Контрольная работа по предмету «Экономико-математические модели»

Задача № 1.

В пространстве 3-х товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен P и доходе Q.

1. Описать его и его границу с помощью обычных векторных неравенств и равенств,

2. Изобразить бюджетное множество и его границу графически,

3. В ответе дать число, равное объему бюджетного множества.

Задача № 2.

Пусть производственная функция есть функция Кобба – Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на α %, надо увеличить основные фонды на b % или численность работников на с %. В настоящее время 1 работник за месяц производит продукции на М руб., а всего работников L. Основные фонды оцениваются в К руб. В ответе дайте:

1. Производственную функцию,

2. Величину средней фондоотдачи.

Задача № 3.

Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите:

1. Равновесную цену,

2. Выручку при равновесной цене,

Цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку

№ вар
				1	2	3
1		1;2;3 103,103, 105
2		1;3;2 104, 53, 106
3		1;3;3 104,103, 106
4		1;2;4 104,53,105
5		2;5;5 104,25,107
6		2;5;4 103,104,107
7		3;6;9 103,103,109
8		2;3;6 104,103,1011
9		1;2;3 103,103,107
10		2;4;6 103,103,103

Образец решения

Задача № 1.

В пространстве 3-х товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен P и доходе Q.

4. Описать его и его границу с помощью обычных векторных неравенств и равенств,

5. Изобразить бюджетное множество и его границу графически,

6. В ответе дать число, равное объему бюджетного множества.

Данные: P=(3, 8, 5); Q=120.

Решение.

Вектор цен: P=(3, 8, 5); Набор товаров Х=(х₁, х₂, х₃) (набор товаров – это вектор – столбец, но по соображениям экономии записываем его в виде вектора - строки); Бюджетное множество В – это множество всех наборов товаров Х, которое потребитель может купить на данное количество денег Q при данных ценах Р (при этом необязательно тратить все деньги).

1. Бюджетное множество В можно описать неравенствами:

Обычными: Векторными:

Общий вид: р₁х₁+р₂х₂+р₃х₃ ≤ Q Р*Х ≤ Q

х₁, х₂, х_{3 ≥ 0 Х ≥ 0}

_{В нашем случае:} 3х₁+8х₂+5х₃ ≤ 120

х₁, х₂, х_{3 ≥ 0}

_{Граница бюджетного множества – это его часть, это множество всех наборов товаров стоимостью Q.}

_{Границу бюджетного множества можно описать равенствами:}

Обычными: Векторными:

Общий вид: р₁х₁+р₂х₂+р₃х₃ = Q Р*Х = Q

х₁, х₂, х_{3 ≥ 0 Х ≥ 0}

_{В нашем случае:} 3х₁+8х₂+5х₃ = 120

х₁, х₂, х_{3 ≥ 0}

2. Для случая 3 товаров бюджетное множество В представляет собой трехгранную пирамиду, одна вершина которой есть начало координат, а 3 другие точки Q/р₁, Q/р₂, Q/р₃, на осях х₁, х₂, х₃. Граница же бюджетного множества – основание этой пирамиды, если ее вершину считать началом координат.

Q/р₁ = 120/3 = 40

Q/р₂ = 120/8 = 15

Q/р₃ = 120/5 = 24

3. Объему бюджетного множества V = (1/3)*( Q/р₃)*(1/2)*[( Q/р₁)*( Q/р₂)] V = (1/3)*( 120/5)*(1/2)*[( 120/3)*( 120/8)] = 2400

Ответ: 2400

Задача № 2.

Пусть производственная функция есть функция Кобба – Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на α %, надо увеличить основные фонды на b % или численность работников на с %. В настоящее время 1 работник за месяц производит продукции на М руб., а всего работников L. Основные фонды оцениваются в К руб. В ответе дайте:

3. Производственную функцию,

4. Величину средней фондоотдачи.

Данные: а=2, b=4, с=6, М=10⁴, L=10³,К=10¹¹.

Решение.

Производственная функция Кобба – Дугласа имеет вид Y = A * K^α*L^β, где А, α, β – константы (А, α, β > 0, α + β < 1); К – объем фондов либо в стоимостном выражении, либо в натуральном количестве. L – объем трудовых ресурсов – число рабочих, число человеко-дней и т. д. Y – выпуск продукции в стоимостном или натуральном выражении. При этом β – эластичность продукции по труду, α - эластичность продукции по фондам.

Средняя фондоотдача к = Y/К – отношение объема произведенного продукта к величине фондов.

^{α = а/}b = 2/4 = ½, β = а/с = 2/6 = 1/3 , следовательно Y = A * K^1/2*L^1/3

Для нахождения А подставим в эту формулу К, L,М,учитывая, чтоY= М L

^Y =10⁴ * 10³ = A * (10¹¹)^1/2*(10³)^{1/3 А = 3,2}

Найдем среднюю фондоотдачу к = Y/К = 10⁷/10¹¹=0,0001

^Ответ:

^{Производственная функция:} Y = A * K^1/2*L^1/3

Средняя фондоотдача к = 0,0001

Задача № 3.

Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите:

3. Равновесную цену,

4. Выручку при равновесной цене,

5. Цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

Данные: D=200-10*p

S=35 + 5*p.

Решение

Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения,

200-10*p = 35 + 5*p р’ = 11.

Выручка при равновесной цене W = p’D(p’) = 11*(200-10*11) = 990.

В общем же случае при цене р выручка W(p) = p(min(D(p), S(p))).

На рисунке показан график выручки в зависимости от цены.

Максимум W достигается при р = 10 и равен 1000. Таким образом, максимум достигается не при равновесной цене.

Ответ: р’ = 11, W = 990, р_max = 10, W_max = 1000

Задания № 4.

Пусть все народное хозяйство (район и т.д.) состоит из трех отраслей, каждая из которых выпускает один вид из продукции. В таблице 4 указаны расходные коэффициенты (прямые затраты) a_ik единиц продукции i-ой отрасли, используемые как сырье (промежуточный продукт) для выпуска единицы продукции k-й отрасли, а также количество единиц y_i продукции i-й отрасли, предназначенные для реализации (конечный продукт).

Пусть дополнительно заданы расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующей отрасли, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел. (таблица 5).

Определить:

1.Коэффициенты полных затрат.

2.Валовой выпуск для каждой отрасли.

3. Производственную программу отраслей.

4. Коэффициенты косвенных затрат.

5. Суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы.

6. Коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждой отрасли.

7.Расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по отраслям.

8. Производственные затраты в денежных единицах по отраслям и на всю производственную программу.

9. Производственные затраты на единицу конечной продукции.

10. Параметры агрегирования при объединении первой и третьей отраслей.