- •Часть II
- •Тема 1 Пределы (простейшие пределы; раскрытие неопределённостей различных типов; замечательные пределы)
- •Тема 2 Производная (производные элементарных функций; правило Лопиталя; логарифмическая производная)
- •Тема 3 Приложения производной (асимптоты, интервалы монотонности и выпуклости функции, экстремумы и точки перегиба функции, построение графиков)
- •Тема 5 Дифференциальные уравнения
Часть II
Тема 1 Пределы (простейшие пределы; раскрытие неопределённостей различных типов; замечательные пределы)
Найдите пределы:
1. |
|
Отв. 3. |
Отв. . |
|
2. |
|
Отв. . |
Отв. |
|
3. |
Отв.. |
Отв..
|
||
4. |
|
Отв. –2. |
Отв. . |
|
5. |
|
Отв. 0. |
Отв. ℮1/6. |
|
6. |
|
Отв. –12. |
Отв. ℮-3. |
|
7. |
|
Отв. . |
Отв. –1. |
|
8. |
|
Отв. . |
Отв. 0. |
|
9. |
|
Отв. . |
Отв. ℮-1. |
|
10. |
|
Отв.4. |
Отв. ℮2. |
|
11. |
|
Отв. 0. |
Отв. ℮-1. |
Тема 2 Производная (производные элементарных функций; правило Лопиталя; логарифмическая производная)
2.1Найдите производные функций:
1. |
. |
Отв.
|
2. |
.
|
Отв. |
3. |
.
|
Отв. |
4. |
.
|
Отв. |
5. |
.
|
Отв. |
6. |
.
|
Отв. . |
7. |
.
|
Отв. . |
8. |
.
|
Отв. . |
9. |
.
|
Отв. . |
10. |
.
|
Отв. . |
11. |
.
|
Отв. |
12. |
.
|
Отв. . |
13. |
.
|
Отв. . |
2.2Найдите дифференциалы первого порядка:
1.
|
Отв. |
2.
|
Отв. |
3.
|
Отв. dx |
4.
|
Отв. dx |
5.
|
Отв. dx |
Тема 3 Приложения производной (асимптоты, интервалы монотонности и выпуклости функции, экстремумы и точки перегиба функции, построение графиков)
3.1Исследуйте на возрастание, убывание и экстремумы функции:
1.
|
Отв.
|
2.
|
Отв. y↓ y↑
|
3.
|
Отв.
|
4.
|
Отв.
|
3.2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции в заданном промежутке:
1. |
.Отв. |
2.
|
.Отв. |
3. |
Отв.
|
4. |
Отв. |
3.3 Найдите экстремумы функций, пользуясь второй производной:
1.
|
Отв.
|
2.
|
Отв.
|
3.
|
Отв.
|
4.
|
Отв. y"(0) = 2, y(0) – min. |
3.4 Найдите уравнения асимптот функции:
1. |
Отв. |
2.
|
Отв. |
3.
|
Отв. |
4.
|
Отв. |
3.5 Найдите промежутки выпуклости кривой и точки перегиба:
1.
|
Отв. |
2.
|
Отв.
|
3.
|
Отв. |
3.6 .Исследуйте функцию и постройте график:
1.
|
|
2.
|
|
3.
|
|
3.7. Составьте уравнение касательной и нормали к кривым в указанных точках:
1. |
|
Отв. y-3x+19=0; 3y+x+37=0. |
2. |
|
Отв. y-x=0; y+x=0. |
3. |
|
Отв. y+8x+3=0; 8y-x+24=0 |
4. |
Составьте уравнение касательной к кривой y=5x-x2, параллельной прямой, проходящей через точки (1;7) и (-2;2). |
Отв. 3y-5x=0. |
5 |
Составьте уравнения касательных к кривой y=x3+2x+1, перпендикулярных прямой 5y+x-4=0. |
Отв. y-5x-3=0; y-5x+1=0. |
Тема 4 Интегральное исчисление (неопределённый интеграл, определённый интеграл, несобственные интегралы, геометрические приложения определённого интеграла, приближённые вычисления определённого интеграла)
4.1 Найдите неопределенные интегралы
1. |
Отв. |
|
2. |
Отв.
|
|
3. |
Отв. |
|
4. |
Отв. |
|
5. |
Отв.
|
|
6. |
Отв. |
|
7. |
Отв.
|
|
8. |
Отв. |
|
9. |
Отв.
|
|
10. |
Отв. |
|
11. |
|
Отв. |
12. |
Отв. |
4.2 Найдите определенный интеграл
1. |
Отв. 40. |
Отв.. |
||
2. |
Отв. 18.6. |
Отв. 0.5. |
||
3. |
Отв. . |
Отв. |
||
4. |
Отв. . |
Отв. ln. |
||
5. |
Отв. . |
Отв. . |
||
6. |
Отв.. |
Отв. . |
||
7. |
|
Отв. . |
Отв. 4π. |
|
8. |
|
Отв. . |
|
Отв. . |
9. |
|
Отв. . |
Отв.. |
|
10. |
Отв. . |
Отв. arctg 0.08. |
4.3 Исследуйте на сходимость несобственные интегралы
1. |
. |
Отв. расходится. |
2. |
. |
Отв. сходится, ln2. |
3. |
|
Отв. расходится |
4. |
Отв. сходится, . |
4.4 Вычислите площади плоских фигур
1. |
|
Отв. 4,5 кв. ед. |
2. |
|
Отв. 7/3 кв. ед. |
Вычислите объем тела, образуемого вращением вокруг оси OX фигуры, заключенной между кривой y = 2x – x2 и осью OX.
Отв. 16π/15 куб. ед.
Вычислите объем тела, образуемого вращением вокруг оси OY фигуры, заключенной между гиперболой xy = 9, прямыми у = 3, у = 9 и осью OY.
Отв. 18π куб. ед.