Ан.геом. в пространстве
.pdfУчреждение образования Федерации профсоюзов Беларуси «Международный университет «МИТСО»
Факультет международных экономических отношений и менеджмента
Кафедра логистики
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Практикум для самостоятельной работы студентов
по теме «Элементы аналитической геометрии в пространстве »
Автор-составитель: О.А. Мокеева, канд. физ.-мат. наук, доцент
Минск 2011
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература Учебники
1.Высшая математика: Общий курс: учеб. для вузов / А.В. Кузнецов [и др.]; под ред. А.И. Яблонского. − Мн.: Выш. шк., 1993. − 349 с.
2.Карасев, А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. Основы высшей математики: учеб. пособие для студ. экон. спец. вузов / А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева. − М.:
Высш. шк., 1982. − 272 с.
3.Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для естеств. спец. ун-тов / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. − М.:
Наука, 1989. − 656 с.
4.Марков, Л.Н. Высшая математика. Ч. 1. Элементы линейной и векторной алгебры. Основы аналитической геометрии: учеб. пособие для вузов / Л.Н. Марков, Г.П. Размыслович. − Мн.: Амалфея, 1999. − 208 с.
5.Минюк, С.А. Высшая математика: учеб. пособие для вузов / С.А. Минюк, Е.А. Ровба. − Гродно: ГрГУ, 2000. − 394 с.
6.Шипачев, В.С. Высшая математика: учеб. для немат. спец. вузов
/В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. − М.: Высш. шк., 1990. − 479 с.
Задачники
7.Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: Выш. шк., 1988. − 246 с.
8.Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов / В.П. Минорский. − М.: Наука, 1987. − 349 с.
9.Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: учеб. пособие / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Выш. шк., 1994. − 284 с.
10.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике.
В3 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.П. Рябушко [и др.]; под ред.
А.П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 1990. − 269 с.
2
Дополнительная литература Учебники
11.Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов / Н.Ш. Кремер [и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ, 2002. − 471 с.
12.Гусак, А.А. Высшая математика. В 2 т. Т. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: ТетраСистемс, 1998. − 544 с.
13.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.
В2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. − М.: Оникс, 2002. − 304 с.
14.Красс, М.С. Математика для экономических специальностей: учеб. для вузов / М.С. Красс. − М.: Дело, 2002. − 704 с.
15.Шипачев, В.С. Высшая математика: учеб. для вузов / В.С. Ши-
пачев. − М.: Высш. шк., 1998. − 479 с.
16.Малыхин, В.И. Математика в экономике / В.И. Малыхин. − М.:
ИНФРА-М, 2002. − 352 с.
17.Высшая математика / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1993.
18.Математический словарь высшей школы / В.Т. Воднев [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1984.
19.Кастрица, О.А. Высшая математика: учебное пособие / О.А. Кастрица. − Мн.: Новое знание, 2005.
Задачники
20.Гусак, А.А. Справочник по высшей математике: учеб. для вузов / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричикова. − Мн.: ТетраСистемс, 2000. − 640 с.
21.Практикум по высшей математике для экономистов: учеб. пособие для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
−423 с.
Наглядные и методические пособия
22.Тютянова, В.А. Высшая математика: учебно-методический комплекс (1 курс) / В.А. Тютянова. − Гомель: ГФ МИТСО, 2007. − 145 с.
23.Электронный учебно-методический комплекс «Высшая математика» / Ю.И. Воротницкий [и др.]. − Мн.: БГУ, 2009. − 7376 c.
3
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ВПРОСТРАНСТВЕ
1.Прямоугольная система координат в пространстве
Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве определя-
ется заданием масштабной единицы измерения длин и трех пересекающихся в одной точке O взаимно перпендикулярных осей: Ox , Oy
и Oz . Точка O − начало координат, Ox − ось абсцисс, Oy − ось ор-
динат, Oz − ось аппликат.
Пусть M — произвольная точка пространства (рис. 1). Проведем через точку M три плоскости, перпендикулярные координатным осям Ox , Oy и Oz . Точки пересечения плоскостей с осями обозначим со-
ответственно через M x , M y |
и Mz . Прямоугольными координатами |
||||||||
точки M называются числа |
x OM x , y |
|
OM y , z |
OM z , т. е. вели- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
чины направленных отрезков OM x , |
OM y , OM z ; при этом x называ- |
||||||||
ется абсциссой, y − ординатой, а z |
− аппликатой точки M . Символ |
||||||||
M (x ; y ; z) обозначает, что точка M |
имеет координаты x, y, z . Если |
||||||||
|
|
|
|
||||||
M − произвольная точка пространства, |
то вектор |
OM называется |
|||||||
радиусом-вектором точки M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
Рис. 2 |
Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке M пространства соответствует единственная упорядоченная тройка чисел (x; y ; z) − ее прямоугольные координаты и, обратно, каждой
упорядоченной тройке чисел (x; y ; z) соответствует, и притом одна, точка M в пространстве.
4
Плоскости Oxy , Oyz , Oxz называются координатными плоско-
стями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами, которые нумеруют так, как показано на рис. 2.
Расстояние между двумя точками M1(x1; y1; z1) и M2 (x2 ; y2 ; z2 )
вычисляется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
x x 2 |
|
|
|
y |
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
z |
2 . |
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Координаты (x; y ; z) точки M , |
делящей в заданном отношении |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
AM |
|
отрезок |
AB , |
|
A(x1; y1; z1 ), B(x2 ; y2 ; z2 ) , определяются |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
MB |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x1 |
|
|
|
x2 |
, |
|
y |
|
y1 |
|
|
|
|
y2 |
, |
|
z |
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
z2 |
. |
|
(2) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В частности, при |
|
1 (точка M делит отрезок AB пополам), по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лучаются формулы для определения координат середины отрезка: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x1 |
|
|
x2 |
|
, y |
|
|
|
y1 |
|
y2 |
, |
|
z |
|
z1 |
|
|
z2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 1.1. Найти координаты точки А , делящей отрезок |
A1 A2 в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отношении A1A: AA2 |
2 : 3, если A1(2;4; |
1) , |
|
A2 ( 3; 1;6) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. По условию |
2 |
|
. По формулам (2) находим: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
( 3) |
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
( 1) 4 |
|
2 |
|
|
10 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 , |
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
3 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Точка А имеет координаты |
0;2; |
9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: A 0;2; |
|
9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
Пример 1.2. Точка C(3;2;4) делит отрезок AB в отношении 53 .
Найти координаты точки B , если A( 3;2;1) .
Решение. Пусть B(xB ; yB ; zB ) . Так как точка C делит отрезок AB в
отношении |
|
|
3 |
, то по формулам (2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
x |
B |
|
2 |
3 |
y |
B |
|
|
|
1 |
|
3 |
z |
B |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
, 2 |
|
|
5 |
|
, 4 |
|
|
|
|
5 |
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда xB |
13, yB |
2 , |
zB |
|
9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ответ: B 13;2;9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример 1.3. На оси Oy найти точку, |
равноудаленную от двух то- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чек A(2;3;1) и B( 1;5; 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Решение. Точка M , лежащая |
на оси Oy , имеет координаты |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M (0; y;0) . По условию задачи |
|
AM |
|
|
BM |
|
. Найдем расстояния |
|
AM |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и |
BM |
, используя формулу (1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
AM |
|
|
(0 |
|
2)2 |
|
( y |
3)2 |
(0 |
1)2 |
|
|
|
y2 |
|
6y |
14 , |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
BM |
|
|
|
(0 |
|
1)2 |
|
( y |
5)2 |
(0 |
|
2)2 |
|
|
|
|
y2 |
|
10y |
30 . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Получим уравнение |
y2 |
6y |
14 |
|
|
|
y2 |
10y |
30 . Отсюда находим, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
что 4 y 16 , т. е. y |
|
4 . Искомая точка есть M (0;4;0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: M (0;4;0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Плоскость в пространстве
Каждая плоскость в пространстве Oxyz определяется линейным
алгебраическим уравнением первой степени. |
|
|
1. Уравнение плоскости, |
проходящей через точку |
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) |
перпендикулярно вектору n |
( A; B;C) : |
|
A(x x0 ) |
B( y y0 ) C(z z0 ) 0. |
(3) |
6
Ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости, называется
нормальным вектором плоскости.
Вектор n ( A; B;C) − нормальный вектор плоскости (или просто нормаль).
z |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
O |
|
|
|
M |
|
|
|
y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Общее уравнение плоскости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ax By Cz D 0 |
|
( A2 |
B2 |
C 2 |
0) . |
|||||||
Частные случаи расположения плоскости: |
|
|
|
|
|||||||||
1) если D 0 , то плоскость Ax |
By |
Cz |
0 проходит через нача- |
||||||||||
ло координат; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) если в уравнении плоскости |
Ax |
By |
Cz |
D |
0 коэффициент |
||||||||
при какой-то переменной равен нулю, то при D |
0 плоскость парал- |
||||||||||||
лельна соответствующей координатной оси, |
а при |
D 0 |
плоскость |
||||||||||
проходит через соответствующую координатную ось. |
|
||||||||||||
3. Уравнение плоскости в отрезках: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
y |
|
z |
1 , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
c |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a,b,c − абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскостью координатных осей Ox , Oy и Oz соответственно.
Данным уравнением удобно пользоваться при построении плоскости.
7
z
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
b |
|
|
|
у |
||
|
|
a |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Расстояние |
d от |
точки |
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) до плоскости |
|||||
Ax |
By Cz D |
0 находится по формуле: |
|
|
|
||||
|
|
d |
|
Ax0 By0 |
Cz0 |
D |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A2 B2 C 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
M1(x1; y1; z1) , M2 (x2 ; y2 ; z2 ) , M3 (x3; y3; z3 ) :
|
x |
x1 |
y |
y1 |
|
z |
z1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x2 |
x1 |
y2 |
|
y1 |
z2 |
z1 |
|
0 . |
|
|
|
||||||||
|
x3 |
x1 |
y3 |
|
y1 |
z3 |
z1 |
|
|
|
|
|
||||||||
6. Пусть даны две плоскости Q1 |
и Q2 : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A1x B1 y C1z D1 |
|
|
0 n1 |
( A1; B1;C1 ) , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A2 x B2 y C2 z D2 |
|
|
0 n2 |
( A2 ; B2 ;C2 ) . |
||||||||||||||||
В качестве угла между плоскостями Q1 |
и Q2 принимают угол |
|||||||||||||||||||
между их нормальными векторами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
cos |
|
|
n1 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
или в координатной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos |
|
|
A1 A2 |
|
|
|
B1B2 |
C1C2 |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
A2 |
B2 |
|
C 2 |
|
|
|
|
A2 |
B2 |
C 2 |
|||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
8
Для нахождения острого угла:
cos |
|
|
|
A1 A2 |
B1B2 |
C1C2 |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A2 |
B2 |
C2 |
A2 |
B2 |
C2 |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
Q2
n1
Q1
n2
Условие параллельности двух плоскостей:
|
|
|
A1 |
|
|
B1 |
|
|
C1 |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A2 |
|
|
B2 |
|
C2 |
|
|||||
Условие перпендикулярности двух плоскостей: |
|
|||||||||||||
A1A2 |
B1B2 |
|
C1C2 |
|
0 n1 n2 |
0 . |
||||||||
Плоскости совпадают, когда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A1 |
|
|
B1 |
|
C1 |
|
|
|
D1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
|
C2 |
|
|
D2 |
|
|||||
7. Нормальное уравнение плоскости: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x cos |
|
|
y cos |
|
|
z cos p |
0 , |
где p − длина перпендикуляра OK , опущенного из начала координат на плоскость; , , − углы, образованные единичным вектором e , имеющего направление перпендикуляра OK , с осями Ox , Oy и Oz cos2 cos2 cos2 1 .
Возьмем на плоскости произвольную точку M (x ; y ; z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор r ОМ (x ; y ; z) .
9
При любом положении точки M на плоскости Q проекция ради-
ус-вектора |
|
на направление вектора e всегда равна |
p : прe |
|
p , т. |
||||||||
r |
r |
||||||||||||
е. |
|
e p или |
|
e p 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||
r |
r |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
K |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
Q |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Замечание. Общее уравнение плоскости Ax By |
Cz D |
0 при- |
водится к нормальному виду путем умножения на нормирующий множитель
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 C2 |
||
|
|
|
учитывая, что знак перед дробью берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.
8. Плоскость P , проходящая |
через |
две точки M1(x1; y1; z1) и |
|||||||
M2 (x2 ; y2 ; z2 ) |
перпендикулярно к плоскости Q , |
заданной уравнением |
|||||||
Ax By Cz |
D 0 , представляется уравнением |
|
|
||||||
|
|
x |
x1 |
y |
y1 |
z |
z1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
x1 |
y2 |
y1 |
z2 |
z1 |
0 . |
(4) |
|
|
|
A |
|
B |
|
C |
|
|
Замечание. В случае, когда прямая M1M2 |
перпендикулярна к плос- |
кости Q , плоскость P неопределенна. В соответствии с этим уравнение обращается в тождество.
10