metodychka

1Границя функцiї багатьох змiнних

1.1Основнi поняття, означення, теореми

Назвемо m–вимiрною точкою M впорядковану систему iз m дiйсних чисел (x1, . . . , xm),

називається вiдстанню мiж двома довiльними точками M1(x1, . . . , xm), M2(y1, . . . , ym)

Rm.

Ця вiдстань задовольняє такi умови:

1.ρ(M1, M2) ≥ 0 M1, M2 (невiд’ємнiсть);

2.ρ(M1, M2) = 0 M1 = M2 (рiвнiсть нулю);

3.ρ(M1, M2) = ρ(M2, M1), M1, M2 (симетричнiсть);

4.ρ(M1, M3) ≤ ρ(M1, M2) + ρ(M2, M3) M1, M2, M3.

Простiр Rm є прикладом метричного простору, вiдстань, введена за формулою (1)

метрикою, а властивостi 1–4 аксiомами метричного простору.

Mn → A при n → ∞. При цьому послiдовнiсть {Mn} називають збiжною до точки

A, або просто збiжною.

Пiд околом точки M0(x01, . . . , x0m) будемо розумiти будь-яку iз двох множин:

1){M, x01 − δ1 < x1 < x01 + δ1, . . . , x0m − δm < xm < x0m + δm} = (x01 − δ1; x01 + δ1; . . . ; x0m −

δm; x0m + δm), вiдкритий прямокутний паралелепiпед, де δi R1, δi > 0, i = 1, 2, . . . , m.

2){M, ρ(M, M0) < δ, δ > 0} вiдкрита сфера з центром у точцi M0 радiусом δ.

Останню називають ще δ-окiл точки M0.

Вiдмiтимо, що означення границi послiдовностi {Mn} Rm грунтується на поняттi

границi числової послiдовностi. Вiдповiдно до означення границi числової послiдовностi слiдує, що ε > 0 N(ε) N, таке, що n > N(ε) ρ(Mn, A) < ε. Геометрично це означає,

що в будь-якому ε-околi точки A знаходяться всi точки послiдовностi {Mn}, починаючи з деякого номера N(ε) (залежного, взагалi кажучи, вiд ε).

Назвемо точку M(x1, . . . , xm) внутрiшньою точкою множини D, якщо вона належить множинi D разом з деяким достатньо малим її околом.

Множину точок, яка складається тiльки з внутрiшнiх точок, будемо називати

вiдкритою областю.

Точка M0 називається точкою скупчення множини D, якщо в будь-якому її околi мiститься хоч одна точка множини D, вiдмiнна вiд M0. Точки скупчення для вiдкритої

областi, якi не належать їй, називають межовими точками цiєї областi. Сукупнiсть усiх межових точок утворює межу областi. Вiдкрита область разом з її межею називається

замкнутою областю. Множина точок D називається обмеженою, якщо вона цiлком

мiститься в деякому прямокутному паралелепiпедi.

Тодi множина точок (ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕm(t)), що одержується при рiзних значеннях параметра t, приймається за неперервну криву в m-вимiрному просторi, яка з’єднує точки M0(ϕ1(t0), . . . , ϕm(t0)), M1(ϕ1(t1), . . . , ϕm(t1)). Якщо всi функцiї ϕj (t) лiнiйнi, крива переходить в пряму: x1 = α1t + β1, . . . , xm = αmt + βm; тут коефiцiєнти α1, . . . , αm не повиннi одночасно перетворюватись в нуль, а t (−∞, +∞).

Будемо вважати, що точки слiдують одна за другою в порядку зростання параметра t. Рiвняння прямої, що проходить через двi точки M′(x′1, . . . , x′m) i M′′(x′′1 , . . . , x′′m) очевидно може бути записане у виглядi x1 = x′1 + t(x′′1 − x′1), . . . , xm = x′m + t(x′′m − x′m), −∞ < t < +∞. Якщо t [0, 1] , то будемо мати прямолiнiйний вiдрiзок, що з’єднує цi

точки.

Крива, що складається iз скiнченного числа прямолiнiйних вiдрiзкiв, називається ламаною.

Область називається зв’язною, якщо будь-якi її двi точки можна з’єднати ламаною, що повнiстю мiститься в цiй областi.

Нехай {M} Rm. Якщо кожнiй точцi M(x1, . . . , xm) поставлено у вiдповiднiсть деяке число u R1, то говорять, що на множинi {M} визначена функцiя m змiнних i пишуть u = f(M) або u = f(x1, . . . , xm).

Нехай функцiя u = f(M) визначена на множинi {M} i точка A точка скупчення для {M}.

Означення 1.2 (за Кошi) Число b називається границею функцiї f(M) в точцi A

при M → A,якщо ε > 0 δ > 0, таке, що M, яка задовольняє умовам M {M}, 0 < ρ(M, A) < δ, виконується нерiвнiсть |f(M) − b| < ε.

Означення 1.3 (за Гейне) Число b називається границею функцiї f(M) в точцi A, якщо для будь-якої збiжної до A послiдовностi {Mn} такої, що Mn {M}, Mn =6 A

вiдповiдна послiдовнiсть значень функцiї {f(Mn)} збiгається до b.

У випадку b = +∞, або b = −∞ в означеннi границi нерiвнiсть |f(M) − b| < ε

замiнюється вiдповiдно нерiвнiстю виду f(M) > E, або f(M) < −E, де E– довiльне

наперед вибране додатне число.

Функцiя u = f(M) називається нескiнченно малою при M → A (в точцi A), якщо

lim f(M) = 0.

точка (+∞, . . . , +∞) є точкою скупчення для множини D, якщо в цiй множинi

знайдуться точки з як завгодно великими додатнiми координатами. Точка

, +∞, ak+1, . . . , am) називається точкою скупчення для множини D, якщо в цiй множинi є точки M(x1, . . . , xk−1, xk, xk+1, . . . , xm), в яких xj як завгодно близькi до aj, j =6 k i xk k-та координата як завгодно велика.

Означення 1.6 Функцiя f(M) має границею число b при прямуваннi всiх змiнних x1, . . . , xm до +∞, якщо для ε > 0 > 0, таке, що нерiвнiсть |f(M) − b| < ε має мiсце як тiльки x1 > , . . . , xm > .

точок простору Rm в якому хоч одна з координат рiвна +∞ чи −∞.

Для функцiї багатьох змiнних, крiм розглянутої вище границi, при одночасному прямуваннi всiх аргументiв до їх границь, приходиться мати справу з границями другого роду, якi одержуються в результатi ряду послiдовних граничних переходiв по кожному аргументу зокрема в тому чи iншому порядку. Перша границя називається m-кратною, границi другого роду – повторними.

Розглянемо це поняття на прикладi функцiї двох змiнних u = f(x, y). Припустимо, що область змiни змiнних x та y така, що x (незалежно вiд y) може приймати значення в деякiй множинi X, для якої a служить точкою скупчення, але a / X. I аналогiчно y (незалежно вiд x) може приймати значення в деякiй множинi Y , для якої b – точка

скупчення, але b / Y . Таку область символiчно позначимо X × Y . Якщо при y Y

Якщо така границя iснує, то її називають повторною границею.

Можна розглядати граничнi переходи i в iншому порядку, а саме: lim lim f(x, y).

то iснує повторна границя lim ϕ(y) = lim lim f(x, y) i рiвна подвiйнiй границi.

Зауважимо, що якщо разом з умовами 1), 2) при x X iснує i скiнченна проста

границя по y: ψ(x) = lim f(x, y), то iснує i друга повторна границя

y→b

lim ψ(y) = lim lim f(x, y).

i рiвна тому ж числу p. В цьому випадку

lim lim f(x, y) = lim lim f(x, y).

Контрольнi запитання i завдання

1.Сформулюйте означення границi функцiї в точцi (за Гейне i за Кошi). Що означає еквiвалентнiсть цих означень?

2.Для кожного iз двох означень границi функцiї в точцi сформулюйте заперечення означення.

4.Дайте означення нескiнченно малої функцiї в точцi M. Наведiть приклад нескiнченно малої функцiї в точцi O(0, . . . , 0).

5. Дайте означення границi функцiї f(M) при M → ∞.

6. Наведiть приклад функцiї, вiдмiнної вiд сталої, для якої lim f(M) = 1.

M→∞

7.Дайте означення повторної границi функцiї f(x, y) в точцi M0(x0, y0).

8.Вiдомо, що функцiя f(x, y) має в данiй точцi подвiйну i повторнi границi. Чи може

бути, що якiсь двi iз них нерiвнi?

9.Сформулюйте означення повторної границi:

lim lim f(x, y);

x→x0 y→+∞

lim lim f(x, y);

y→+∞ x→x0

lim lim f(x, y).

x→+∞ y→−∞

Приклади розв’язування задач

1. Довести, що функцiя f(x, y) = (x + y) sin x1 sin y1 нескiнченно мала в точцi O(0, 0).

Згiдно з означенням нескiнченно малої функцiї, потрiбно довести,що

lim f(x, y) = 0. Вiдмiтимо, що функцiя f(x, y) не визначена на осях координат,

x→0,y→0

але точка O(0, 0) є точкою скупчення для областi визначення функцiї f(x, y) i тому можна ставити питання про границю функцiї в точцi O. Використаємо означення

(в силу теореми 1.5). Тому шукана границя рiвна e2.

Нехай точка M(x, y) → O(0, 0) по прямiй y = kx, що проходить через точку

O(0, 0). Тодi одержимо

При рiзних k одержимо рiзнi границi. Звiдси випливає, що границя даної функцiї в точцi O(0, 0) не iснує.

g(ϕ) = (cos ϕ − sin ϕ)2 + sin2 ϕ > 0 для ϕ [0, 2π] i неперервна на цьому вiдрiзку.