Lektsija_1-12_algebra
.pdf
Ëåêöiÿ 1. Матрицi та дi¨ над ними
Матрицею назива¹ться сукупнiсть чисел, якi впорядковано розмiщенi по рядках i
стовпцях у виглядi прямокутно¨ таблицi.
Матрицi прийнято позначати великими лiтерами латинського алфавiту, а ¨х елементи вiдповiдними маленькими з iндексами, що вказують на мiсце знаходження: aij елемент, що знаходиться в i-тому рядку j-тому стовпцi матрицi A. Кiлькiсть рядкiв i стовцiв визначають розмiри матрицi.
Матрицю розмiру m × n можна записати у виглядi
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
|
|
|
|
|
A = |
àáî A = (aij) , i = 1, m, j = 1, n. |
||||||||||
|
|
|
... ... |
|
|
|
|
|
|
||
|
a... |
a... |
|
|
|
|
|
|
|||
|
... |
a |
mn |
|
|
|
|
|
|||
|
m1 |
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Двi матрицi однакового розмiру називаються рiвними, якщо рiвнi елементи, що стоять на вiдповiдних мiсцях, тобто
A = B aij = bij i = 1, m, j = 1, n.
Матриця, всi елементи яко¨ рiвнi нулевi назива¹ться нульовою матрицею i позна- ча¹ться O.
Матриця, у яко¨ кiлькiсть рядкiв дорiвню¹ кiлькостi стовпцiв назива¹ться квадратною матрицею. У квадратнiй матрицi
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
A = |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
|
|
... |
|
|
|
a... |
a... |
a... |
|
|
|
... |
||||
|
n1 |
n2 |
|
nn |
|
елементи a11, a22, ... , ann називаються елементами головно¨ дiагоналi.
Квадратна матриця, у яко¨ всi елементи крiм елементiв головно¨ дiагоналi дорiвнюють нулевi, назива¹ться дiагональною матрицею.
Дiагональна матриця, у яко¨ всi елементи головно¨ дiагоналi дорiвнюють одиницi, назива¹ться одиничною матрицею. Одиничнi матрицi прийнято позначати I àáî E.
Квадратна матриця, у яко¨ всi елементи, якi знаходяться нижче головно¨ дiагоналi, рiвнi нулевi назива¹ться верхньотрикутною .
Квадратна матриця, у яко¨ всi елементи, якi знаходяться вище головно¨ дiагоналi, рiвнi нулевi назива¹ться нижньотрикутною .
Дi¨ над матрицями
1. Транспонування. |
Нехай матриця |
A |
ì๠ðîçìiðè |
m × |
n |
. Матриця |
A |
T назива¹ться |
||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
транспонованою äî A, ÿêùî aij = aji äëÿ âñiõ i = 1, n, |
j = 1, m. |
−1 ). |
|
|
||||||||
Приклад 1.1. Знайти транспоновану матрицю до A = ( 0 |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10
Матриця, яка |
|
|
|
|
|
Ìà¹ìî AT = |
|
2 |
1 |
|
. |
|
|
3 |
−1 |
|
|
дорiвню¹ транспонованiй до себе (не змiню¹ться при транспонуванi), назива¹ться симетричною. Наприклад, одинична матриця ¹ симетричною, бо IT = I.
Симетричними можуть бути лише квадратнi матрицi.
1
2. Множення на число. Добутком матрицi A на число α назива¹ться матриця
αA, елементи яко¨ отримуються з вiдповiдних елементiв матрицi A домноженням на число
α.
ßêùî α = −1, òî (−1)A = −A назива¹ться протилежною äî A.
3. Додавання. Якщо матрицi A i B однакового розмiру, то сумою матриць A + B назива¹ться матриця, елементами яко¨ ¹ суми вiдповiдних елементiв матриць A òà B, тобто
матрицi додаються поелементно. |
|
|
|
|
( −1 |
0 |
) |
|
|
( |
2 |
3 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Приклад 1.2. Знайти 3A + 2B, ÿêùî |
A = |
1 |
2 |
|
, B = |
|
0 |
−1 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
( −1 |
0 |
) |
( |
2 |
|
3 |
) |
|
|
|
( |
|
3A + 2B = 3 |
1 2 |
|
+ 2 |
0 |
−1 |
= |
|
) |
||||||
−3 |
0 |
) ( |
4 |
6 |
) ( −3 + 4 0 + 6 |
) ( |
1 |
6 |
||||||||
= |
3 |
6 |
+ |
0 |
−2 |
= |
3 + 0 6 − 2 |
|
= |
3 |
4 |
. |
||||
4.Вiднiмання. Якщо матрицi A i B однакового розмiру, то рiзницею назива¹ться матриця A − B = A + (−B), тобто матрицi вiднiмаються поелементно.
5.Множення матриць. Добуток A · B матриць A i B визначений лише за умови,
що кiлькiсть стовпцiв матрицi A дорiвню¹ кiлькостi рядкiв матрицi B.
Добутком матриць A ðîçìiðó m × n òà B ðîçìiðó n × k назива¹ться матриця C ðîçìiðó m × k, елементи яко¨ знаходяться за правилом
cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj, i = 1, m, j = 1, k.
Якщо визначити добуток рядка на стовпець наступним чином:
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
b |
n |
|
|
|
( a1 |
a2 |
... an) |
|
|
|
= a1b1 + a2b2 + ... + anbn, |
|
b2 |
|
||||||
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
òî cij ¹ добутком i-го рядка матрицi A òàj-го стовпця матрицi B. |
|
|
||||||||||
Приклад 1.3. Знайти добуток матриць A = |
3 |
2 |
1 |
i B = |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
· |
( |
0 |
1 |
2 |
) |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B = |
3 2 1 |
|
0 |
1 |
= |
|
|
|
|||
= ( |
0 1 + 1 0 + 2 2 0 2 + 1 |
1 + 2 1 |
|
4 3 |
|
|
|
|||||
3 ·· 1 + 2 ·· |
0 + 1 ·· |
2 3 ·· |
2 + 2 ·· |
1 + 1 ·· 1 ) |
= ( 5 9 ). |
|
|
|||||
2
1 .
1
Якщо матриця A квадратна, то можна визначити A2 = A · A, A3 = A2 · A, . . . .
( )
Приклад 1.4. Знайти A3 äëÿ A = |
1 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
) · ( |
1 |
1 |
) = ( |
1 1 + 1 0 |
1 1 + 1 1 |
) = ( |
1 |
2 |
); |
|||
A2 = ( 0 |
1 |
0 |
1 |
0 ·· |
1 + 1 ·· 0 |
0 ·· |
1 + 1 ·· 1 |
0 |
1 |
|||||
A3 = A2 · A = ( |
1 |
2 |
( |
1 |
1 |
( |
1 1 + 2 0 |
1 1 + 2 1 |
( |
1 |
3 |
|||
0 |
1 ) · |
0 |
1 ) = |
0 ·· |
1 + 1 ·· |
0 |
0 ·· 1 + 1 ·· |
1 ) = |
0 |
1 ). |
||||
2
Для довiльних чисел α, β i матриць A, B, C (за умови визначення вiдповiдних операцiй)
справедливо:( )T
1. AT = A.
2.A + B = B + A.
3.(A + B) + C = A + (B + C).
4.A + O = A.
5.A + (−A) = O.
6.αA + αB = α (A + B) .
7.αA + βA = (α + β) A.
8.A · I = I · A = A.
9.A · O = O · A = O.
10.(A · B) · C = A · (B · C).
11.(A + B) · C = A · C + B · C.
12.A · (B + C) = A · B + A · C.
|
|
Зауваження. У загальному випадку A · B ̸= B · A. |
|
( −1 3 ) |
, B = |
||||||||||||
|
|
Приклад 1.4. Знайти добутки A · B i B · A для матриць A = |
|||||||||||||||
( |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A · B = ( |
1 |
2 |
( |
3 |
1 |
1 3 + 2 2 |
1 1 + 2 4 |
7 |
9 |
|
|||
|
|
|
|
−1 |
3 ) · |
2 |
4 ) |
= ( −1·· 3 + 3·· 3 −1·· 1 + 3·· 4 ) |
= ( 6 |
11 ), |
|||||||
|
|
B |
· |
A = |
3 |
1 |
) |
1 |
|
2 |
= |
3 1 + 1 (−1) |
3 · 2 + 1 · 3 |
= |
2 9 |
. |
|
|
|
|
|
( 2 |
4 |
· ( −1 |
|
3 |
) ( |
2 ·· 1 + 4 ·· (−1) |
2 · 2 + 4 · 3 |
) ( |
−2 16 ) |
|
|||
Ëåêöiÿ 2. Визначники
Для квадратних матриць вводиться нове поняття визначник (детермiнант) матрицi. Визначник матрицi A познача¹ться
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|||
det A = |
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
... |
... |
|
|
|
... ... |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
... |
a |
|
|
|
|
n1 |
n2 |
nn |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Визначником квадратно¨ матрицi першого порядку назива¹ться елемент, який утворю¹ задану матрицю.
Визначником квадратно¨ матрицi n-го порядку при n ≥ 2 назива¹ться
∑n
(−1)i+jaijMij,
j=1
äå i довiльне натуральне число (i ≤ n), à Mij визначник матрицi (n − 1)-го порядку, яка отримана з A викресленням i-го рядка та j-го стовпця. Mij назива¹ться мiнором елемента aij.
Величина Aij = (−1)i+jMij назива¹ться алгебра¨чним доповненням елемента aij.
Отже, визначник матрицi дорiвню¹ сумi добуткiв елементiв будь-якого рядка на ¨х алгебра¨чнi доповнення, тобто
3
∑j |
|
n |
|
det A = aijAij, |
1 ≤ i ≤ n, n ≥ 2. |
=1 |
|
Ця формула назива¹ться формулою розкладу визначника за елементами i-го рядка.
Для обчислення визначника можна також скористатися формулою розкладу визна- чника за елементами довiльного стовпця
∑i |
|
n |
|
det A = aijAij, |
1 ≤ j ≤ n, n ≥ 2 . |
=1 |
|
Зауваження. Яким би рядком чи стовпцем елементiв матрицi не скористатися, зажди отрима¹мо одну i ту ж величину.
У випадку матрицi другого порядку методом розкладу за першим рядком ма¹мо
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a11(−1)1+1 |a22| − a12(−1)1+2 |a21| = a11a22 − a12a21. |
||||||
|
a21 |
a22 |
= a11A11 |
+ a12A12 |
|||||||||||
Îòæå, визначник |
матрицi другого порядку дорiвню¹ добутку елементiв головно¨ дiа- |
||||||||||||||
гоналi мiнус добуток елементiв бiчно¨ дiагоналi. |
3 |
4 ). |
|||||||||||||
Приклад 2.1. Обчислити визначник матрицi A = ( |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
методом розкладу за першим рядком ма¹мо |
||||
У випадку матрицi третього порядку |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
det A = |
3 |
4 |
= 1 · 4 − 2 · 3 = −2. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
= a11A11 + a12A12 + a13A13 = |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
32 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a22 |
a23 |
|
|
|
a21 |
a23 |
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
= a11(−1)1+1 |
|
a32 |
a33 |
|
+ a12(−1)1+2 |
|
a31 |
a33 |
|
+ a13(−1)1+3 |
|
a31 |
a32 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=a11(a22a33 − a23a32) − a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31) =
=a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31.
При обчисленнi визначникiв третього порядку часто застосовують правило трикутникiв або правило Саррюса:
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
+ |
|
|
||||||
A11 |
A12 |
A13 |
|
A |
A |
A |
A |
|
A |
A |
A |
A |
|||||
|
|
|
11 |
12 |
13 |
11 |
12 |
13 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
A21 |
A22 |
A23 |
|
A21 |
A22 |
A23 |
A21 |
A22 |
A23 |
A21 |
A22 |
||||||
|
|
||||||||||||||||
A31 |
A32 |
A33 |
|
A |
A |
A |
A |
A |
A |
A |
A |
||||||
|
|
|
31 |
32 |
33 |
31 |
32 |
33 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 2.2. Обчислити визначник |
|
1 |
−0 |
|
2 |
. |
|
|
3 |
2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
|
Скориста¹мось правилом трикутникiв: |
||||||
|
1 |
3 |
|
1 |
|
= 1 0 ( 1) + ( 3) 2 3 + 1 2 1 1 0 3 ( 3) 1 ( 1) 2 2 1 = 16. |
|||
1 |
−0 |
|
2 |
||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
· · − |
− · · |
· · − · · − − · · − − · · − |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Властивостi |
визначникiв |
|
|||||
1. При транспонуваннi матрицi ¨¨ визначник не змiню¹ться, тобто det AT = det A.
2.При перестановцi двох рядкiв (стовпцiв) мiсцями визначник матрицi зберiга¹ сво¹ абсолютне значення, але змiню¹ знак на протилежний.
3.Визначник матрицi, яка ма¹ два однаковi рядки (стовпцi) дорiвню¹ нулевi.
4.Спiльний множник елементiв рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.
5.Визначник матрицi, яка ма¹ два пропорцiйнi рядки (стовпцi) дорiвню¹ нулевi.
6.Якщо всi елементи деякого рядка (стовпця) дорiвнюють нулевi, то визначник цi¹¨ матрицi нуль.
7.Якщо до елементiв деякого рядка (стовпця) додати елементи iншого рядка (стовпця) помноженого на деяке число, то визначник матрицi не змiниться.
8.Сума добуткiв елементiв рядка (стовпця) та алгебра¨чних доповнень елементiв iншого рядка (стовпця) матрицi дорiвню¹ нулевi, тобто
∑ |
|
̸ |
n |
det A, |
k = i, |
j=1 aijAkj = { |
0, |
k = i. |
9.Визначник добутку двох квадратних матриць дорiвню¹ добутку визначникiв цих матриць.
10.Визначники дiагонально¨ матрицi, а також верхньотрикутно¨ та нижньотрикутно¨ дорiвнюють добутковi дiагональних елементiв.
11.Визначник одинично¨ матрицi дорiвню¹ одиницi.
Зауваження. Iз властивостi 7 виплива¹, що при обчисленнi визначника можна споча- тку перетворити в нулi всi елементи деякого рядка (стовпця), крiм одного, а тодi розкласти
за цим рядком (стовпцем). |
|
2 |
−1 |
0 |
2 |
. |
Приклад 2.3. Обчислити визначник |
||||||
|
|
2 |
3 |
1 |
0 |
|
|
|
−1 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
5 |
−3 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перетворимо в нулi всi елементи першого рядка, крiм третього. Для цього додамо до
першого стовпця третiй, помножений на -2, а до другого третiй, помножений на 3. Пiсля цього розкри¹мо визначник за першим рядком.
|
−1 |
1 |
2 |
4 |
|
|
−5 |
5 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
0 |
2 |
= |
|
2 |
1 |
0 |
2 |
= 0 + 0 + 1 |
· |
( 1)1+3 |
|
−5 |
5 |
4 |
|
+ 0 = |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
−5 |
3 |
|
|||
|
5 |
4 |
−3 |
3 |
|
|
|
|
1 |
−5 |
−3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 30 − 4 + 50 − 10 |
− 15 + 40 = 91. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ëåêöiÿ 3. Обернена матриця. Ранг матрицi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Матриця A−1 |
назива¹ться оберненою до A, ÿêùî A · A−1 = A−1 · A = I. |
|
||||||||||||||||||||||
5
Зауваження. Оберненi iснують тiльки для квадратних матриць, але не для всiх. Матриця, визначник яко¨ рiвний нулевi назива¹ться виродженою (особливою), â
iншому випадку невиродженою (неособливою).
Теорема 3.1. Для того, щоб матриця A мала обернену необхiдно i досить, щоб вона
була невиродженою.
Доведення. Якщо iсну¹ обернена до A, то за властивiстю визначникiв ма¹мо
det (A · A−1) = det I |
det A · det A−1 = 1 |
1 |
|
|
det A = |
|
̸= 0, |
||
det A−1 |
||||
тобто, матриця ¹ невиродженою.
Якщо ж матриця ¹ невиродженою , тобто det A ≠ 0, то розглянемо матрицю, складену з алгебра¨чних доповнень до елементiв матрицi A:
|
|
|
|
|
|
A = |
A11 |
|
A12 ... A1n |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
A21 |
|
A22 |
... |
A2n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
A |
n1 |
|
A... |
... |
A |
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Òîäi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a11 |
a!2 ... |
a1n |
|
|
A11 |
A21 ... An1 |
|
|
|||||||||||
A |
· |
(A )T |
= |
a21 |
a22 ... |
a2n |
A12 |
A22 |
... |
An2 |
= |
|||||||||||||
|
|
|
a |
|
a ... |
a |
|
|
· A |
|
A |
|
... |
A |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
... ... ... ... |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n1 |
n2 |
|
|
|
|
nn |
|
1n |
|
2n |
|
|
|
nn |
|
||||
|
|
|
= |
det A |
|
0 |
|
|
... |
|
0 |
= det A |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
det A |
|
... |
|
0 |
|
I |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
00 ... det A
Аналогiчно доводиться, що (A )T · A = det A · I. Подiлимо обидвi рiвностi на det A матимемо
|
|
|
|
|
1 |
(A )T = |
|
|
1 |
|
|
(A )T · A = I. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
A · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
det A |
|
det A |
|
|
|
|
|
|||||||||
Отже, ми вiдшукали обернену матрицю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A−1 = |
|
1 |
|
(A )T . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
det A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Властивостi: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. (A−1)−1 = A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. (AB)−1 = B−1A−1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
AT −1 = (A−1)T . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
((λA))−1 = λ1 A−1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−1 |
. |
|
|
|||
Приклад 3.1. Знайти обернену до матрицi A = −2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
det A = 1 − 1 − 2 + 1 − 2 + 1 = −2; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
− |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
2 |
− |
|
||||||||||
|
A11 = |
1 |
|
= −2; A12 = − |
= −3; A13 = |
|
1 |
|
= −1; |
||||||||||||
|
−1 |
−1 |
1 |
−1 |
1 |
−1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
A21 = − |
|
|
1 1 |
|
= −2; A22 = |
−1 1 |
|
|
= −2; A23 = − |
|
−1 1 |
|
= 0; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A31 = |
|
|
|
|
1 1 |
|
= 0; A32 |
= − |
|
−2 1 |
= 1; A33 = |
|
−2 1 |
|
= −1. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Îòæå, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
1 |
|
T |
|
|
|
|
|
−2 −2 |
0 |
= |
|
1 1 |
|
|
|
0 |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
A−1 = |
|
|
|
−2 |
|
−2 |
−0 |
|
= |
|
|
|
−3 −2 |
1 |
1, 5 1 0, 5 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
−0 |
|
−1 −1 |
|
|
|
− |
|
−1 |
|
0 −1 |
|
0, 5 0 |
|
−0, 5 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Зробимо перевiрку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
0 |
= |
1 |
|
0 |
0 |
= I. |
|
|
||||||||||
|
|
|
A |
· |
A−1 |
= |
−2 −1 −1 |
1, 5 1 0, 5 |
0 1 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −1 |
1 |
· |
0, 5 0 |
−0, 5 |
|
0 |
|
0 1 |
|
|
−1 ) |
|
|||||||||||||||
|
|
Приклад 3.2. Розв'язати матричне рiвняння AX = B, ÿêùî A = |
( |
0 |
, B = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домноживши обидвi частини рiвняння на A−1 злiва отриму¹мо
A−1AX = A−1B.
Îñêiëüêè A−1A = I, òî ìà¹ìî
X = A−1B.
Знайдемо A−1:
|
−1 ( −2 |
1 ) |
T |
( |
0 |
−1 ) |
|
A−1 = |
1 |
−1 |
0 |
|
= |
1 |
2 . |
|
|
|
|
||||
Îòæå,
X = ( |
1 |
2 |
( |
1 |
2 |
( |
3 |
2 |
0 |
−1 ) · |
1 |
−0 ) = |
−1 |
−0 ). |
Якщо в матрицi Am×n вибрати довiльно k ðÿäêiâ i k стовпцiв (k ≤ min(m, n)), то елементи, якi знаходяться на ¨х перетинi утворюють квадратну матрицю k-го порядку.
Визначник утворено¨ матрицi назива¹ться |
мiнором k-го порядку матрицi A. |
||||||||||||||
Наприклад, для матрицi A = |
1 |
3 |
1 |
0 |
ìà¹ìî: |
|
3 |
1 |
|
||||||
0 |
0 |
−1 |
2 |
0 |
−1 |
- îäèí ç ìiíîðiâ 2-ãî |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
порядку; |
0 |
0 |
−1 |
- один з мiнорiв 3-го порядку. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
Деякi з мiнорiв можуть дорiвнювати нулевi, iншi бути вiдмiнними вiд нуля. |
k∑ |
Матриця розмiру m×n ì๠Cmk ·Cnk ìiíîðiâ k-го порядку, а всiх мiнорiв ¹ |
min(m,n) |
Cmk ·Cnk. |
|
|
=1 |
Найбiльший з порядкiв мiнорiв, вiдмiнних вiд нуля назива¹ться рангом матрицi .
Ранг матрицi A познача¹ться rangA. Очевидно, що
0 ≤ rangA ≤ min(m, n).
ßêùî rangA = k, то це означа¹, що матриця A ма¹ принаймi один мiнор k-го порядку вiдмiнний вiд нуля, а всi мiнори порядку бiльше нiж k ðiâíi íóëþ.
Якщо в матрицi у кожному наступному рядку перший вiдмiнний вiд нуля елемент знаходиться правiше нiж у попередньому, матриця назива¹ться схiдчастою. Для схiдчасто¨ матрицi ранг рiвний кiлькостi ненульових рядкiв.
Елементарними перетвореннями матрицi називаються такi перетворення:
1)перестановка двох рядкiв (стовпцiв) мiсцями;
2)домноження елементiв деякого рядка (стовпця) на вiдмiнне вiд нуля число;
3)додавання до елементiв деякого рядка (стовпця) елементiв iншого рядка (стовпця), домножених на число.
Двi матрицi, отриманi одна з одно¨ за допомогою елементарних перетворень, називаються еквiвалентними. З властивостей визначникiв виплива¹, що ранги еквiвалентних матриць рiвнi, тобто
A B rang A = rang B.
Кожну матрицю за допомогою скiнченно¨ кiлькостi елементарних перетворень над ряд- |
|||||||
ками можна звести до схiдчасто¨. |
|
2 |
−2 |
3 |
2 |
. |
|
Приклад 3.3. Знайти ранг матрицi A = |
|||||||
|
|
1 |
−1 |
2 |
1 |
|
|
З допомогою елементарних перетворень |
|
− |
|
|
|
||
|
1 |
|
1 |
5 |
3 |
|
|
|
|
−4 |
|
4 |
−6 |
−4 |
|
|
над рядками зведемо матрицю до схiдчасто- |
||||||
го вигляду
|
|
|
1 |
−1 |
2 |
1 |
|
1 |
−1 |
2 |
1 |
|
1 |
−1 |
2 |
1 |
. |
|
||||||
|
|
2 |
−2 |
3 |
2 |
0 |
0 |
−1 |
0 |
0 |
0 |
−1 |
0 |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
5 |
3 |
|
|
0 |
0 |
3 |
2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|||
|
|
−4 |
|
4 |
−6 |
−4 |
0 |
0 |
−8 |
−0 |
0 |
0 |
0 |
−0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Îòæå, rang A = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ëåêöiÿ 4. Системи лiнiйних алгебра¨чних рiвнянь |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Система рiвнянь вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íåâiäîìi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
äå |
aij, bi |
дiйснi числа, |
(i = 1, m, j = 1, n) |
, назива¹ться системою |
m |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
лiнiйних алгебра¨чних рiвнянь (ÑËÀÐ) ç n невiдомими.
Сукупнiсть чисел c1, c2, ..., cn, пiдстановка яких в систему замiсть невiдомих x1, x2, ..., xn перетворю¹ всi рiвняння системи в тотожностi назива¹ться
8
Якщо система ма¹ хоча б один розв'зок, вона назива¹ться ñóìiñíîþ. Система, яка
нема¹ розв'язку назива¹ться несумiсною. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Нехай |
A = |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
|
основна матриця СЛАР, |
|||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
− |
|
|
||||
|
|
a |
a |
|
... a |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A˜ = |
|
n1 |
|
n2 |
|
|
nn |
|
|
|
||||
a21 |
a22 ... |
a2n |
|
b2 |
|
|
|
|
розширена матриця СЛАР. |
|||||
|
a11 |
a12 ... |
a1n |
|
b1 |
|
|
− |
|
|||||
|
a... |
a ... |
a |
|
b |
|
|
|
||||||
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
m1 |
m2 |
|
|
mn |
|
|
m |
|
|
|
|||
Теорема (Кронекера-Капеллi) 4.1. Для того, щоб СЛАР була сумiсною, необхiдно i досить, щоб ранг розширено¨ матрицi дорiвнював рангу основно¨ матрицi СЛАР, тобто
˜
rang A = rang A.
Сумiсна СЛАР може мати один розв'язок, або безлiч. Система, що ма¹ безлiч розв'язкiв назива¹ться невизначеною, а кожен ¨¨ ров'язок частковим. Множина всiх часткових розв'язкiв назива¹ться СЛАР.
˜
Теорема. Нехай СЛАР з n невiдомими сумiсна i rang A = rang A = r. Òîäi:
1)ÿêùî r = n, то система ма¹ ¹диний розв'язок;
2)ÿêùî r < n, то система ма¹ безлiч розв'язкiв.
ßêùî rang A = r, то в матрицi A завжди можна знайти мiнор порядку r, ÿêèé âiäìií-
ний вiд нуля. Такий мiнор будемо називати базовим мiнором , а невiдомi, що вiдповiдають стовпцям, якi входять в базовий мiнор, базовими невiдомими ; решта невiдомих вiль-
íèìè. Отже, базових невiдомих ¹ r, а вiльних n − r.
Для розв'язування СЛАР можна скористатись алгоритмом Гаусса :
1)випису¹мо розширену матрицю СЛАР;
2)з допомогою елементарних перетворень над рядками матрицi зводимо ¨¨ до схiдча- стого вигляду;
3)знаходимо ранги основно¨ i розширено¨ матриць та з'ясову¹мо наявнiсть та кiлькiсть розв'язкiв;
4)якщо система сумiсна, то по останнiй матрицi випису¹мо нову систему i знаходимо невiдомi, рухаючись вiд останнього рiвняння до першого;
5)у випадку невизначено¨ системи вибира¹мо базовий мiнор, базовi невiдомi, нада¹мо
вiльним невiдомим довiльних значень i виража¹мо базовi невiдомi через вiльнi. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Приклад 4.1. Дослiдити систему |
4x + 3y + 5z = 16 |
на сумiснiсть, у випадку су- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2y + 2z = 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y − z = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
мiсностi знайти ¨¨ розв'зок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y + 3z = 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишемо розширену матрицю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системи i зведемо ¨¨ до схiдчастого вигляду |
|
|
||||||||||||
|
3 |
2 |
2 |
10 |
|
1 |
1 |
3 |
6 |
|
1 |
1 |
3 |
6 |
|
1 |
1 |
3 |
6 |
. |
||||||
4 |
3 |
5 16 |
2 |
1 |
−1 4 |
0 |
−1 −4 −8 |
0 |
−1 −4 |
−8 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 −3 0 |
|
||
|
1 |
1 |
3 6 |
|
|
3 |
2 |
2 10 |
|
|
0 |
1 |
7 |
8 |
|
|
0 |
|
||||||||
|
2 |
1 |
1 4 |
4 |
3 |
5 16 |
0 |
−1 |
−7 |
−8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||||||||
Оскiльки, ранг основно¨ матрицi рiвний рангу розширено¨ матрицi i дорiвню¹ кiлькостi невiдомих, то система ма¹ ¹диний розв'язок.
9
x + y + 3z = 6
−y − 4z = −8
−3z = 0.
З третього рiвняння ма¹мо z = 0, тодi з другого отрима¹мо y = 8, а з першого x = −2. Отже, розв'язком системи ¹ (−2; 8; 0).
СЛАР можна розглядати, як матричне рiвняння A · X = B, äå A основна матриця
|
|
|
b1 |
стовпець вiльних членiв, X = |
|
|
x1 |
|
íåâiäîìà. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
системи, B = |
b2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
квадратна |
|
||||
ßêùî |
кiлькiсть рiвнянь системи рiвна кiлькостi невiдомих, то матриця |
i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ïðè óìîâi det A = 0 система ма¹ ¹диний розв'язок. Його можна знайти з рiвностi X = A−1 |
· |
B. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
̸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цей метод розв'язування СЛАР назива¹ться матричним способом. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2y + z = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Приклад 4.2. Знайти розв'язок |
2x |
|
|
y + z = |
3 |
|
матричним способом. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
−3y + z = −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ìà¹ìî |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
− |
|
x |
|
− |
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
A = |
2 −1 1 |
, X = |
y |
, B = |
−3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −3 1 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Îñêiëüêè, det A = −1 + 2 − 6 + 1 − 4 + 3 = −5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
5 |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
A−1 = |
−5 |
−0 |
−5 |
|
|
= |
|
|
−1 |
|
−0 1 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
òî |
|
|
|
|
|
|
− |
|
3 |
1 |
−5 |
|
|
|
− |
|
−5 |
|
|
5 −5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y |
= |
|
−1 |
|
−0 1 |
|
−3 |
|
|
= |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
− |
|
−5 |
|
5 −5 |
· |
−8 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Отже, розв'язком системи ¹ (1; 2; −3) .
Ðiâíiñòü X = A−1 · B можна записати детальнiше, а саме:
|
x1 |
|
|
|
|
A11 |
||
x2 |
|
= |
1 |
|
A12 |
|||
|
|
1n |
||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
... |
||
x |
|
|
|
det A A |
|
|||
A21 |
... |
An1 |
|
b1 |
. |
|||
A22 |
... |
An2 |
b2 |
|||||
... ... ... |
|
... |
|
|||||
A |
2n |
... |
A |
nn |
b |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Òîäi |
∑i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
xj = |
|
biAij |
(j = 1, n). |
||
det A |
|||||
|
|
=1 |
|
|
|
Якщо позначити ∆ = det A, à ∆j визначники матриць, утворених з матрицi A çàìiíîþ j-го стовпця на стовпець елементiв bi, то отрима¹мо формули Крамера:
|
∆j |
|
|
|
|
xj = |
(j = 1, n). |
||||
∆ |
|||||
|
|
|
|
||
x + 2y + z = 2
Приклад 4.3. Знайти розв'язок 2x − y + z = −3 за формулами Крамера. x − 3y + z = −8
10