- •Доцент Митянок. Уо»полесский государственный университет»
- •Лекция 11. Исследование функций с помощью производной.
- •11.1. Возрастание и убывание функций.
- •11.2. Точки экстремума.
- •11.3. Исследование функции на экстремум с помощью
- •11.4. Выпуклость и вогнутость кривой.
- •11.5. Асимптоты.
- •11.6. Общая схема исследования функций
- •Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл.
- •12.1. Первообразная функция.
- •12.2. Неопределенный интеграл.
- •12.3. Таблица основных интегралов.
- •12.4. Непосредственное интегрирование.
- •Лекция 13. Основные методы интегрирования.
- •13.1. Способ подстановки (замены переменных).
- •13.2. Интегрирование по частям.
- •13.3. Интегрирование элементарных дробей.
- •13.4. Интегрирование рациональных функций.
- •Лекция 14. Основные методы интегрирования (продолжение).
- •14.1. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •14.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •14.4. Интегрирование биноминальных дифференциалов.
- •1 Способ. Тригонометрическая подстановка.
- •3 Способ. Метод неопределенных коэффициентов.
- •14.5. Несколько примеров интегралов, не выражающихся через
- •Лекция 15. Определённый интеграл.
- •15.1. Введение понятия определённого интеграла.
- •15.2. Свойства определенного интеграла.
- •15.3. Теорема Ньютона-Лейбница.
- •15.4. Замена переменных.
- •15.5. Интегрирование по частям.
- •Лекция 16. Приближенное вычисление определенного интеграла.
- •16.1. Формула прямоугольников.
- •16.2. Формула трапеций.
- •16.3. Формула парабол
- •Лекция 17. Несобственные интегралы.
- •17.1. Интегралы с бесконечными пределами.
- •17.2. Интеграл от разрывной функции.
- •Лекция 18. Приложения определенного интеграла.
- •18.1. Вычисление площадей плоских фигур.
- •18.2. Нахождение площади криволинейного сектора.
- •18.3. Вычисление длины дуги кривой.
- •18.4. Вычисление объемов тел.
- •18.5. Объем тел вращения.
- •18.6. Площадь поверхности тела вращения.
- •Лекция 19. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
- •19.1. Понятие функции нескольких переменных.
- •19.2. Предел функции нескольких переменных.
- •19.3. Непрерывность функции нескольких переменных.
- •19.4. Свойства функций нескольких переменных, связанные
- •20.1. Частные производные.
- •20.2. Полное приращение и полный дифференциал.
- •20.3. Геометрический смысл полного дифференциала.
- •20.4. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
- •20.5. Частные производные высших порядков.
- •Лекция 21. Экстремум функции нескольких переменных.
- •21.1. Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •21.2. Условный экстремум.
- •21.3. Производная по направлению.
- •21.4. Градиент.
- •21.5. Связь градиента с производной по направлению.
- •22.1. Основные определения.
- •22.2. Свойства рядов.
- •22.3. Критерий Коши.
- •22.4. Ряды с неотрицательными членами.
- •Лекция 23. Функциональные ряды.
- •23.1. Функциональные последовательности.
- •23.2. Функциональные ряды.
- •23.3. Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •Лекция 24. Степенные ряды.
- •24.1. Понятие степенного ряда.
- •Теоремы Абеля.
- •24.2. Действия со степенными рядами.
- •Если применить к той же функции формулу Маклорена
21.4. Градиент.
Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке
,
то этот вектор называется градиентом функции u.
При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.
21.5. Связь градиента с производной по направлению.
Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов
.
Тогда производная по направлению некоторого вектораравняется проекции вектораgradu на вектор .
Доказательство: Рассмотрим единичный вектор и некоторую функциюu = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов иgradu.
Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.
Т.е. . Если угол между векторамиgradu и обозначить через, то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:
Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора grad u на вектор .
Теорема доказана.
Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.
С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.
22.1. Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называетсячисловым рядом.
При этом числа будем называть членами ряда, аun – общим членом ряда.
Определение. Суммы ,n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …
Определение. Ряд называетсясходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
22.2. Свойства рядов.
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2) Рассмотрим два ряда и, где С – постоянное число.
Теорема. Если ряд сходится и его сумма равнаS, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C 0)
3) Рассмотрим два ряда и.Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.
Теорема. Если ряды исходятся и их суммы равны соответственноS и , то ряд тоже сходится и его сумма равнаS + .
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.