ОФК

ББК32.973 УДК004.222+511.1

Друкується за ухвалою Вченої ради Інституту підприємництва та перспективних технологій при Національному університеті “Львівська політехніка”

(Протокол №6 від 29 червня 2006 року)

Рецензенти:

Черкаський М. В. – професор кафедри електроннихобчислювальнихмашин

Національного університету “Львівська політехніка”, доктор технічних наук;

Троценко В.В. – доцент кафедри комп’ютерних систем і технологій ІППТ,

кандидат технічних наук.

Д83 ДунецьР.Б.,КудрявцевО.Т.Арифметичніосновикомп’ютерноїтехніки.– Львів: Ліга-Прес,2006– 142с.

ISBN

У посібнику докладно висвітлено арифметичні основи, на яких ґрунтується функціонування комп’ютерної техніки. Розглянуто основні поняття дискретної обробки інформації, системи числення, форми подання чисел у комп’ютерах. Значна частина матеріалу стосується арифметичних дій, що виконуються над числами, які подані у двійковому коді. Матеріал супроводжується великою кількістю прикладів, контрольними запитаннями і завданнями.

Всіправа застережено.

Жодна частинацієї публікації не можебути відтворена убудь-якій формі чи будь-яким способом без письмової згоди на те авторів.

©ДунецьР. Б., КудрявцевО. Т.

©Інститут підприємництвата перспективнихтехнологій при Національному університеті “Львівська політехніка”

2

ВСТУП

Впродовжвсієїісторії людства, відпервіснихчасівідонині, людина постійно прагнула створювати і створювала знаряддя, які давали їй можливістьвселіпшеіповнішезадовольняти своїпотреби.З цьогопогляду шлях розвитку людського суспільства можна уявити довгою дорогою, що усіяна по узбіччях уламками механізмів – знарядь праці. На початку вони маливигляднеобробленогокаміння,алетрохипізнішез’являютьсядосконалі зразки кам’янихзнарядь,справжнімистецькішедеври. Невдовзістворюють перші“революційні”засоби,такі,якколесотавітрило.Цеетап, колилюдство отримало змогу значно пришвидшити темпи свого розселення у пошуках ліпшихумов дляжиття. Одразупісляцьогознаходимопершімеханізми,що приводилисяудію силоюм’язівлюдини.

Вже тоді, учаси сивої давнини, людство зіштовхнулося із потребою виконання певних обчислень(наприклад, уторгових імінових операціях) і зробилопершіспробиполегшитиїх.Спочаткурахували “напальцях”,потім їх замінили патички, камінці, мушлі або кісточки на шнурочку (т.зв. “калькулі” – прототипвідомоїнам рахівниці).Ідотеперще існуєтаке знаряддя–вервиця.

Рахунок на пальцях відіграв велику роль не тільки у полегшенні обчислень, але й у розвитку математики. Пальцям зобов’язана своїм існуваннямдесятковасистема числення.Устародавніхримлянбуловведене пальцевезображення чисел, докладноописанеуVIIIсторіччі. Згідноз цим описанням,різнізагинипальцівпозначалиодиниці,сотніітисячі,авизначені жести рук давали змогу рахувати до мільйона. Ця система, трохи видозміненою,дійшла донасувигляді“римськихцифр”.

Назмінупальцям,насампередчерезпотребузапам’ятовуваннячисел, прийшли способи рахування на бірках, зарубках, вузлах тощо. Широко застосувалистародавнінароди спеціальнірахунковіпристрої:

–абак, винайдений у Вавілоні близько 3000 тис. років до н. е., використовувавсяукраїнах біля Середземногоморя. Він мав вигляд дошки, якупосипалипіском іуякійробилилункидля різнихрозрядів чисел, а потім камінцями у лунках формували числа. Для виготовлення застосовувалася висушена глина (Месопотамія), дерево (дошка з острова Саламін, що поблизу Афин), мармур (у Римі).

3

–серобан уЯпонії,

–суан-панбуввідомий уКитаїприблизноза500роківдон.е.

Уперелічених пристроях камінці, зернятка, жетони або кісточки,

розміщеніна визначенихмісцях(колонкахаборядках), маютьрізнечислове значення, тобтоунихвикористовуваласяпозиційна система числення.

У епоху Ренесансу (Відродження) в Європі з’являються механічні пристрої, за допомогою яких пропонувалося автоматизувати виконання окремихарифметичнихоперацій.Хронологіяключовихподій“механічного” періодурозвиткуарифметичнихпристроївмає такийвигляд:

1492 рік. Уодномуіз своїхщоденників ЛеонардодаВінчі наводить рисунок 13-розрядного десяткового сумуючого пристрою на основі зубчастихколіс.

1623 рік. Вільгельм Шиккард (Willhelm Schickard, 1592 – 1635),

професор університету міста Тюбінгена, розробив пристрій на основі зубчастих коліс (годинник, що рахує) для додавання і віднімання шестирозряднихдесятковихчисел.Чибувцейпристрійреалізованийзажиття винахідника, достовірноневідомо, але у1960 році він був виготовлений за старимикресленнями іпоказавсебе цілком працездатним.

1642 рік. Блез Паскаль (Blaise Pascal, 1623 – 1663) пропону

“Паскалін” –перший реальноздійсненийівідомий механічний цифровий обчислювальний пристрій. Прототип пристрою додавав і віднімав п’ятирозряднідесятковічисла. Паскаль виготовивбільш ніж десятьтаких обчислювачів, причому останні моделі оперували восьмирозрядними числами.

1673рік.ГотфрідВільгельмЛейбніц(GottfriedWilhelmLeibniz,1646– 1716)створює“покроковийобчислювач”–десятковийпристрійдлявиконання усіх чотирьох арифметичних операцій над 12-розрядними десятковими числами. Результатмноження подавався16цифрами.Окрім зубчастихколес упристроївикористовувався новий елемент –ступінчатий валик.

1786 рік. Німецький військовий інженер Йоганн Мюллер (Johann Mueller, 1746– 1830)висуваєідею“різницевої машини”–спеціалізованого калькулятора для табулювання логарифмів, що обчислюються різницевим методом.Калькулятор,побудованийнаступінчатихвалахЛейбніца, бувдоволі невеликим (13 смувисотуі 39см удіаметрі), алемігвиконувати всічотири арифметичніопераціїнад 14-розряднимичислами.

4

1801рік.ЖозефМарія Жаккард(Joseph-MarieJacquard,1752–1834)

виготовив ткацький верстат з програмним керуванням, програма роботи якого задавалася за допомогою комплектуперфокарт.

1832 рік. Англійськийматематик Чарльз Беббідж(CharlesBabbage, 1792 – 1871) створив сегмент різницевої машини, що оперував шестирозрядними числами і різницями другого порядку. Різницева машина Беббіджаза своєюідеєюаналогічнадокалькулятораМюллера.

1834 рік. Пер Георг Шутц (Per George Scheutz, 1784 – 1873) із Стокгольму, використовуючикороткеописанняпроектуБеббіджа,виготовив з дерева невеликурізницевумашину.

1836рік.Беббіджрозробляєпроект“аналітичноїмашини”.Упроекті машинипропонувалися такіпристрої:

-тризчитувачі зперфокартдлявведення програм іданих;

-пристрій збереження інформації – пам’ять (за Беббіджем – “комора”) нап’ятдесят40-розряднихчисел;

-два акумуляторидлязбереженняпроміжнихрезультатів;

-пристрійдлявиконанняопераційнадчислами,якіберутьсяіз“комори”, що називався “млин” або “фабрика” (цей пристрій тепер прийнято називати “центральним процесором”);

-для керування послідовністю операцій і їхнім виконанням слугував пристрій керування, який використовував перфокарти.

Упроект було закладено також і елементи мікропрограмування – змістінструкційпередбачалосязадаватипозиціонуванням металевихштирів

уциліндріз отворами.Упрограмуваннімашинибулапередбаченаконцепція умовного переходу. За оцінками автора, додавання повинно було займати 3 с,амноженняіділення–2–4хвилини.Ідеїпроектувизнанінайважливішим досягненямуцій галузі“механічної”епохи.

Ще більш ніж 100 років тривала еволюція механічних, електромеханічнихі електроннихзасобівавтоматизаціїпроцесівобчислень.

Спроби людини удосконалювати знаряддя праці не припинялись ніколи і, відповідно до об’єктивних законів суспільного розвитку, це привеловід перших слабких намагань впливатина довкілля достворення потужних машин і агрегатів. Перші побудовані людиною машини були призначені для обробки матеріалів: за допомогою цих машин матеріалам надавалинової формиабоїхперетворювали наіншіматеріали.

5

Прикладами таких машин можуть бути гончарний круг, ткацький або токарний верстат.

З появою парової машини на сцену виходять енергетичні машини,

які слугують для перетворення енергії із однієї форми у іншу. Сучасні представникитакихенергетичнихмашин–цевеличезнітурбіниігенератори наелектростанціях.

Ізрозвиткомпромисловоговиробництваскладністьвикористовуваних машин і складність перетворення як енергії, так і матеріалів, зростає. Збільшуєтьсяпотужністьокремихустановокіускладнюютьсярежимиїхньої роботи.Зокремихмашин,пристроївіагрегатівскладаютьсяскладнітехнічні комплекси. Керування роботою таких комплексів потребує накопичення та опрацюваннявеличезнихобсягівінформації.Крімцього,підвищилисявимоги до людини, яка керує сучасними машинами і комплексами. Людина, що працює за пультом складного агрегату, перед прийняттям конкретного рішенняубудь-якихумовах,щосклалися,повинна проаналізувативеличезну кількістьрізноплановоїінформації, якувонаотримуєвідприладівабоінших працівників,виробитиіпорівнятидекілька варіантіврішення.

Розвиток техніки, промисловості і суспільства актуалізує проблему створення ще одного класу машин, які повинні допомогти людині орієнтуватися у потоці сигналів і відомостей, тобто у потоці інформації. Сьогодні ми розуміємо, що вміння людини накопичувати, зберігати,

перетворювати і передавати інформацію є запорукою успішної еволюції, людства. Машини нового типу, призначені для здійснення обробки, збереженняі перетворенняінформації– цекомп’ютери, які щеназивають

інформаційними машинами. Ці машини створюються на основі певних фізичнихіхімічнихзаконів,таксамо,якііншімашини.

В основу роботи комп’ютерів покладені певні арифметичні

закономірностітаособливості,якіописуютьсяу цьомупосібнику.

6

РОЗДІЛ 1

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ

1.1.Інформація, повідомлення, сигнал

Воснові будь-якоїнауково-технічної, біологічноїісоціальноїсистеми управліннятафункціонування,атимбільшевосновісистемобчислювальної техніки,лежатьінформаційніпроцеси,якіпов’язанііз збиранняміобробкою

інформації,їїпередаванням,збереженням,розподіленням,відображенням,

реєстрацією,зчитуваннямтощо.Зусіхпереліченихінформаційнихпроцесів у результаті можна виділити чотири основні процеси або процедури:

прийманняінформації, передавання,збереженнятаїїобробка.Реалізація всіхцихпроцедурзагаломсупроводжуєтьсяперетворенням фізичногоносія інформаціїіформи їїподання.

Інформація – явище дуже містке і важко піддається чіткомувизначенню. Поняття інформації належить не до математичних, а швидше до філософських понять, а тому єдиного конкретного визначення інформації немає.

Частозастосовуютьтакі означенняінформації:

– Інформація–церізноманітнівідомості(абодані)прооб’єктиіявища,

щоциркулюютьвприроді,суспільствіта технічнихпристроях.

–Інформація–цемірарізноманітностіта неоднорідностіенергіїта речовини впросторі та часі.

–Інформація – це відомості, які були невідомі і які зменшують невизначеність, якабула доїхньогогоотримання.

Насбудутьцікавититіозначенняінформації,якінайкращеадаптовані до технічних засобів, зокрема комп’ютерів. Інформація, що втілена і зафіксована у деякій матеріальній формі, називається повідомленням, а фізичнийзасібпередаванняповідомлення– сигналом.Абоінакше:сигнал–

це зміна у часі деякого фізичного параметра s t якого-небудь об’єкта, який слугує для відображення, реєстрації і передавання повідомлення.

7

Дані – це певний обсяг інформації, яка подана у формалізованому вигляді,дляінформаційнихтехнологій,якправило,за допомогоюбукв,цифр чипевнихсимволів.

Повідомлення–цедані,якіпередаютьсяджереломінформаціїаботі, що отримані приймачем.

Сигнал – матеріальний носій інформації, який має певні фізичні властивості.

Сигналирозрізняютьза фізичноюприродою: механічні, електричні, акустичні(звукові), світлові(оптичні),електромагнітні, магнітні,гідравлічні,

ізотопні тощо. Сигнали однієї природи можуть викликати сигнали іншої природи.Наприклад, механічнийрухструниелектрогітаризумовлюєзвукові сигнали,звуковісигнали викликаютьелектричні.

Сигнали взаємодіють у просторі та часі. Характер зміни сигналу у часі може бути поданий графічно, у вигляді осцилограми, за допомогою таблиці, до якої вносять значення s j у i -ті моменти часу; сигнал також

може бути описаний аналітично.

Сигналихарактеризуються певнимипараметрами, змінаяких інесе інформацію.Наприклад, змінакольорусвітлофораінформуєпроможливість рухутранспортучи навпаки.

Прикладипараметрів:яскравість, силаструму,силазвуку, колір,об’єм речовини, амплітуда,фаза, частота,тривалість(час).

Длятого,щобзробитисигналоб’єктомтеоретичноговивченняірозрахунків, використовують ті чи інші способи математичного його описання, тобтостворюють математичнумодельсигналу. Дотогож,підчасрозробленнятакоїмоделіописуютьсятількитівластивостісигналу,яківважаютьоб’єктивноважливими іігноруєтьсявеликакількість другоряднихвластивостей.

Як математична модель сигналу може бути прийнята, наприклад, функціональназалежність, аргументомякоїєчас: s f t .Причомуутакій моделівважають, щопричиноюзміни величиниs єнесам час, а деякаінша фізична величина. Тому точніше говорити, що, визначаючи сигнал через s t , q t ,... приймаютьмодель, яка описуєзміни величин s , q ,... учасі.

Сигнали,повідомлення,інформацію,якіхарактеризуютьпевнийоб’єкт поділяють на неперервні (аналогові) та дискретні (цифрові).

Неперервниминазиваютьсятакісигнали,яківідображаютьнеперервні зміниоб’єкта чипроцесуіна скінченномуінтервалі параметрівнабувають довільну(безмежну)кількістьїхніхзначень.Наприклад,елементмови,стрілка

8

барометра, висота ртуті чи спирту в термометрі, думка. Математичною моделлюаналоговихсигналівнайчастішеєфункції.

Перевагою аналогових сигналівє максимальноточне відображення стануоб’єкта, якийєджерелом інформації.Недоліком аналоговихсигналівє низьказавадостійкість.

Дискретниминазивають такісигнали, яківідображають обмежену кількість фіксованих станів об’єкта чи процесуі на скінченномуінтервалі параметрівнабуваютьобмеженоїкількостіїхніхзначень.Наприклад,кількість студентів у групі, номер телефону, кількість сторінок у книжці, словник.

Математичноюмоделлю дискретнихсигналівєкоди, дискретніфункції. Перевагою дискретнихсигналівєвисоказавадостійкістьтазручність

вопрацюванні,зберіганнікомп’ютернимизасобами.Недолікомдискретних сигналів є наближене відображення стану об’єкта, який є джерелом інформації.

Електронні пристрої автоматики, телемеханіки, мікропроцесорної і комп’ютерноїтехніки, щопризначенідлявирішенняширокогоколазавдань, під час роботи також приймають, зберігають, обробляють і передають інформацію. Вони можуть приймати як неперервну, так і дискретну інформацію. Останнім часом усю інформацію намагаються перетворити у дискретну,оскільки їїлегшезаписатиіобробитивцифровомувигляді,тобто задопомогою чисел. Томуїїще називаютьцифровою інформацією. Надалі будемо розглядати інформацію, що передається тільки за допомогою дискретнихсигналів.

Яквжезазначалося, практичнопідчасбудь-якої обробкиінформації здійснюються ті чи інші перетворення сигналів. Перетворення сигналів, зокрема, застосовують уразі зміни носія інформації або самої функції, що передається за визначеним законом, який забезпечує однозначну відповідністьміжвхідноюфункцієюівихідною.

Найчастішепершою процедуроюзмінитипу неперервноговхідного сигналує його дискретизація.

Дискретнийсигналописуєтьсярешітчатоюфункцією(послідовністю, часовим рядом) X n t , у якому величина X може набувати будь-яких значенньудеякомуінтервалі X , X , тоді, якнезалежна змінна n набуває

тільки дискретних значень n 0,1,2,... , t - інтервал (крок) дискретизації. Дискретизація неперервного сигналу s t може відбуватися у часі або за

9

рівнем(параметра). Останнійвипадокдискретизації звичайноназивається квантуванням за параметромі тутнерозглядається.

Колидискретизація сигналу s t здійснюєтьсяучасі,тонеперервний сигнал s t замінюється (подається) послідовністю імпульсних сигналів, амплітуда яких відповідає значенням неперервного сигналу у дискретні моментичасу n t . Утакомуразізначення t дорівнюєчасовомуінтервалу

міжсуміжнимивідліками.Тоді f D 1 t –цециклічначастотадискретизації, а D 2 f D –відповіднакруговачастота.

Приймемо,щосигнал s t заданийабографічно, абоувиді таблиці,

уяку внесенійогозначенняумежахперіодучасу T черезвизначеніоднакові інтерваличасу, тобтоперіод T розділенийутакомуразіна 2n рівнихчастин (рис.1.1). Тоді абсциси точок поділу будуть дорівнювати: tk kT 2n , а

ординатиуцихточках:

Якщодлянеперервногосигналудійснийтакийвираз: s t Sm sin t , топіслядискретизації учасіцейсигнал описуєтьсярівнянням:

s n t Sm sin n t .

Післядискретизації початковафункція s t замінюєтьсясукупністю окремих значень sk , за якими можна відновити початковуфункцію s t с

10

деякою похибкою. Функцію, яка отримана урезультаті такого відновлення (інтерполяції),називаютьвідновлюваною.Дляподаннявідновлюваноїфункції найчастішевикористовуються степеневіалгебраїчні поліномивиду:

n

V (t) aiti , i 0

де n –степіньполінома, ai –дійснікоефіцієнти.

Підчасдискретизаціїсигналівдоводитьсявирішуватипитанняпроте, як часто необхідно виконувати відліки функції, тобто яким повинен бути

крокдискретизації.

Згідноз теоремою В.А. Котельникова, якщо функція s t не містить частот, вищих від Fm , то вона повністю визначається своїми миттєвими значеннями у моменти часу, які відстоять один від одного на величину 1 2Fm , тобто

tk k m k t .

Зцієї теореми випливає, що для однозначного подання функції з

обмеженим спектром на інтервалі часу T достатньо мати деякі n значень цієїфункції, де

nT t 2FmT .

Уразівиконання цієїумовинеперервнаі дискретнафункціїобернені

міжсобою, тобтототожні. Отже, довільний сигнал, спектрякогонемістить частот, вищих за Fm , може бутиподанийувигляді послідовностіімпульсів,

амплітудаякихдорівнюєзначеннюпочаткового сигналуудискретнімоменти часу k t –а інтервалиміж ними t 1 2Fm .

ЗнаведеноговищеформулюваннятеоремиКотельниковаоднозначно випливає, що для вибору оптимального кроку дискретизації попередньо необхідновиконати кількісніоцінкиусіхзначущихгармонікспектрального розкладу початкового неперервного сигналу, щоб знайти значення Fm , тобто – m .

11

1.2. Алфавіт, слово, код

Цифроваінформаціянасправдіявляєсобоюокремийвидтакзваного алфавітного способу подання інформації. Його основою є довільний фіксованийнабірсимволівбудь-якоїприроди,щоназиваєтьсяабстрактним алфавітомабо, стисло, простоалфавітом.

Алфавітний спосіб запису інформації відомий давно. Дуже багато народів мають мови, побудовані за алфавітним принципом. Будь-яка інформаціяутакихмовахзаписуєтьсяувигляді слів, щоскладаються збукв (символів),іувиглядіречень(висловів),складенихізслів.

Алфавітом називається скінчена множина символів, за допомогою якої подається інформація про певний об’єкт. Якщо інформацію подають засобамимови людей, тоалфавітом уцихзасобахєбукви, знакитощо.

Алфавітукраїнськоїмовимістить33(34)символи,англійської мови– 26,класичноїгрецької–24.Найкороткийалфавіт–алфавітвнутрішньоїмови комп’ютера маєлишедва символи–0 і1.

У інформатиці поняття алфавітурозширяється. Можна, наприклад, говоритипроалфавітматематики,тодіуролі“букв”використовують:цифри, знакиарифметичних(алгебраїчних)дій,спеціальнісимволи,такі, якдужки,а

звичніформулибудутьсловамицієїмови. Існуютьалфавіти,уякихбуквами єспеціальновигаданізнаки.Наприклад,хіміямаєсвоюмову,яка ґрунтується наалфавітіхімічнихсимволів.

Наведемо приклади деяких алфавітів, позначивши їх великими літерами:

A0,1,2,3,..., , , , ,: –математичнийалфавіт.

BI,V , X , L, M , C – алфавіт римськоїнумерації. C ,– – телеграфнийалфавіт.

D 1,|, L – новий,вигаданий алфавіт.

Із символів будь-якогоалфавітускладаютьповідомлення –слова. Словомназиваєтьсявпорядкована послідовністьскінченоїкількості

символівалфавіту.

Прикладислівдлянаведенихвищеалфавітів: 7 0 31 5 –словоуалфавіті A .

XXC –словоуалфавіті B .– – –словоуалфавіті C . | L || –словоуалфавіті D .

12

Дискретну інформацію необхідно у певний спосіб відображати, передавати, зберігати за допомогою технічних пристроїв. Для цього застосовуютькодування.

Код – це універсальний спосіб відображення дискретної інформації під час її зберігання, передавання та опрацювання у вигляді системи відповідностей між елементами повідомлень та сигналами, за допомогою якихціелементиможназафіксувати.

Длякодуванняпотрібноматиалфавітзпевноюкількістю якіснихознак (символів)таправила формуваннякодів.Якіснимиознакамиалфавітуможуть бутидовільні, однозначнорізнібукви, знаки, символи різнихмов.

Результаткодування –комбінаціясимволів, щоназиваєтьсякодовим словом, уякомуn – кількість символів укодовомуслові.

Кодування часто зводиться до однозначного перетворення якісних ознак одного алфавіту в інший. У такому разі код є правилом, законом чи алгоритмом такого перетворення.

Нехайдискретна інформаціязакодованапервиннималфавітом,щомає m1 якіснихознак.Нехайпотрібносимволипервинногоалфавітуперетворити всимволи вторинногоалфавіту,щомає m2 якісних ознак m1 m2 . Тоді

для рівномірного (такого, що всі кодові слова мають однакову кількість символів,тобтооднаковудовжину),ненадлишковогокодуванняміжкількістю ознакалфавітівіснуєтакеспіввідношення:

m1 m2n .

Це співвідношення є законом кодування – перетворення символів одногоалфавітувінший.Утакомуразікодєповним набором всіхможливих комбінаційсимволів вторинногоалфавіту.

Уразінадлишковогокодуваннятакеспіввідношення маєвигляд:

m1 m2n .

Під час обміну даними між комп’ютером і зовнішніми пристроями виникає необхідність у обміні знаковими та літерними символами. Цим символамукомп’ютерітакожставитьсяувідповідністьдеякийкодудвійковій системі числення. Для подання цифр і літер у двійковій системі сьогодні найпоширеніший код ASCII (American Standard Code for Information Interchange – американський стандартний код обміну інформацією). Для

13

поданнябудь-якогосимволууцьомукодінадається8двійковихрозрядів(біт) або1байт.Якбудепоказанодалі,8бітдаютьзмогузакодувати 256символів, що достатньо для кодування керуючих символів, цифр, знаків пунктуації,

літер латинського алфавіту, символів псевдографіки, деяких спеціальних символів(наприклад,позначеньгрошовиходиниць)та символівнаціональних алфавітів–очевидно,відміннихурізнихкраїнах.Тобтоіснуєвеликакількість кодовихтаблиць, яківідрізняютьсякодуванням національногоалфавіту.

ПорядзкодомASCIIуобчислювальнихсистемах, передовсімумережі Інтернет,застосовуєтьсяспільнийдлявсіхкраїнуніверсальнийкод–Unicode.

Цей код побудований на двох байтах машинного слова. Шістнадцять бітів вистачає для зображення 65 535 знаків. Такої кількості достатньодля всіх відомихих алфавітів, тобто алфавіти більшості країн світу містяться у основному стандарті цього коду.

Контрольні запитання та завдання

1.Наведітьвизначення поняттюінформація.

2.Дайтевизначення поняттюповідомлення.

3.Наведітьвизначення поняттюсигнал.

4.Дайтевизначення поняттюдані.

5.Охарактеризуйтепоняттянеперервнийсигнал.

6.Охарактеризуйте поняттядискретнийсигнал.

7.Пояснітьзначенняпоняттяалфавіт.

8.Висвітлітьзначенняпоняттяслово.

9.Пояснітьзначення поняттякод.

10.Охарактеризуйте поняттяцифроваінформація.

11.Дайтеприкладикодуванняінформації.

14

РОЗДІЛ 2

СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ

2.1. Загальні поняття про системи числення

Проектуючи цифрові комп’ютери, значну увагу приділяють вибору системичислення, яка повинназабезпечуватиможливістьдостатньопросто втілювати розроблену архітектуру комп’ютера у конкретній фізичній елементній базі. Від виборуоснови системи числення залежить швидкість виконаннямашиннихоперацій.

Система числення – це сукупність прийомів та правил для зображення чисел за допомогою цифрових символів (цифр), що мають визначенікількіснізначення(числовийеквівалент).

Урізніісторичіперіодиіурізнихмісцевостяхлюдствозастосовувало різні системи числення для своїх потреб. Відоме застосування систем численняз основами 5,20, 60такратнихдо60(наприклад,12)таін.

У IX сторіччі у Багдаді видатний середньоазійський математик Мухаммед аль-Хорезмі, склав збірник задач для купців та правознавців (нотаріусів), які стежили за виконанням заповітів тощо. Його твір мав назву “Кітаб ал-джебр ал-мукабала”. У цій книзі він, посилаючись на досягнення індійських математиків, вже використовує звичні тепер десятковусистемучисленняі“арабські”(щвидще, “індійські”)позначення цифр. Від імені автора книги походить слово “алгоритм”, а від назви книги – слово “алгебра”.

Загалом,удовільнійсистемічисленнязаписчисланазиваєтьсякодом

і вскороченомувигляді може бутивідображений так:

A an an 1...a2a1a0

Окремупозиціюзаписучисла називаютьрозрядом,аномерпозиції– номером розряду. Кількістьрозрядівзаписучисла називаєтьсярозрядністю числа.

15

Якщо алфавіт має d різних значень, то розряд ai в запису числа розглядаєтьсяяк d -ацифра, якаможематиодне з d значень.Кожнійцифрі ai однозначно відповідає її числовий еквівалент K ai , а числовий еквівалентцілого числа A –це деяка функціячислових еквівалентівцифр всіхрозрядів.

Діапазонзапису D чиселв системічислення–це інтервалчислової осі між максимальним та мінімальним числом, щоможе бути записаним у ційрозряднійсітці.

Система числення, яка придатна для практичного застосування,

повинна забезпечувати:

а)можливістьзаписудовільногочислаузаданомудіапазонічисел; б) однозначність запису;

в)кратністьта простотузаписучисел; г)простотуосвоєннята зручністьвикористання.

Залежно від способів зображення чисел цифрами та способу визначеннячисловогоеквівалентусистемичисленняподіляютьна двігрупи:

непозиційні і позиційні.

Непозиційна система числення – це така система, в якій значення символу (значення числового еквіваленту) не залежить від його позиції (розряду)взаписі числа, азалежитьлишевідсамогочисла.

Прикладом такої системиє римська система числення, уякій цифри позначаютьсябуквамилатинськогоалфавіту:

I 1; V 5 ; X 10 ; L 50 ;

C 100 ; D 500 ; M 1000 .

Число XXX (тридцятьудесятковійсистемі) міститьувсіхрозрядах один і той самий символ X, що має числовий еквівалент 10 одиниць у десятковійсистемічисленнянезалежновідйогопозиціїузаписуцьогочисла.

Кажуть, щоцифра незмінюєсвоювагузалежновідпозиції.

Длязаписупроміжнихзначеньзастосовуєтьсяправило: кожнеменше значеннясимволу,поставленеправоручвідбільшого, додаєтьсядобільшого значення, апоставлене ліворучвідбільшого–віднімаєтьсявіднього.

Наприклад,IX-9;XI-11;MCMXCVIII-1998.

Позиційна система числення – це така система, в якій значення символу(числовийеквівалент) залежитьвідйогомісця взаписічисла.

Будь-якапозиційнасистема численняхарактеризуєтьсяосновою.

16

Основаабобазисd натуральноїпозиційноїсистемичислення– це впорядкована послідовність скінченого набору знаків або символів, які використовуються для зображення числа у цій системі, у якій значення кожногосимволузалежить відйогопозиції(розряду)узображеннічисла.

Якщо за основу можна прийняти будь-яке число (крім одиниці), то можна створитинескінченнумножинупозиційнихсистем числення.

Позиційні системи числення поділяють на дві групи: змішані та

однорідні.

Змішана позиційна система числення – це така система, в якій кількістьдопустимихцифрдлярізнихрозрядів(позицій)різна.Вагакожного розряду визначається як добуток ваги попереднього розрядуна вагуцього розряду.

an pn pn 1...p0 an 1 pn 1...p0 ... a0 p0

Прикладом змішаної системиє система вимірювання часу.

Якщоприйняти, що d0 1c ; d1 60c ; d2 60хв; d3 24год.,тов ційсистемізапис часу 10діб 11годин 35хв 50с всекундахматимевигляд:

10 24 60 60 1 11 60 60 1 35 60 1 50 1 .

Однорідна позиційна система численняце така позиційна система числення, в якійєодна основа d , а вага i -горозрядудорівнює pi .

Вага розрядуpi числаупозиційнійсистемічислення–цевідношення

Pi d i d 0 d i

де i – номер розряду справа наліво, а d 0 це перший розряд ліворуч від коми ійогономердорівнює 0, а значеннядорівнює 1.

Ціле число у однорідній позиційній системі числення у загальному випадкузаписується якполіном утакомувигляді:

an pn an 1pn 1 a1p1 a0 p0,

а дробове:

a 1 p 1 a 2 p 2 a m p m .

17

На практиці числа в однорідних позиційних системах числення записують у скороченому вигляді

an an 1 a1a0 p

Якщо у записі використовується тільки одна система числення, то індекс основисистеми d якправило, опускають.

Прикладом такої системи є десяткова система числення. Основу десятковоїсистемистановлятьсимволи0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Так, удесятковій системи числення у числі 444 перша цифра праворуч означає кількість одиниць, другацифра –кількістьдесятків, третя цифра–останняліворуч – означаєкількість сотень. Цифра 4устаршомурозрядіцьогочисла маєвагу, у100 разівбільшу, ніжумолодшомурозряді.

Розглянемо докладніше спосіб запису чисел у десятковій системі числення. Будь-яке число у цій системі записують десятьма різними цифрами – від 0 до 9. Отже, основа системи дорівнює 10. Кожна позиція оцінюєтьсязначеннямабовагою(одиниці,десятки, сотнітощо). Присвоєння значеннякожнійпозиції, наприклад,десятковогочисла6394можна наочно записатитак:

Відповідно, це числоможназаписатиурозгорнутомувигляді:

6394 6 103 3 102 9 101 4 100 .

Якщодесятковечисломаєдробовучастину, тоїївідокремлюють від цілої частини комою або крапкою. Розгорнута форма запису дробової частиничисла будемати,наприклад,длячисла0,367, такийвигляд:

0,367 3 10 1 6 10 2 7 10 3 .

18

Такі формати запису (розгорнутий та скорочений) використовують для зображення чисел убудь-якій системі числення. Отже, кожне числоу

позиційнійсистемічислення зосновоюd можебути записанеувигляді дискретноїсумистепенівосновисистемизвідповіднимикоефіцієнтами:

i n, n 1, n 2,...,1,0, 1,..., m 1, m – номер розряду цілої ( n ) або дробової ( m )частиничисла.

У сучасних комп’ютерних системах найчастіше застосовують позиційні системи числення. В універсальних цифрових комп’ютерах використовують тільки позиційні системи числення, у спеціалізованих комп’ютерахтакісистемичислення(зокремаінепозиційні),якідаютьзмогу значно спростити апаратуру процесора, зображення чисел і операції над ними для обчисленнявузькогокласузадач.

Досі ми розглядали позиційні системи числення, у яких всі числа алфавітубулидодатними. Очевидно,щозагаломчисла алфавітуможутьбути як додатними, так і від’ємними. Для позначення знака числа необхідний додатковийрозряд (аборозряди),якийдля додатнихівід’ємнихчиселможе приймати одне з двох значень. Тоді будь-яке раціональне число А можна записатиузагальномувигляді:

m

Ad z ai d i ; i 1

де z – розрядзнака числа(звичайноприймають z 0 для A 0 і z 1 для A 0 ).

Існуютьспеціальнісистемичислення,вякихпростовиконуютьсядеякі арифметичніоперації,атакожопераціївведення-виведенняданих.Прикладом спеціальноїсистемиможе бутитрійковасистема числення з символами+1, 0,-1(або 1 ).

19