3. Частотные характеристики системы регулирования и ее элементов

Частотные характеристики системы автоматического управления характеризуют частотный диапазон работы системы, когда изменения управляющего воздействия отслеживаются управляемой величиной. Эти характеристики можно получить при рассмотрении вынужденных колебаний на выходе системы (звена), вызванных гармоническим воздействием на входе:

,

(3.1)

где - угловая частота входного гармонического сигнала с периодом,- амплитуда входного гармонического сигнала.

После завершения переходного процесса на выходе линейного звена с постоянными параметрами также появляется гармонический сигнал той же частоты, но с другой амплитудой и сдвигом по фазе:

,

(3.2)

где - амплитуда сигнала на выходе звена при частоте,- угол сдвига фазы выходного сигнала по отношению к входному сигналу.

Изменение амплитуды и фазовый сдвиг являются функциями частоты и выражают динамические свойства системы (звена). Если изменять частоту от дои определять установившиеся амплитуду и фазу выходных колебаний для разных частот, можно получить зависимость соотношения амплитуди сдвига фазыот частоты .

называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), – фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Расмотрим проведение такого исследования на объекте, изображенном на рис. 3.1.

Рисунок 3.1 - Схема экспериментального определения частотных характеристик нагревательной печи

В трубопровод подачи газа вмонтирована дроссельная заслонка (регулирующий орган ), которую можно открывать и закрывать с определенной частотой при помощи специального механизма. При этом формой заслонки можно обеспечить синусоидальное изменение расходагаза, измеряемого датчиком расхода и являющегося входной величиной . Если измерять отклонение температуры в печи(выходной сигнал) с помощью датчика температуры , то увидим, что в установившемся режиме температура будет изменяться с той же частотой, а максимумы и минимумы расхода и температуры будут сдвинуты по фазе (рис. 3.2). Амплитуда выходного сигнала также будет изменяться при изменении частоты.

Рисунок 3.2 - Реакция звена (системы) на синусоидальное воздействие

Каждой частоте входного сигнала будут соответствовать определенные амплитуда и фазовый сдвиг выходного сигнала (рис. 3.3).

Рисунок 3.3 - Установившиеся значения выходного сигнала при различных значениях частоты входного синусоидального сигнала

Этот результат можно показать графически. Изобразив зависимость отношения амплитуд от частоты, получим АЧХ (рис. 3.4, а). Изобразив таким же образом зависимость фазового сдвига от частоты, получим ФЧХ (рис. 3.4, б).

Рисунок 3.4 - Частотные характеристики: АЧХ (а) и ФЧХ (б)

На рис. 3.5 показано построение совмещенной амплитудно-фазовой характеристики (АФХ). При этом на луче, выходящем из начала координат под углом , откладывается . На такой характеристике частота в явном виде отсутствует. Однако каждой точке на кривой соответствует определенная частота.

Рисунок 3.5 - Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ)

Запишем входной и выходнойсигналы в комплексном виде и определим частотную функцию (комплексный коэффициент усиления).

Комплексной частотной функцией (комплексным коэффициентом усиления) называется отношение комплексной амплитуды сигнала на выходе звена к комплексной амплитуде сигнала на его входе, при подаче на вход синусоидального сигнала. Это отношение определяется после окончания переходного процесса, вызванного подачей входного воздействия [2].

Геометрическое место конца вектора комплексного коэффициента усиления звена, при изменении частоты от нуля до бесконечности, называется частотным годографом комплексного коэффициента усиления или комплексной частотной характеристикой звена (рис. 3.5). Иногда комплексную частотную характеристику называют амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Объясним переход от записи гармонического сигнала в тригонометрическом виде к комплексной форме. Изобразим на комплексной плоскости векторы и , сдвинутые один относительно одного на угол(рис. 3.6). Будем поворачивать векторы с частотойпротив часовой стрелки вокруг центра.

Рисунок 3.6 - Проекции векторов и

Рядом построим график изменения проекций этих векторов на вертикальную ось во времени .

Эти графики представляют зависимости:

,

(3.3)

где - модуль вектора ,- модуль вектора .

Таким образом, существует однозначная связь гармонических колебаний ис векторамии, расположенными на комплексной плоскости.

Вектор при его вращении описывается уравнением:

.

(3.4)

Вектор , сдвинутый на уголпо отношению к вектору, определится как:

.

(3.5)

Определим частотную функцию (комплексный коэффициент усиления) как отношение вектора выходного сигналак вектору входного сигнала :

,

(3.6)

где - соответственно, модуль и фаза комплексной частотной функции (комплексного коэффициента усиления); - соответственно, действительная и мнимая части комплексной частотной функции (комплексного коэффициента усиления).

Модуль и фазачастотной функции связаны с действительнойи мнимойчастями следующими выражениями:

,	(3.7)
.	(3.8)

На комплексной плоскости (рис. 3.7) частотную передаточную функцию определяет годограф вектора , длина (модуль) которого равна, а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) равен . Кривую, которую описывает конец вектора при изменении частоты от до, называют амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). Таким образом, АФХ – это совмещённые АЧХ и ФЧХ.

Рисунок 3.7 - Построение АФХ по частотной функции

Итак, передаточная функция полностью определяет как статические, так и динамические свойства системы (звена). Она показывает, по какому закону тот или иной сигнал, поступивший на вход, преобразуется в выходной сигнал системы или звена.

Рассмотрим получение АЧХ и ФЧХ на примере апериодического звена с передаточной функцией:

.

(3.9)

Частотную функцию (комплексный коэффициент усиления) получим, заменив в уравнении (3.9) на:

.

(3.10)

Выделим из частотной функции действительнуюи мнимуючасти:

,	(3.11)
,	(3.12)
.	(3.13)

Амплитудно-частотная характеристика:

.

(3.14)

График АЧХ при изменении от 0 до 100 1/с и значениях,с, изображен на рис. 3.8.

Рисунок 3.8 - График АЧХ

Фазовая частотная характеристика:

.

(3.15)

График ФЧХ при изменении от 0 до 100 1/с и значениях,с, показан на рис. 3.9.

Рисунок 3.9 - График фазовой частотной характеристики

В практических расчетах амплитудную и фазовую частотные характеристики чаще всего изображают в логарифмическом масштабе, что позволяет в значительной степени упростить анализ и синтез САУ.

Коэффициент усиления в логарифмическом масштабе измеряется в децибелах. Понятие децибела введено в практику компанией Bell Telephone Labs в двадцатых годах двадцатого столетия. Сначала оно применялось для измерения логарифма отношения мощностей электрических сигналов:

, дБ,

(3.16)

где ,- мощности электрических сигналов.

Поскольку мощность пропорциональна квадрату напряжения, то для гармонического сигнала можно записать:

.

(3.17)

Поэтому в логарифмическом масштабе коэффициент усиления по напряжению, измеренный в децибелах, будет равен:

.

(3.18)

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), выраженная в децибелах, соответствующая амплитудно-частотной характеристике (3.14) определится:

.

(3.19)

Фазовая частотная характеристика , построенная в полулогарифмическом масштабе (по оси ординат откладывается уголв градусах или радианах, по оси абсцисс -), называется логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ).

В качестве единицы измерения частоты используется логарифмическая единица - декада. Декадой называется интервал частот между какой-либо величиной частоты и ее десятикратным значением.

В логарифмическом масштабе частот отрезок в одну декаду не зависит от частоты и имеет длину, равную:

.

ЛАЧХ и ЛФЧХ строят обычно совместно, используя общую ось абсцисс (ось частот). Начало координат невозможно установить в точке , так как. Поэтому начало координат располагают в любой удобной точке в зависимости от интересующего диапазона частот.

Соответствующие графики ЛАЧХ и ЛФЧХ изображены на рис. 3.10.

Рисунок 3.10 - График ЛАЧХ и ЛФЧК (диаграмма Боде)