда

(16.3)

Направление в пространстве можно изобразить непрерывными линиями. Направление этих линий в каждой точке совпадает с направлением поля; они называются силовыми линиями электрического поля. Посредством этих линий можно охарактеризовать и величину поля в любой области пространства. Для этого плотность силовых линий численно должна быть рана величине напряженности электрического поля.

Предположим, мы хотим найти электрическое поле в точке , обусловленное точечными зарядами . Мы знаем, что удовлетворяет принципу суперпозиции и имеет вид

(16.4)

где . - координата неподвижногоi-го заряда.

Обратим внимание, что поле является векторным. В каждой точке пространства такое поле характеризуется величиной и направлением. Как наглядно изобразить такое векторное поле? Один из возможных способов — разбить пространство дискретной сеткой, найти E в каждой точке и начертить из этих точек стрелки в направлении . Однако этот способ не дает никакой информации о величине электрического поля. Наиболее удобным способом наглядного представления векторного поля (как отмечено выше) является изображение силовых линий электрического поля. Эти линии обладают следующими свойствами:

1. Каждая силовая линия электрического поля представляет собой направленную линию, касательная к которой в каждой точке параллельна электрическому полю в этой точке.

2. Эти линии гладкие и непрерывные, за исключением особых точек, таких как точечные заряды.

3. Полное число электрических силовых линий, исходящих из точечного заряда, пропорционально величине этого заряда. Коэффициент пропорциональности выбирается из соображений наибольшей ясности изображения поля.

Для вычерчивания силовых линий электрического поля в двумерном случае, необходимо использовать следующий алгоритм:

1. Выбираем точку (х, y) и вычисляем компоненты Е_х и E_y вектора электрического поля по формуле (16.4).

2. Проводим в этой точке небольшой прямолинейный отрезок заданной длины в направлении. Компоненты этого отрезка равны

; .

3. Повторяем данную процедуру с новой точки {х+Δх, у+Δу). Продолжаем до тех пор, пока силовая линия не уйдет в бесконечность или не подойдет к какому-нибудь отрицательному заряду.

Алгоритм не обеспечивает автоматически правильную плотность линий. Вы должны сами выбирать каждую точку пространства, в которой компьютер начинает рисовать силовую линию. Чтобы получить правильную плотность линий, необходимо начинать около точек, где распределение силовых линий очевидно. Известно, например, что силовые линии всегда выходят из положительного заряда в радиальных направлениях. Следовательно, следует начинать строить силовые линии вблизи положительного заряда таким образом, чтобы число силовых линий, начинающихся у каждого положительного заряда, было пропорционально величине заряда этой частицы. Например, если имеются заряды в 2 мкКл и 4 мкКл, то число линий, начинающихся у заряда 4 мкКл должно быть в два раза больше, чем берущих начало из заряда 2 мкКл . Курсор нужно переместить в требуемую точку экрана с помощью «мышки» или нажатием клавиш передвижения курсора. Для вычерчивания силовой линии, начинающейся с установленного положения курсора, необходимо нажать клавишу Р (Plot). А для прекращения рисования линии - нажать любую клавишу. При составлении программы необходимо ввести строковую переменную для запоминания символа курсора и переменную, которая служит для запоминания части экрана, в которую предстоит выводить курсор. Начинать надо программу с ввода количества зарядов, величины зарядов и координат этих зарядов. Далее необходимо организовать команды для рисования зарядов в виде окружностей радиуса r, отрицательные заряды необходимо изобразить сплошными кружками. Далее ввести начальные координаты курсора и минимальные размеры шагов курсора dx и dy. Далее команды перемещения курсора влево, вправо, вверх, вниз, команды для рисования силовых линий и перерисования силовых линий, которые пересекает при движении курсор.

2 Магнетизм и силовые линии магнитного поля.

Изучение нами выше электрического поля точечного заряда базировалось на законе Кулона. Аналогичный закон имеется и для магнитного поля, создаваемого током. Это соотношение известно как закон Био-Савара и имеет вид

(16.5)

где ток I измеряется в Амперах (А), магнитное поле В - в Теслах (Тл) и магнитная проницаемость есть магнитное поле в точке, создаваемое находящимся в начале координат участком провода, по которому протекает токI. Закон Био-Савара может быть использован для нахождения полного магнитного поля в любой точке. Разумеется, никаких изолированных участков тока не бывает, и провод должен либо образовывать замкнутую петлю, либо быть достаточно длинным, чтобы влияние концов было пренебрежимо мало. Однако, мы можем приблизительно представить провод в виде ряда дискретных участков. Вклад каждого участка длиной в точке в магнитное поле в точке определяется выражением:

(16.6)

где

Аналитически вычислить магнитное поле, используя (16.6). можно, только если оно обладает высокой степенью симметрии. Поэтому в большинстве случаев для расчета магнитного поля, создаваемого произвольными конфигурациями проводов с током, прибегают к помощи компьютера Наиболее возможными геометрическими конфигурациями проводов, для которых желательно знать распределение магнитного поля, являются прямой провод, петля и катушка. Здесь мы рассмотрим петлю с током. Магнитное поле на оси, проходящей через центр петли с током, можно вычислить без особых трудностей аналитически, используя (16.5). Однако, вычислить магнитное поле вне этой оси очень трудно. Необходимо взять круговую петлю с током в плоскости X-Z и нарисовать распределение силовых линий магнитного поля в плоскости Х- Y. Структура программы остается такой же, как для случая электрического поля. Силу тока надо взять равной 1A.

Длина участка витка ,а - радиус витка, N – число участков.

Упражнения

1. Нарисуйте силовые линии электрического диполя

и

2. Нарисуйте силовые линии электрического квадруполя

3. Нарисуйте силовые линии магнитного поля круговой петли с током, лежащей в плоскости Х- Z с центром в начале координат. При этом интересующие нас силовые линии лежат в плоскости, перпендикулярной плоскости витка, т.е. в плоскости X - У, которая выступает в качестве экрана. Задайте радиус петли а=5см и длину прямолинейного участка магнитных силовых линий см. Имеет ли в данном случае значение величина силы тока?