Тема 1. Расчет классической вероятности с использованием формул комбинаторики

1. Основные формулы комбинаторики.

Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Здесь приведены наиболее часто употребляемые из них.

Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Р_n = n!, где n!=1* 2* З *...n.

Заметим, что 0! принимается равным 1.

Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз? Решение. Искомое число трехзначных чисел Р_n = 3! = 1 * 2 * 3 = 6.

Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

A_n^m =n * (n- l)*(n-2)*...*(n-m+ 1).

Пример 2. В президиум собрания избраны семь человек. Сколькими способами они могут распределить между собой обязанности председателя и секретаря?

Решение. Таких способов А₇²=7*6 = 42.

Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных

элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

n!

Число сочетаний С_n^m = ______

m!(n — m)!

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение. Искомое число способов составляет

С₂ ¹⁰ = 10! : (2!*8!) = 45

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

1. Принцип суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран п способами, то выбрать либо А, либо В можно (m + n) способами.

2. Принцип произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m* n способами.

В Задании1 предлагается задача, для решения которой используются формулы числа сочетаний.

Пример 4. Пусть имеются n предметов, среди которых m меченых. Наугад выбираются k предметов (k < m). Чему равна вероятность того, что

а) все предметы окажутся мечеными;

б)что среди отобранных предметов окажутся r меченых (r < к)?

Решение. а) р = С_m^k : С_n^k

б) р = (С_m^r * С_n-m^k-r) : С_n^k

Пусть имеется n = n₁ +... + n_к различных элементов, причем из них n₁ элементов первого типа, n₂ - второго типа, .... n_к - k -го типа. Случайным образом из этих элементов выбираются m элементов. Вероятность события А, состоящего в том, что среди выбранных элементов окажется ровно m₁, < n₁, элементов первого типа, m₂ < n_k второго типа, m_к<n_k элементов k -го типа, m₁+... + m_k = m, обозначают Р(m₁,…, m_k) и она равна Р(m₁,…, m_k) = (С_n1^m1 *С_n2^m2 *С_nk^mk) : С_n^m. Общее число вариантов отбора равно С_n1^m1 *С_n2^m2 *С_nk^mk.

Решение задач из Задания 4 основано на применении формул перестановок.

Пример 5. Кодовый замок состоит из n дисков. На каждом диске k цифр. Какова вероятность, не зная, кода, с первой попытки открыть замок?

Решение. Число возможных вариантов выбора цифры на первом диске равно k. Число вариантов выбора цифры на двух дисках равно k*k = k². Число вариантов выбора цифр на n дисках равно kⁿ. Таким образом, всего имеется kⁿ вариантов выбора. Следовательно, вероятность открыть замок с первой попытки равна Р = 1 : kⁿ.

Пример 6. Производственную практику можно пройти в 12 городах. Шестеро друзей произвольно выбирают город. Найти вероятность того, что:

а) все шесть друзей окажутся в городе Самаре;

б) все окажутся в одном городе;

в) никто не попадет в Москву;

г) все окажутся в разных городах.

Решение. а) Р = 1 : 12⁶; б)Р = (12 : 12⁶) = (1 : 12⁵); в) Р = 1 : 11⁶; г)Р = С₁₂⁶ : 12⁶.

В решении задач Задания 6 используется принцип произведения.

Пример 7. На транспортном маршруте № 1 работают 5 автобусов. Один человек по указанному маршруту каждый рабочий день утром едет на работу, а вечером возвращается домой. Этот пассажир лично знаком с водителями 2-х автобусов. Найти вероятность того, что за день пассажир проедет на автобусах, с водителями которых он знаком.

Решение. Вероятность того, что пассажир поедет на работу на автобусе со знакомым водителем, равна 2/5. Вероятность того, что пассажир вернется домой на автобусе со знакомым водителем, равна 2/5. Вероятность того, что за день пассажир проедет на автобусах, с водителями которых он знаком, равна 2/5 * 2/5 = 4/25.

Задача 1. В фонотеке n дисков. 4.В корзине 15 одинаковых по форме яблок. Из них 7 сладких. Наугад извлекаются 6 яблок. Какова вероятность того, что

а) они все кислые;

б)из них ровно 4 кислых?

5.В урне 13 белых и 10 черных шаров. Наугад извлекаются 8 шаров. Найти вероятность того, что

а)все шары белые;

б)среди них ровно 3 белых.

6.В урне 13 белых и 10 черных шаров. Наугад извлекаются 8 шаров. Найти вероятность того, что

а)все шары черные;

б)среди них ровно 3 черных.

а) сколько существует способов их размещения;

б) с ЗАДАНИЕ 3.

колько существует способов их размещения, если определенные тп дисков должны находиться рядом?

N варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	10	11	12	13	14	8	9	11	10	13
m	3	4	2	3	4	4	3	2	3	4

Задача 2.

На полке n книг.

а) сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные m книг должны находиться рядом?

N варианта варианта	11	12	13	14	15 16	16	17	18	19	20
n	9	10	11	12	13 8	8	9	10	11	12
m	3	4	2	4	3 2	2	3	4	2	3

Задача 3.

В видеотеке m видеокассет.

а) сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные r кассет должны стоять вместе?

N варианта ваdfвариантаварианта	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
m	9	10	11	12	10	9	8	11	12	13
r	2	3	4	3	2	4	3	2	4	3

11. Повар может приготовить 7 видов салатов, 8 первых блюд и 9 вторых блюд.

Сколько можно составить вариантов меню из 3 салатов, 4 первых блюд, 5 вторых блюд?

ЗАДАНИЕ 5.

Задача 2. В колоде 36 карт. Колода делится пополам. Найти вероятность того, что:

а) в обеих частях все карты одного цвета;

б) в одной половине к тузов;

в) в одной половине m дам.

N варианта	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
к	2	3	4	1	3	2	1	4	2	3
m	4	3	2	2	3	3	2	1	4	2