- •1. Множина дійсних чисел. Упорядкованість, щільність, повнота множини дійсних чисел.
- •2. Числова послідовність. Види числових послідовностей. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей.
- •3.Неск-но малі і неск-но великі посл-ті, спів. Між ними. Леми про нескінченно малі.
- •4. Відповідність. Відоброження, функція. Способи задання. Види функції.
- •5.Границя функції в розумінні Гейне та Коші. Еквівалентність означень. Визначні границі: .
- •6.Неперервність функції в точці. Різні означення. Одностороння неперервність і її зв’язок з неперервністю в точці.
- •8.Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної. Таблиця похідних. Геометричний та механічний зміст. Правила відшукання похідних. Похідна композиції функцій.
- •9.Застосування похідної до дослідження функції на сталість, монотонність.
- •10. Локальний екстремум функції. Необхідна умова. Достатні умови. Знаходження найбільшого і найменшого значення функції на сегменті
- •11. Напрям опуклості графіка функції. Достатні умови. Точка перегину. Необхідна умова перегину. Достатні умови.
- •12.Первісна функція (неозначений інтеграл). Таблиця основних інтегралів. Інтегрування підстановкою, частинами.
- •13.Інтеграл Рімана. Необхідна умова. Необхідна і достатня умова інтегрованості. Класи інтегрованих функцій. Теорема Ньютона-Лейбніца.
- •16. Частинні похідні, диференційованість функції багатьох змінних. Достатня умова диференційованості. Диференціал функції. Правила диференціювання.
3.Неск-но малі і неск-но великі посл-ті, спів. Між ними. Леми про нескінченно малі.
Послідовність хn називається нескінченно малою, якщо її границею є число нуль, тобто:
Послідовність хn границею, якої є +∞ або –∞ або ∞ називається нескінченно великою.
lim xn = +∞
lim xn = –∞
lim xn = ∞
Для того, щоб пос-ть xn збігалася до числа а необхідно і достатньо, щоб послідовність(xn-a) була неск-но малою.
Л1: Якщо послідовність Bn–> %, то обернена до неї величина, An–>0
Аналогічно можна довести, що якщо п. Аn –неск.мала, то обернена до неї – неск.велика.
Л2:Сума (різниця) довільного скінченого числа, неск-но малих величин є величина нескінченно мала.
αn –> 0 βn –> 0
n–>+∞ n–>+∞
N = max {N'; N"} Для будь-якого n>N
Л2:Добуток нескінченно малої величини на обмежену є величина нескінченно мала.
αn –> 0 n–>+∞
,
αn –> 0 ,n–>+∞,–αn–>(-1)*αn–>0,αn–βn=αn+(–βn)–>0.
Т1:Якщо послідовність має скінченну границю, то вона є обмеженою.
4. Відповідність. Відоброження, функція. Способи задання. Види функції.
Розглянемо множини х={х},У={у}. Якщо задано правило за яким елементи множини Х співставляються з елементами з множини У, то кажуть, що між елементами цих множин задана відповідність.
Відображення – це частинний випадок відповідності. Відображенням множини Х на У назив. відповідність між елементами множини.
F – відображення х єХ у є У у=Fх таке відображення називається відображенням мн. У на мн. Х. х=F-1у – обернене відображення. У=F(Δх) – композиція. Відобр. мн.самої на себе F0х=х (хх) .F(F-1х)=х.
Функція – частинний випадок відображення. Функцією назив. однозначне відображення. х єХ у є У. D(f)=x – область визначення. Е(f)=у – обл. значень. Способи задання ф-ї:
Аналітичний (задання за допомогою формул) y=f(x) - задана явно, F(х,у)=0 – не явно.
Табличний спосіб (у вигляді таблиці)
Графічний спосіб: зобр-ня залежності між х та у(x).
Словесний спосіб (н-д, ціла частина від х).
параметрично задана ф-я
полярна система координат (заданий радіус і кут)
Типи ф-й:1Обмежені та не обмежені функції. Ф-я обмежена зверху, якщо
Обм. зверху і знизу, якщо
2Монотонні ф-ї. Ф-я f(x) назив. зрост.(спадною), якщо
3Парна і не парна. f(-x)=f(x) – парна, f(-x)=-f(x)-не парна. Сума довільного скінченого числа парних (не парних) ф-й є ф-я парна (не парна).Добуток дов. скінч числа парних ф=й є ф-я парна.
4Періодичність ф-ї. Ф-я y=f(x), х є Х назив. періодичною на множині з періодом l (l-періодичною), якщо Якщоl є періодом, то і ± nl є періодом, n є N.
5Обернені ф.
6складні ф.( z=g(y),y=f(x)–>z=g(f(x)) абоz=g*f )
Основні
елементарні ф: степеневі
y=xa
де a
- дійсне число, показникові у=ах
а>0,а/=0,логарифмічна
функція y=logax,
де основа логарифма a>0,
a/=1,тригонометричні
функції: y=sin(x),
y=cos(x),
y=tg(x),
y=ctg(x),Обернені
тригонометричні функції arcsin
x,arccos
x,arctg
x,arcctg,arcsec
x,arcos
ecx.
Якщо y є функцією від u, а u в свою чергу залежит від змінної x, то yтакож залежить від x. Нехай y=F(x) і u=φ(x). Отримаємо функцію y від x. y=F[φ(x)]. Остання функція називається функцією від функції чи складною функцією.
Елементарною ф-ю називається функція, яка може бути задана однією формулою виду y=f(x), де вираз справа складений з основних елементарних функцій і сталих з допомогою скінченного числа операцій додавання, віднімання, множення, ділення і взяття функції від функції. З означення слідує, що елементарні функції являються ф-ми, які задані аналітично.