3. Решение систем нелинейных уравнений

Положим, имеется система двух нелинейных уравнений:

которые надо решить, т.е. найти точки их пересечения.

Как видно на графике, такая система имеет две точки пересечения. Для решения системы надо построить таблицу, где в клетках В2 и В3 ввести обе функции, которые в качестве аргумента Х ссылаются на ячейку А2. Кроме того, для контроля вычислений в С2 вводится целевая функция, которая вычисляет среднее отклонение значений функций друг от друга. Очевидно, если эти функции пересекаются (т.е. имеются решения), С2=0. Для розыска корня в окно Поиск решениявводятся необходимые параметры процесса. Результат вычислений существенно зависит от начального значения, заданного в качестве решения. Ниже приведен исходный и конечный вид таблицы, если задать его равным +10.

Начальное значение	Формулы	Целевая функция		Начальное значение	Формулы	Целевая функция
10	99	53,5		1,302776	0,697224	2,07E-08
	-8				0,697224

Если начальное значение задать равным –10, то исходный и конечный вид таблицы будет иметь вид:

Начальное значение	Формулы	Целевая функция		Начальное значение	Формулы	Целевая функция
-10	99	43,5		-2,30278	4,302776	2,44E-08
	12				4,302776

Таким образом, в обоих случаях найдены два разных решения.

4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Нужно найти решение (корни) следующей системы линейных алгебраических уравнений:

Внести коэффициенты системы в таблицу в столбцы А, В и С. Свободные члены внести в столбец Е. В столбец Dвнести формулы вычисления свободных членов (D2=СУММПРОИЗВ($A$6:$C$6;A2:C2)). Задача состоит в том, чтобы добиться совпадения значений вычисленных и фактических значений столбцовDи Е. В качестве изменяемых значений используем ячейки А6, В6,С6. Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. В окнеПоиск решениявводятся значения только параметров:Изменяемые ячейки ($A$6:$C$6;A2:C2) иОграничения ($D$2:$D$4=$E$2:$E$4).

X1	X2	X3	Левая часть	Свободные члены
2	-1	1	3	3
1	3	-2	1	1
0	1	2	8	8
Корни:
1	2	3

Получены три корня: Х1=1, Х2=2, Х3+3.

5. Пошаговое решение системы линейных уравнений методом гаусса

Рассмотрим решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Пусть дана следующая система линейных уравнений:

2x₁+3x₂+7x₃+6x₄=1

3x₁+5x₂+3x₃+x₄=3

5x₁+3x₂+x₃+3x₄=4

3x₁+3x₂+x₃+6x₄=5

В диапазоны ячеек А1:D4 иE1:E4 введем матрицу коэффициентов и столбец свободных членов, соответственно. Содержимое ячеекA1:E1 скопируем в ячейки А6:Е6, А11:Е11, А16:Е16. В диапазон ячеек А7:Е7 введем формулу

{=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)}

обращающая в нуль коэффициент при x₁во втором уравнении системы. Выделим диапазон А7:Е7 и протащим маркер заполнения этого диапазона так, чтобы заполнить диапазон А7:Е9. Это обратит в нуль коэффициенты приx₁в третьем и четвертом уравнениях системы. Скопируем значения из диапазона ячеек А7:Е7 в диапазон А12:Е12 и А17:Е17. Для копирования значений без формул следует воспользоваться командойПравкаСпециальная вставкаи в открывшемся диалоговом окнеСпециальная вставкав группеВставитьнадо установить переключатель в положениеЗначения.

В диапазон ячеек А13:Е13 ввести формулу

{=A8:E8-$A$7:$E$7*(B8/$B$7)}

Выделите диапазон А13:Е13 и протащите маркер заполнения этого диапазона так, чтобы заполнить диапазон А13:Е14. Это обратит в нуль коэффициент при x₂в третьем и четвертом уравнениях системы. Скопируйте значения из диапазона ячеек А13:Е13 в диапазон Ф18:Е18. В диапазон ячеек А19:Е19 ввести формулу {=A14:E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)}

Которая обращает в нуль коэффициент при x₃ четвертого уравнения системы. Прямая прогонка метода Гаусса завершена. Обратная прогонка заключается в вводе в диапазоныG4:K4,G3:K3,G2:K2,G1:K1, соответственно, следующих формул: {=A19:E19/D19}

{=(A18:E18-G4:K4*D18)/C18}

{=(A17:E17-G4:K4*D17-G3:K3*C17)/B17}

{=(A16:E16-G4:K4*D16-G3:K3*C16-G2:K2*B16)/A16}

В диапазоне ячеек К1:К4 получено решение системы.

Прямая прогонка метода Обратная прогонка метода Гаусса

Гаусса Решение

2	3	7	6	1		1	0	0	0	0,185714
3	5	3	1	3		0	1	0	0	0,778571
5	3	1	3	4		0	0	1	0	-0,63571
3	3	1	6	5		0	0	0	1	0,457143
2	3	7	6	1
0	0,5	-7,5	-8	1,5
0	-4,5	-17	-12	1,5
0	-1,5	-9,5	-3	3,5
2	3	7	6	1
0	0,5	-7,5	-8	1,5
0	0	-84	-84	15
0	0	-32	-27	8
2	3	7	6	1
0	0,5	-7,5	-8	1,5
0	0	-84	-84	15
0	0	0	5	2,29

ПРАКТИКУМ № 4

ПО КУРСУ «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ПРОГРАММИРОВАНИЕ»

первый семестр обучения

- страница 36 -