5.3.Знакоопределенные квадратичные формы

элемента

x = (x ,..., x

n

) Rn

выполняется неравенство

f ( x) > 0

1

(соответственно

f ( x) < 0 ).

Определение. Квадратичная

форма называется неотрицательно

ненулевого элемента

x = (x ,..., x

n

) Rn

выполняется неравенство

f ( x) ≥ 0

(соответственно

f ( x) ≤ 0 ),

1

и

существует

такой

ненулевой

элемент

x = (x ,..., x

n

) Rn , для которого

f ( x) = 0.

1

называется знакопеременной,

Определение.

Квадратичная форма

если существуют такие элементы x , y Rn , что

f ( x) > 0, а

f ( y) < 0 .

Примеры. Квадратичная

форма

f ( x) = f (x , x

2

) =3x2 + x2

является

1

1

2

) =3x2

положительно определенной;

квадратичная форма

f ( x) = f (x , x

2

1

1

является

неотрицательно определенной,

т.к. существует ненулевой элемент

x = (0,1) R2 :

f ( x) = 0; квадратичная

форма

f ( x) = f (x , x

2

) =3x2

− x2

1

1

2

знакопеременная, т.к.

f ( x) = f (1,0) =3 > 0 , а

f ( y) = f (0,1) = −1 < 0 .

Утверждение. Пусть

A – матрица квадратичной формы в некотором

базисе, λi , i =1,2,..., n ,

собственные значения матрицы A.

1)

Квадратичная форма

f ( x) является

положительно

(отрицательно)

определенной тогда и только тогда, когда λi

> 0 i =1,2,..., n

(соответственно

λi < 0

i =1,2,...,n ).

Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.

Действительно, если det A ≠ 0 , то λ = 0 не может

быть

корнем

характеристическое уравнение

A − λE

= 0 , следовательно,

λ = 0

не может

a11

a12

,…,

n =

a11

...

a1n

.

2

=

... ... ...

a21

a22

an1

...

ann

Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма

от

n переменных

была

положительно определенной, необходимо и

были положительными:

1 > 0 , 2 > 0 ,…, n > 0.

Следствие из критерия Сильвестра. Для того чтобы квадратичная

форма от n переменных

была отрицательно определенной, необходимо и

базисе

чередовались,

начиная

с минуса:

1 < 0 ,

2 > 0 ,

3 < 0,…,

(−1)n

n > 0 .

Задача 1.

Исследовать знакоопределенность квадратичной

формы

f ( x) = f (x , x

2

) = x2 +10x x

2

+26x2 .

1

1

1

2

миноры:

1

5

,

=1,

=

1

5

=1

. Поскольку все угловые миноры

A =

1

2

5

26

5

26

f ( x) = f (x , x

2

, x

3

) = −11x2

− 6x2

− 6x2

+12x x

2

−12x x + 6x

2

x .

Решение.

1

1

2

3

1

1

3

3

Рассмотрим матрицу квадратичной формы и найдем ее угловые

−11

6

− 6

миноры:

6

− 6

3

,

1 = −11 < 0 ,

2 =

−11

6

=30 > 0 ,

A =

− 6

3

− 6

6

− 6

3 =

−11

6

− 6

= −81 < 0 . Поскольку знаки угловых миноров чередуются,

6

− 6

3

− 6

3

− 6

зависимости

от

значения

параметра

λ :

f ( x) = f (x , x

2

) = 2λx2

+ (2λ +8)x x

2

+(λ +1)x2 .

1

1

1

2

миноры:

2λ λ + 4

,

= 2λ,

=

2λ λ + 4

= λ2 − 6λ −16 .

A =

1

2

λ +

4 λ +1

λ + 4 λ +1

а) Найдем

все

λ ,

при

которых

квадратичная форма

является

невырожденной.

det A ≠ 0

при всех

λ ≠8 , λ ≠ −2 . Применяя

критерий

положительно

определенной, если

1 = 2λ > 0

, т.е. при

> 0

2 = λ2 − 6λ −16

λ (8, + ∞); отрицательно определенной, если

1

= 2λ < 0

, т.е. при

−16 > 0

λ (− ∞, − 2).

2 = λ2 − 6λ

Невырожденная квадратичная форма может быть только либо

f ( x) = f (x , x

2

) =16x2

+ 24x x

2

+9x2

= (4x

+ 3x

2

)2 ≥ 0 .

Квадратичная

форма

1

1

1

2

1

является неотрицательно определенной при

λ =8 ,

т.к. существует такой

ненулевой элемент

x = (3,− 4) :

f ( x) = 0.

в) Рассмотрим квадратичную форму при

λ = −2 :

f ( x) = f (x , x

2

) = −4x2

+ 4x x

2

−x2 = −(2x

− x

2

)2 ≤ 0 .

Квадратичная

форма

1

1

1

2

1

является неположительно определенной при

λ = −2,

т.к. существует такой

ненулевой элемент

x = (1,2) :

f ( x) = 0.