5. Геометрический смысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел.
z1 |
M1 |
y |
Пусть z1=a1 + ib1 и z2=a2 + ib2.Им соответствуют векторы с координатами (a1,b1) и (a2,b2). Тогда числу z1+z2=a1 + a2 + i(b1 + b2) будет соответствовать вектор с координатами (a1 + a2,b1+b2).Таким образом, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел z1 и z2, надо сложить векторы, отвечающие комплексным числам z1 и z2.
z2-z1 |
M |
z2 |
-z1 |
M |
M2 |
x |
Аналогично, разности z1- z 2 комплексных чисел z1 и z2 соответствует разность векторов, Соответствующих числам z1 и z2.Модуль двух комплексных чисел z1 и z2 по определению модуля есть длина вектора z1- z 2.Построим вектор, как сумму двух векторов z2 и (- z1). Получим вектор , равный вектору.Следовательно,есть длина вектора,то есть модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.
b |
z=a+ ib |
y |
6. Аргументы комплексного числа. Аргументом комплексного числа z= a + ibназывается величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором z; величина угла считается положительной если отсчет производится против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке.
Для обозначения того факта, что число j является аргументом числа z= a+ ib, пишут j=argz или j=arg (a+ib).
j-2p |
a |
j |
x |
Для числа z=0 аргумент не определяется. Поэтому во всех последующих рассуждениях, связанных с понятием аргумента будем считать, что.Заметим, что заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно; число z=0 – единственное число, которое определяется заданием только его модуля.
С другой стороны, если задано комплексное число, то, очевидно, модуль этого числа всегда определён единственным образом в отличие от аргумента, который всегда определяется неоднозначно: если j - некоторый аргумент числа z,то углы j+2pk, тоже являются аргументами числа z.
Из определения тригонометрических функций следует, что если j=arg (a+ib),то имеет место следующая система
или (5)
Пример 4. Сколько решений имеет система уравнений
а)б)в)
Решение:
1 |
i |
а) Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 3 и 1
найдём модуль1-i: .
Заметим, что никакая точка большей окружности не
приближена к меньшей на расстояние, равное ,
откуда и следует, что система корней не имеет.
i |
б) Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 2 и 1.
1 |
При сдвиге на 3i только одной точки меньшей окружности мы получаем что эта точка попадает на
другую окружность.
Эта точка и будет решением системы.
i |
корень |
в) Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 1.
корни |
Заметим, что при сдвиге только двух точек на единицу в влево мы попадаем на ту же самую окружность, а значит эти два числа и будут решениями системы.
|
|
|
1 |
7.Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Запись комплексного числа z в виде a +ib называется алгебраической формой комплексного числа.
Рассмотрим другие формы записи комплексных чисел. Пусть r- модуль, а j - какой-либо из аргументов комплексного числа z= a+ ib, то есть r = ,j=arg (a+ib). Тогда из формулы (5) следует, что, и, значит,
.
Запись комплексного числа в виде называется еётригонометрической формой.
Для того чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа a+ib к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов.
Пример 5. Какое множество точек комплексной плоскости задаётся условием
а)
б)
в)
а) |
г)
д)
1 |
i |
е)
1 |
i |
Решение:
б) |
а) Мы должны построить точки, которые при сдвигании вниз на i и вправо на 1 поучались бы равноудалёнными от начала координат, откуда
чтобы построить множество точек, удовлетворяющих данному условию, мы должны:
1) построить множество точек, равноудалённых от начала координат на 2
2) сдвинуть его на 1 влево и на i вверх
в) |
б) Мы должны построить точки, которые располагались бы ближе к точке -iчем к 2i ,аэти точки указаны на рисунке.
в) Данное уравнение равносильно уравнению
То есть эти числа будут удалены на расстояние
ip/3 i |
г) Чтобы построить точки, удовлетворяющие первому условию, надо сдвинуть точки, удалённые на расстояние 1,
p/3 |
на 1 вправо. При этом при выполнении второго условия, у на получится угол, показанный на рисунке.
| |
| |
1 |
д) Преобразуем первое условие:
| |
|
д) |
То есть это будут точки удалённые от начала координат не более чем на 1 и при этом исключая число 0. Учитывая второе и третье условие, получим:
|
|
|
|
|
|
| |
|
| ||
|
|
|
е) Чтобы построить точки, удовлетворяющие первому условию, надо сдвинуть точки, удалённые на расстояние 1,
на 1 вправо. При этом, учитывая другие условия, получим
искомое множество точек.
Пример 6. Будет ли тригонометрической формой числа следующие выражения
а)
б)
в)
Решение:
Тригонометрической формой записи числа только будет выражение а), так как только оно удовлетворяет определению тригонометрической формы записи числа(и при всех тригонометрических функциях углы должны быть равны, а также если подсчитать значение выражения, то оно должно быть равно).
8. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть
,
Тогда
Таким образом, модуль и произведение двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения.
Пусть,тогда
Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частого.
9. Возведение в степень и извлечение корня. Формула (6) для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на случай сомножителей. Используя метод математической индукции, нетрудно показать, что если-аргументы чиселсоответственно, то
Отсюда, как частный случай, получается формула, дающая правило возведение комплексного числа в целую положительную степень:
(8)
Таким образом, при возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.
Формула (8) называется формулой Муавра.
Число называется корнем степени,из числаw (обозначается ,если
Если w=0, то при любом n уравнение имеет одно и только одно решениеz=0.
Пусть теперь .Представимzиw в тригонометрической форме:
, .
Тогда уравнение примет вид
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2p. Следовательно,
или
.
Таким образом, все решения уравнения даются формулой
В самом деле, придавая числу kв формуле (9)целые значения, отличные от 0, 1, …, (n-1), мы не получаем других комплексных чисел.
Формула (9) называется второй формулой Муавра.
Таким образом, если , то существует ровноn корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле(9).
В частности, если =2, то уравнениеимеет два корня:
то есть эти корни симметричны относительно начала координат.
Также из формулы (9) нетрудно получить, что еслито точки, изображающие все корни уравнения, являются вершинами правильногоn-угольника, вписанного в окружность с центром в точке z=0 и радиусом .
Из сказанного выше следует, что символ не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим подразумевается. Например, используя запись, следует позаботиться о том, чтобы было ясно, понимается ли под этим пара комплексных чиселiи-i,или одно, и, если одно, то какое именно.
Пример 7. Запишите в тригонометрической форме:
а) ,
б),
в).
Решение:
а)
б) Так как , то, откуда.
Так как , то, откуда
в) Так как , то, откуда.
10.Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения
(10)
с действительными коэффициентамиa, b, c. Тамбыло показано, что если дискриминант уравнения (10) неотрицателен, то решения такого уравнения даются формулой
где(11)
В случае, если , говорилось, что, уравнение не имеет решений.
Для вывода формулы (11) использовался приём выделения квадрата трёхчлена с последующим разложением левой части на линейные множители:
откуда и получалась формула (11). Очевидно, что все эти выкладки остаются справедливыми и в том случае, когда a, b, cявляются комплексными числами, а корни уравнения отыскиваются во множестве комплексных чисел.
Таким образом, во множестве комплексных чисел уравнение
всегда разрешимо. Если уравнение имеет один корень;, уравнение имеет два корня. Во всех случаях для корней квадратного уравнения справедлива формула
где подподразумеваются все значения корня.
Пример 8. Решить уравнение
а)
б)
Решение:
а) Данное уравнение является квадратным.
По формуле корней квадратного уравнения имеем:
Для определения всех значений положим
Тогда
и, следовательно, x и y удовлетворяют системе
причём x и yдействительные числа. Решим систему:
Заметим, что x=0 решением системы не является.
При получим:
Решим уравнение (*): x4+15x2-16=0 –квадратное уравнение относительно x2, откуда
Вернёмся к системе:
Поэтому
б) Данное уравнение является квадратным.
По формуле корней квадратного уравнения имеем:
Для определения всех значений положим
Тогда
и, следовательно, x и y удовлетворяют системе
причём x и yдействительные числа. Решим систему:
Заметим, что x=0 решением системы не является.
При получим:
Решим уравнение (*): x4-16x2-225=0 –квадратное уравнение относительно x2, откуда
Вернёмся к системе:
Поэтому
Пример 9. Решить уравнение
а)
б)
Решение:
а) Пусть , тогда уравнение примет вид:
, откуда по теореме, обратной теореме Виета получим
Возвращаясь к z, получим
1) . Заметим, что. Используя вторую формулу Муавра, получим:
1) . Заметим, что. Используя вторую формулу Муавра, получим:
Следовательно,
2) . Заметим, что. Используя вторую формулу Муавра, получим:
Следовательно,
б)Преобразуем уравнение:
Заметим, что . Используя вторую формулу Муавра, получим:
Пример10. Решите уравнение:
Решение:
Решим уравнение как квадратное относительно z2: D=
Пусть z=a+ib, тогда , а уравнение имеет вид
Пусть , тогда, откуда
Пусть , тогда, а значит получим, ачит получим, что
Ответ: