7.3. Методи інтегрування.

1. Інтегрування розкладанням.

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matra.rozpaxyhk.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

761.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

то ò f (u)du = F (u) + C , де u = j(x) – деяка неперервно-диференційовна

функція.

Отже, інтегрувати можна не тільки за незалежною змінною, а й за функцією.

7.2. Таблиця основних інтегралів.

Нехай u = u(x) - довільна функція, що має на деякому проміжку неперервну похідну, тоді на цьому проміжку мають місце наступні формули.

1. òua du =

ua +1 + C, a ¹ -1,

a +1

зокрема: а)

б)

в) ò

+ C.

du =ln

+ C .

3¢. òeu du = eu + C .

3. òau du =

+ C,a > 0,a ¹ 1.

ln a

òsin udu = -cosu + C .

òcosudu = sin u + C .

du = tgu + C .

du = -ctgu + C .

cos u

sin

òtg udu = - ln

cos u

+ C .

òctg udu =ln

sin u

+ C .

10. ò

+ C .

= ln

11.

sin u

æp

u ö

+ C .

= ln

tgç

ò cosu

2 ø

12. ò

arctg

+ C .

12¢. ò

=arctg u + C .

+ u

13. ò

a + u

+ C .

13¢. ò

u - a

+ C .

a - u

- a

u + a

- u

14. ò

=arcsin

+ C .

14¢. ò

=arcsin u + C .

- u

1 - u

15. ò

+ C.

=ln

u +

u 2 ± A

u ± A

, k =1, n .

Інтегрування розкладанням – це метод зведення заданого інтеграла до суми більш простих інтегралів, які є в таблиці основних інтегралів.

Приклад. òç6x

÷dx .

25 - x

Розв’язання.

òçè6x

÷dx

= 6ò x

dx - ò

dx + ò

25 - x

- x

2x x

1 ö

æ x ö

æ x

= 6 ×

- ç

+ arcsinç

+ C = x

+ arcsinç

÷ + C .

6 2

x ø

5 ø

è 5

Приклад. òtg 2 xdx .

Розв’язання.

òtg

xdx =

1 + tg

x =

= òç

-1÷dx =

- òdx = tgx - x + C.

cos

è cos

2. Інтегрування безпосередньо.

Метод безпосереднього інтегрування (або інакше його називають «інтег-

руванням внесенням під знак диференціала») побудований за властивістю інваріантності формул інтегрування.

Відзначимо ряд перетворень диференціала, які будуть корисні для подальшого. Треба пам’ятати, що для диференційовної функції j(x) має місце фор-

d (ax),

a ¹ 0 ,

мула j

(x)dx = dj(x) . Тому можна записати: dx = d (x + b) , dx =

dx =

d (ax + b),

a ¹ 0 ,

xn dx =

d (xn+1 ), sin x × dx = -d (cos x) та інші.

n +1

e5 x dx

x5 dx

(ctgx -1)4 dx

Приклади. 1) ò

. 2)

. 3)

-1

sin

e5 x

+ 6

Розв’язання.

5 x

e5 x dx

æ 1

dç

+ 6÷

5 x

dx = ç

6÷ dx = d

+ 6÷

5 x

+ 6

è 5

3 x

-1

= 2

+ C

= 2 ×

e5 x + 6 + C.

x5 dx

d (x6 -1)

dx =

1) dx

d (x

-1)

-1

+ C.

-1

(ctgx -1

)4 dx

dx = -(ctgx)

= -d (ctgx)= -d (ctgx -1)

sin

-ò(ctgx -1)4 d (ctgx -1)= - (ctgx -1)5

+ C.

3. Метод підстановки.

Нехай функція

f (x)

має первісну,

яку ми не можемо знайти. Виконуючи

заміну

змінної

інтегрування

заданий

інтеграл

зводиться до

нового

інтегралу,

який може бути табличним. Можливі два випадки:

1. Зробимо заміну змінної x = j(t) , де j(t) – неперервно-диференційовна

функція, яка має обернену t =y (x) .

Записуємо це так: ò f (x)dx =

x = j(t)

= ò f (j(t))j'(t)dt = òФ(t)dt =

dx = j'(t)dt

= F (t) + C =

t =y (x)

= F (y (x)) + C .

2. При інтегруванні

інколи

доцільніше

вводити

нову

змінну у вигляді

t = u(x) . Тоді ò f (x)dx =

t = u(x)

dt = u'(x)dx

Розглянемо ці два випадки на прикладах.

+ 1

(2ln x + 3)

x -1

Приклади. 1)

dx . 2)

dx . 3) ò x

cosç

- 5

÷dx .

Розв’язання.

x -1

t =

x -

x -1,

підстановка=

x t

+1,

1,t=

t +1

x -1

dx =

=(t

+1) dt=

2tdt=. Це випадок 1,

× 2tdt =

x -1

тому була зроблена підстановка x = f(t )

= 2ò(t + 1 dt) = 2ç

+ t

÷ + C = t

+ 2t + C = x -1

+ 2 x -1 + C.

t = 2ln x + 3, =dt

d (2ln x + 3),=dt

(2ln x + 3)'× dx

2) ò

(2ln x + 3)3

dx = dt

2 ×

dx,

dt. Випадок= 2.

Підстановка t = u (x )

òt 3dt =

t 4 + C =

(2ln x + 3)4 + C .

ö¢

t =

- 5, dt = dç

5÷

= ç

- 5

dx = x

dx,

ò x

cosç

- 5÷dx =

x2 dx = dt

= òcost dt = sin t + C = sinç

÷ + C.

4. Інтегрування частинами.

Якщо підінтегральний вираз у інтегралі має вигляд u(x)× dv(x), то такі інтеграли можна обчислювати за формулою:

òudv = uv -òvdu .

Це є формула інтегрування частинами.

Формула показує, що обчислення інтеграла òudv зводиться до обчислен-

ня інтеграла òvdu , який може бути більш простішим ніж заданий, або навіть

табличним.

Розглянемо основні типи інтегралів, які зручно знаходити методом інтегрування частинами:

1) в інтегралах виду ò P(x)ekx dx, òP(x)sin kxdx, ò P(x) cos kxdx , де P(x) –

многочлен, а k – дійсне число, за u слід взяти множник P(x), а за dv(x) – вираз, що залишився;

2) якщо підінтегральний вираз містить добуток логарифмічної або оберненої тригонометричної функції на многочлен, тобто маємо інтеграли виду

ò P(x) log a xdx, òP(x) arcsin xdx, òP(x) arccos xdx, òP(x)arctgxdx ,

то за u слід брати логарифмічну функцію або обернену тригонометричну функцію, а за dv вираз P(x)dx , де P(x) – многочлен, тобто dv = P(x)dx .

Приклади. 1) ò(2x +1) cos3xdx . 2) òarcsin xdx .

Розв’язання.

ò(2x +1) cos3xdx =

u = 2x + 1;

du = 2dx

dv = cos3xdx;

v = òcos3xdx =

sin 3x

(2x +1)sin 3x -

òsin 3x × 2dx =

(2x +1)sin 3x +

cos3x + C .

u = arcsin x;

du =

2) òarcsin xdx =

1 - x2

dv = dx;

v = òdx = x

= x × arcsin x - ò

xdx

= x × arcsin x +

d (1 - x

)

=x × arcsin x +

+ C .

1 - x2

1 - x

7.4.Інтегрування раціональних алгебраїчних функцій.

1.Відомості про раціональні функції.

Многочленом (поліномом) або цілою раціональною функцією називається функція виду

	P (x) = a	0	x n + a x n-1 + L + a			n
де n	n			1
	– натуральне число,	яке		називається		степенем многочлена;
a0 , a1 ,K, an	– коефіцієнти многочлена; x – незалежна змінна.
Відношення двох многочленів Pn (x)				і Qm (x) називається раціональною
функцією або раціональним дробом:				Pn (x)
					.

Qm (x)

Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь многочлена Pn (x) у чисельнику менша степеня многочленаQm (x) у знаменнику, тобто m > n , в іншому випадку, коли n ³ m , раціональний дріб називається неправильним.

Якщо дріб неправильний, то виконавши ділення многочлена чисельника на многочлен знаменника , можна виділити цілу частину Wk (x) , тоді отримаємо

				P (x)	= Wk	(x) +	R p (x)
				n				,
				Qm (x)				,
				Qm (x)			Qm (x)
	де Wk (x) і Rp (x) - многочлени k -го і					p -го степеня, причому p < m , тобто
	Rp	(x)
дріб			– правильний.
дріб			– правильний.

Qm (x)

2. Інтегрування правильних раціональних дробів, які містять квадратний тричлен в знаменнику.

Обчислимо ò x2 + px + q . Розглянемо випадок , коли квадратний тричлен

x2 + px + q не має дійсних коренів, тобто D = p2

- 4q < 0 .

Заданий

інтеграл

зводяться до табличного

arctg

+ C

виділен-

ò a2 + t 2

p ö

p2 ö

ням повного квадрата

квадратному

тричленіx

+ px + q = ç x +

çq -

2 ø

4 ø

або зробивши заміну змінних x = t -

; dx = dt.

Приклад.

Обчислити інтеграл ò

Розв’язання.

- 2x + 10

- 2

ò x 2

- 2x + 10

x = t -

, x = t -

, x = t + 1, dx = d (t + 1)= (t + 1)¢ dt, dx = dt,

x 2 - 2x + 10 = (t + 1)2 - 2(t + 1)+ 10 = t 2 + 2t + 1 - 2t - 2 + 10 =

= t 2

+ 9

x - 1

= ò

arctg

+ C =

x = t + 1, t = x - 1

arctg

+ C .

Слід зазначити, що способом, наведеним раніше, можна обчислити також

і інтеграл виду ò

+ bx + c

Маємо: ò

, який

+ bx + c

± x

+ px + q

± x

x +

зводиться до табличних інтегралів

=arcsin

+ C або

- t

+ C заміною змінних x ±

= t

або виділенням повного

=ln

t +

t 2

+ A

t 2 + A

квадрату.

Приклад. ò

- 6x +13

Розв’язання.

6 ö

- 6x +13 = ç x -

+13 -

2 ø

ò x2

- 6x +13

= (x - 3)2 + 4

d (x - 3)

(x - 3)

+ 4

= ln

x - 3 + (x - 3)

+ 4

= ln

x - 3 +

- 6x + 13

+ C

(x - 3) + 4

3. Інтегрування елементарних раціональних дробів.

Дроби виду

,(n ³ 2, n Î N ),

Ax + B

(дійсних коренів

x - a

(x - a)n

x2 + px + q

знаменник немає, тобто D = p2 - 4q < 0 ) , де A, B, a, p, q – дійсні числа, називаються елементарними (простими) дробами відповідно І, ІІ та ІІІ типу. Розглянемо інтегрування цих дробів.

1. ò

dx = A × ò

d × (x - a)

= A × ln×

x - a

+ C .

x - a

(x - a)- n+1

2. ò

= Aò(x - a)-n d x( - a)= A ×

+ C .

(x - a)

dx = A × (x - a)1-n

- n + 1

Отже, ò

+ C .

- a)

1 - n

x +

= t, x = t -

, dx = dt, x2 + px + q =

3. ò

Ax + B

p ö

dx =

= çt -

+ pçt -

÷ + q =

+ px + q

2 ø

= t 2 - pt +

p 2

+ pt -

+ q = t 2 + q -

p 2

= t 2 + a2

p ö

Açt

÷ + B

tdt

Ap ö

(t 2

+ a

2 )

2 ø

dt = Aò

+ ç B

÷ò

+ a

B -

arctg

t 2

+ a2

arctg

B -

x +

+ px + q

arctg

+ C .

q -

Зауваження. При інтегруванні правильних раціональних дробів типу ІІІ,

у разі коли знаменник x2

+ px + q має дійсні корені ( D = p2

- 4q > 0 ), підінтег-

ральну функцію розкладають на найпростіші дроби І типу.

3. Інтегрування раціональних дробів Pn (x) , які розкладаються на еле-

Qm (x)

ментарні .

Алгоритм методу інтегрування раціональних дробів:

1)Розкласти дріб на елементарні дроби.

2)Проінтегрувати елементарні дроби.

Нехай n < m , тобто Pn (x) правильний раціональний дріб. Нехай також

Qm (x)

Pn (x) та Qm (x) – многочлени з дійсними коефіцієнтами і, крім того, коефіцієнт Qm (x) при x m дорівнює 1 (якщо він не дорівнює одиниці, то цього можна дося-

гти діленням на коефіцієнт при x m одночасно P (x) та Q

(x)).

Правило 1. (розкладання правильного дробу на елементарні дроби І ти-

пу). Якщо знаменник Qm (x)

правильного дробу

Pn (x)

має дійсні корені

Qm (x)

x1 , x2, ..., xm , то він розкладається на лінійні множники

Qm (x)= (x - x1 )(x - x2 )...(x - xm ), і тоді

Pn (x)

+ ... +

Qm (x)

(x - x1 )(x - x2 )... (x - xm )

x - x1

x - x2

x - xm

де A, B,..., K – сталі коефіцієнти.

Сталі коефіцієнти обчислюються методом невизначених коефіцієн-

тів або за методом завдання

початкових значеньx = x1 , x = x2, ..., x = xm , або

комбінованим методом.

x + 4

Приклад. Виразити дріб

через елементарні дроби.

x 2

+ 5x + 6

Розв’язання. Дріб

x + 4

– правильний. Розкладемо x 2 + 5x + 6 на

x 2 + 5x + 6

множники. Обчислимо дискримінант D : D = 25 - 24 =1, тоді x1 =

- 5 - 1

= -3 ,

- 5 + 1

= -2 , тому x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). Отже дріб запишемо у вигляді

x + 4

x 2 + 5x + 6

(x + 2)(x + 3)

x + 2

x + 3

Щоб знайти коефіцієнти A і B , зведемо праву частину останньої рівності

до спільного знаменника:

x + 4

A(x + 3)+ B(x + 2)

. Відкидаємо в лівій

(x + 2)(x + 3)

і правій частинах цієї рівності спільний знаменник і дістаємо

x + 4 = A(x + 3)+ B(x + 2); x + 4 = (A + B)x + (3A + 2B).

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях x , дістанемо систему

ì1 = A + B,

ìA = 2,

розв’язуючи яку, знаходимо í

î4 = 3A + 2B,

îB = -1.

Тоді заданий дріб виражається через елементарні так:

x + 4

x 2 + 5x + 6 x + 2 x + 3

Правило 2. (розкладання правильного

дробу на елементарні дроби І і ІІ

типу). Якщо знаменник Qm (x)

правильного дробу

Pn (x)

має дійсні корені , се-

Qm (x)

ред яких

кратні, тобто Qm (x)

можна

розкласти

на

множники

вигляду

(x)= (x - x

)a1 (x - x

)a2 ...(x - x

)ak ,

де

+ a

+ ... + a

= m ,

k < m

(k = m для a1

= a2 = ... = a1 =1), тоді

P (x)

(x - x )a1

P (x)

)ak = x

Q (x)

(x - x )a

2 ... x( - x

- x +

(x - x )2 + ... +

(x - x )a1 +

+ ... +

+ x - x2

+ (x - x2 )2

(x - x2 )a2

+ ... + x - xk

+ (x - xk )2 + ...

+ (x - x2 )ak .

Приклад. Виразити дріб

+ 1

через прості дроби.

x2 (x -1)

Розв’язання. Маємо

+ 1

;

x2 (x -1)

x -1

x2 + 1

Ax(x -1)+ B(x -1)+ Cx2

; x2 +1 = Ax(x -1)+ B(x -1)+ Cx2 .

x2 (x -1)

коефіцієнтів A, B і C скористаємось

Для знаходження

невідомих

мето-

дом завдання початкових значень x = 0,

x =1

і одне довільне значення x = -1.

Підставимо значення x в рівність x2 +1 = Ax(x -1)+ B(x -1)+ Cx2 .

Маємо:

x = 0 , 02

+ 1 = A × 0 × (0 - 1)+ B(0 -1)+ C × 0 2

= -B,

B = -1;

x =1, 12 + 1 = A ×1 × (1 -1)+ B(1 -1)+ C ×12 = C, C = 2;

x = -1, (-1)2 + 1 = A × (-1)(-1 -1)+ B(-1 -1)+ C(-1)2 , 2 = 2 A - 2B + C .

Враховуючи,що B = -1, C = 2 знайдемо A = -1.

Отже,

x 2 + 1

= -

x 2 × (x - 1)

x 2

x -1

P (x)

Нехай

треба

знайти

інтегралò

dx , n

³ m .

Цей інтеграл можна

(x)

подати як суму інтеграла від многочлена і правильного раціонального дробу

P (x)

dx = òWk (x)dx + ò

R p

(x)

dx .

Qm (x)

(x)

Інтеграл

від

многочленаWk (x)

знаходять

безпосередньо, а

інтеграл

R p (x)

від

правильного

раціонального

дробу зводиться

до

інтегрування

ò Qm (x)

елементарних дробів.

Приклад.

Знайти інтеграл

dx .

- 5x + 6

Розв’язання. Підінтегральна функція

є правильним раціональ-

x2 - 5x

+ 6

ним дробом. Щоб розкласти його на суму простих дробів, необхідно спочатку

розкласти на множники знаменник:

= 3, x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

x2 - 5x + 6 = 0, x = 2, x

Розклавши правильний дріб на елементарні, маємо

A(x - 3)+ B(x - 2)

(x - 2)(x - 3)

x - 2

x - 3

(x - 2)(x - 3)

2x = A(x - 3)+ B(x - 2).

Якщо x = 2 , то 2 × 2 = A(2 - 3)Þ A = -4 ;

x = 3 , то 2 × 3 = B(3 - 2)Þ B = 6 .

Отже,

B ö

- 4

dx = òç

÷dx =

òç

÷dx =

- 5x + 6

è x - 2 x -

3 ø

è x - 2 x - 3

- 4ò

dx +6ò

dx = - 4ln

x - 2

+ 6ln

x - 3

+ C .

x - 3

Запитання до самоконтролю

1.Що називається первісною даної функції?

2.Означення невизначеного інтеграла.

3.Сформулювати основні властивості невизначеного інтеграла.

4.Написати таблицю інтегралів.

5.Суть інтегрування методом підстановки. Навести приклади.

6.У чому полягає метод інтегрування частинами. Навести приклади.

7.Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен. Навести приклади.

8.Який раціональний дріб називається правильним?

9.Які раціональні дроби називаються елементарними?

10.Записати розклад правильного раціонального дробу на елементарні дроби.

11.Як інтегруються елементарні дроби?

12.В чому полягає метод інтегрування раціонального дробу?

8.Визначений інтеграл [1, c. 365 - 385, 401 - 405], [2, c.140 - 162].

8.1.Означення визначеного інтеграла.

Нехай на відрізку [а,b] задано неперервну функцію y = f (x) ( a < b ). Поділимо відрізок [а,b] на частини точками х0 , х1 , х2 ,..., хn так, щоб виконувались

нерівності

a = х0

< х1

< х2 < ... < хn = b . Точки

поділу

розбивають

відрізок[а,b]

на n малих відрізків [x0 , x1 ][, x1 , x2 ],...,[xn-1 , xn ].

Вибираємо

довільні точки

Î(xi-1 , xi )

( i =

обчислимо в цих точках

1, n

значення

f (

i )

утворимо

суму

добутківf (

i )Dxi , тобто ån

f (

i )Dxi , де

i=1

Dxi

= xi - xi -1 . Суми вигляду ån

f (

)Dxi

називаються інтегральними сумами фу-

i=1

нкції f (x) на відрізку [а,b].

Нехай l = max Dxi , тоді,

якщо існує скінченна границя інтегральних сум

1£i£n

ån

f (

i )Dxi

, яка не залежить ні від способу розбиття відрізка [а,b], ні від вибору

i=1

i при l ® 0 ,

точок

то ця границя називається визначеним інтегралом функції

f (x) на відрізку [а,b] і позначається ò f (x )dx .

f (x )dx = lim ån

f (

)Dxi ,

Отже, ò

l®0 i=1

ò – знак визначеного інтеграла, число a називається нижньою межею інтег-

рування, число b – верхньою межею, f (x)– підінтегральною функцією, f (x)dx – підінтегральним виразом, х – змінною інтегрування, [а,b] – відрізком інтегрування.

Функція, яка має визначений інтеграл на [а,b], називається інтегровною на [а,b].

8.2. Властивості визначеного інтеграла.

Нехай функція y = f (x) інтегровна на відрізку [а,b], тоді справедливо:

1) Визначений інтеграл – стале число, яке залежить від виду функції f (x), величини відрізка [а,b] і не залежить від того, як позначено змінну інтегрування, тобто

b b b

ò f (x )dx = ò f (t )dt = ò f (z )dz .

a a a

2) ò f (x )dx = 0 за означенням інтеграла.

3) При перестановці меж інтегрування інтеграл змінює знак:

	b	a
	ò f (x )dx = - ò f (x )dx .
	a	b
4) Якщо функція	інтегровна	на максимальному з відрізків[а,b],
[а,c], [c,b], то справедлива рівність
b	с	b
ò f (x )dx = ò f (x )dx + ò f (x )dx .
a	a	с

5) Сталий множник k можна винести за знак визначеного інтеграла:

b		b
òk × f (x )dx = k ò f (x )dx .
a		a
6) Визначений інтеграл від алгебраїчної суми інтегровних функцій дорів-
нює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від цих функцій:
b	b	b
ò( f (x )± g x()dx) = ò f (x )dx ±ò g(x )dx .
a	a	a
7) Якщо криволінійна трапеція	обмеженої прямимиy = 0, x = a, x = b і
графіком функції y = f (x)³ 0 , то її площа S		дорівнює визначеному інтегралу

від цієї функції: S = ò f (x )dx .

Геометричний зміст визначеного інтеграла: визначений інтеграл від не-

від’ємної функції чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

8) Фізичний зміст визначеного інтеграла: якщо S – шлях, який пройш-

ла точка за проміжок часу від t = a до t = b зі швидкістю V (t ), то

S = òV (t )dt .

8.3. Формула Ньютона-Лейбніца.

Основною формулою інтегрального числення є формула Ньютона-

	b
Лейбніца, яка має вигляд:	ò f (x )dх = F (x )ba = F (b )- F (a ).

Тут F (x) будь-яка первісна для неперервної на відрізку [а,b] функції f (x). Формула Ньютона-Лейбніца дає зручний метод обчислення визначених

інтегралів, оскільки за її допомогою можна обчислити визначені інтеграли від усіх тих функцій, для яких можна знайти первісні.

Приклад. Обчислити визначений інтеграл:								-1		dx
								ò		dx		.
								ò	(11		3	.
								-2	(11	+ 5x)
-1		dx		1	-1	-3					1		1		-1
															-1

Розв’язання. ò			=		ò(11 + 5x)		d 11(	+ 5x)		= -					=
Розв’язання. ò		3	=		ò(11 + 5x)		d 11(	+ 5x)		= -	10			2	=
-2	(11	+ 5x)		5	-2						10			(11 + 5x)	-2
	(11	+ 5x)		5										(11 + 5x)	-2

æ 1

= -

-1÷

10 èç (11 + 5(-1 )2

(11 + 5(- 2 ))2 ø÷

è 36

8.4. Заміна змінної інтегрування у визначеному інтегралі.

Нехай виконуються умови:

2) функція x = j(t) та

1) f (x) неперервна на відрізку[а,b];

її похідна

для всіх t Î[a, b ].

= j (t ) неперервні для всіх t Î[a, b ]; 3) j(a )= a ; j(b )= b

Тоді:

ò f (x )dx = ò f (j(t )j)¢ t (dt) = F (j(t ))

ab = F (j(b ))- F (j(a )).

Ця формула називається формулою заміни змінної(або підстановки) у

визначеному інтегралі.

Зауваження 1.При обчисленні невизначеного інтеграла при заміні змін-

ної

x = j(t) у первісній

функції

необхідно

було

повернутися

від

змінноїt до

змінної x , а при обчисленні визначеного інтеграла замість цього треба змінити межі інтегрування.

Зауваження 2. Нижня межа a і верхня межаb знаходяться з рівнянь j(a )= a і j(b )= b .

Зауваження 3. Якщо заміна змінної в визначеному інтегралі виконується за формулою t =y (x), то нові межі a і b можна визначити безпосередньо за формулами; a =y (a) , b =y (b).

Приклад. Обчислити інтеграл

-3

+ 6x

Розв’язання.

-5

x = t -

= t - 3, dx = (t - 3)¢dt, dx = dt,

-3

x2 + 6x +13 = (t - 3)2 + 6(t - 3)+13 =

-ò5

= t 2 - 6t + 9 + 6t -18 +13 = t 2 + 4,

x2 + 6x + 13

нові межі інтегрування t = x + 3,

- 5

- 3

- 2

- 2 ö

= ò

arctg

arctg0 -

arctgç

arctg1 =

-2

+ 4 2

-2

2 ø

xdx

Приклад. Обчислити інтеграл ò

x -1

Розв’язання.

xdx

= t , тоді x = t 2 , dx = 2tdt , нові межі

заміна

x -1

(t -1)(t 2 + t

t 2 2tdt

t 3dt

(t 3

-1) +1

= ò

= 2ò

dt = 2ò

t -1

dt =

t -1

d (t -1)

æ t 3

t 2

= 2ò(t

+ t +1)dt + 2ò

= 2ç

+ t + ln

t -1

æ			9		8	ö		59
= 2ç	9	+		+ 3 + ln 2 -		- 2 - 2 - ln1÷	= =		+ 2 ln 2 .
= 2ç	9	+	2	+ 3 + ln 2 -	3	- 2 - 2 - ln1÷	= =	3	+ 2 ln 2 .
è			2		3	ø		3

8.5. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Формула інтегрування частинами в визначеному інтегралі має вигляд:

b b

òu(x )dv x( =) (u(x)× v(x))ba - òv(x )du x( .)

						a																	a
								p
								2
Приклад. Обчислити ò x sin xdx .
								0
Розв’язання.				p						u	= x, du = dx, dv = sin xdx,															= - x cos x p0									p
				p																															p
				ò x sin xdx =																													2 + òcos xdx =
					2																														2
				0						v = òsin xdx = -cos x																									0
				0						v = òsin xdx = -cos x																									0
					= -	p	cos		p		+ 0 ×cos 0 + sin x							p 2 = sin						p		- sin 0 =1.
						p			p															p

					2			2									0				2
																	0

								2
Приклад. Обчислити ò x log2 xdx .
								1											dx
					2						u = log2	x, du =							dx						x		2				2		2	x	2		1
					2						u = log2	x, du =															2						2		2
Розв’язання. ò x log2							xdx =									x ln 2							= =						log2	x		- ò				×				dx =

															2																			2
					1						dv = xdx, v =			x												2					1		1	2				x ln 2
					1									x																	1

													2
	2	2		1				1			2		1							x2		2						1 æ					1	ö					3		.
	2	2		1				1			2		1							x2		2						1 æ					1	ö					3
=			log2 2 -		log2 1-						xdx = 2 -							×				= 2 -								ç	2	-		÷	=		2 -
=			log2 2 -		log2 1-						xdx = 2 -							×				= 2 -								ç	2	-		÷	=		2 -
	2			2				2 ln 2			ò1		2 ln 2 2									1						2 ln 2		è			2	ø					4ln 2
	2			2				2 ln 2			ò1		2 ln 2 2									1						2 ln 2		è			2	ø					4ln 2

8.6. Обчислення площ плоских фігур у прямокутній системі координат.

1) Якщо на відрізку [а,b] задана функція f (x)³ 0 , то відомо, що площа криволінійної трапеції, яка обмежена кривою y = f (x), віссю OX і прямими

	b
x = a ,	x = b дорівнює S = ò f (x )dx .
	a
			b
	2) Якщо функція f (x)£ 0 на [а,b], то S = -ò f (x )dx .
			a
	3) Якщо область, яка обмежена кривими y = f1 (x), y = f2 (x) і прямими
x = a ,	x = b , за умови, що f2 (x)³ f1 (x), площу обчислюємо за формулою :
	b	b	b
	S = ò f2 (x )dx - ò f1 (x )dx = ò( f2 (x )- f1 (x ))dx .
	a	a	a

Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями y = 4x2 -1 та y = -2x +1. Зробити рисунок.

Розв’язання. Скористаємося формулою S = ò( f2 (x )- f1 (x ))dx . В нашому

випадку f1 (x)= 4x2 -1, f2 (x)= -2x + 1. Побудуємо графіки заданих функцій

(рис. 11).

Рис. 11.

Далі знайдемо абсциси точок перетину кривих (межі інтегруван-

ìy = 4x	2 -1,	Þ 4x2 -1	= -2x + 1, 4x2 + 2x - 2	= 0, 2x 2 + x -1 = 0,
ня): í
îy = -2x + 1,

										x = -1, x							=		1	отже, a = -1,b =					1		.
										x = -1, x						2	=			отже, a = -1,b =							.
											1					2		2						2
		Маємо:																2						2
		Маємо:																												1
	1									1																				1
	1									1										æ - 4x3								ö	2
2						2			2					2						æ - 4x3				2				ö
S = ò		(- 2x +1 - 4x					+1)dx =ò				(- 4x				-		2x + 2)dx =ç						- x			+ 2x		÷	=
S = ò		(- 2x +1 - 4x					+1)dx =ò				(- 4x				-		2x + 2)dx =ç				3		- x			+ 2x		÷	=
-1									-1											è	3							ø	-1
		æ 1	ö3


		- 4ç	÷	æ	1 ö		2	1				æ					3					ö				1 1					4	27
		- 4ç	÷				2										3
		è 2	ø										- 4(-1 )							2
												ç						- (-1 ) + 2(-1				÷
=				- ç		÷		+ 2 × -				ç										÷
=		3		- ç	2	÷		+ 2 × -				ç		3								÷) = - - +1 - + 3 = .
		3		è	2	ø		2				è		3								ø				6 4					3	12

Запитання до самоконтролю

1.Поняття інтегральної суми.

2.Що називається визначеним інтегралом?

3.В чому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла?

4.Властивості визначеного інтеграла.

5.Записати і пояснити формулу Ньютона-Лейбніца.

6.У чому полягає метод заміни змінної у визначеному інтегралі?

7.У чому полягає метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі?

8.Обчислення площ плоских фігур у прямокутних координатах.

9.Диференціальні рівняння [1, c. 421 - 437, 451 - 478], [2, c.163 - 187].

9.1.Типи диференціальних рівнянь.

Рівняння, яке зв’язує незалежну змінну, невідому функцію цієї змінної та її похідну або диференціал, називають диференціальними.

1. Рівняння вигляду j(y)dy = f (x)dx

(1)

називають диференціальним рівнянням з відокремленими змінними. Інтегруючи рівняння, знаходять його загальний інтеграл:

ò j(y)dy = ò f (x)dx + C .

Приклади: Розв’язати диференціальні рівняння:

dy = cos xdx . 2)

dy =

dx , y ¹ 0; x ¹ 0 .

cos2

Розв’язання. 1)

dy = òcos xdx ,

tgy = sin x + C – загальний інтеграл

cos

рівняння.

dy =

dx , ln

= ln

+ C . Для зручності інтегрування предста-

ò x

вимо C1 = ln

,C ¹ 0 . Тоді ln

= ln

+ ln

= ln

C × x

, y = C × x,C ¹ 0 – за-

гальний розв’язок рівняння ( при C = 0 функція y = 0 ).

Зауваження. Рівність tgy = sin x + C , C Î R називають загальним інтегралом, тому що функція y(x) задана неявно відносно змінної x ; y = C × x , C Î R –загальний розв’язок, тому що функція y(x) виражена явно відносно x .

. Рівняння вигляду

j1 (y)f2 (x)y¢ = j2 (y)f1 (x)

(2)

називають диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Рівняння (2) зводиться до (1) відокремленням змінних наступним чином:

В рівнянні (2) замінюємо y¢ на

, тобто j1 (y )f2

)

= j2 (y )f1

(x) .

Множимо отримане рівняння на dx . Маємо:

j1 (y)f2 (x)dy = j2 (y)f1 (x)dx .

j1 (y)dy

f1 (x)dx

Поділимо рівняння на

f2 (x)×j2 (y). Отже:

j2 (y )

f2 (x )

Маємо рівняння типу (1). Знайдемо його загальний інтеграл:

j1 (y)dy

= ò

f1 (x)dx

+ C .

j2 (y )

f2 (x )

Зауважимо, що при діленні обох частин рівняння наf2 (x)×j2 (y) можна загубити деякі розв’язки. Тому, щоб отримати всі розв’язки, необхідно до загального розв’язку приєднати корені рівнянь j2 ( y) = 0 і f2 (x) = 0 .

Приклад. Знайти розв’язок рівняння 2(1 + ex )yy¢ - ex = 0.

Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді 2(1 + ex )yy¢ = ex . Потім замість

y¢ в рівнянні запишемо	dy	і помножимо отримане рівняння наdx .		Маємо:
	dx
			2(1 + ex )ydy		ex dx
2(1 + ex )ydy = ex dx. Поділимо рівняння на1 + ex ¹ 0, тобто				=		.
			1 + ex
				1 + ex

Після скорочення отримуємо рівняння 2 ydy =

ex dx

, яке є рівнянням з відокре-

1 + ex

мленими змінними: 2ò ydy = ò

ex dx

, y

= ò

d (1 + ex )

1 + e

+ e

y2 = ln(1 + ex )+ C, 1 + ex > 0 , x Î R .

Маємо загальний інтеграл y2

= ln(1 + ex )+ C .

Приклад. Розв’язати диференціальні рівняння y¢cos2

x ln y = y

при зада-

них початкових умовах y(p )= 1.

Розв’язання. За алгоритмом відокремлення змінних маємо:

y¢cos2

x ln y = y ,

cos2 x ln y = y ,

cos2

x ln ydy = ydx ,

cos2 x ln ydy

ydx

y cos2 x

y cos2

Отже,

отримали

рівняння

відокремленими

змінними

ln ydy

cos2

Інтегруємо

його: ò

ydy

= ò

ò ln yd (ln y) =

y = tgx + C

–

cos

загальний інтеграл ДР.

Оскільки y(p )= 1, то підставимо в

ln 2

y = tgx + C початкові умови y = 1,

х = p і знайдемо значення C :

ln 2 1 = tgp + C ,

0 = 0 + C,C = 0.

Тоді,

ln 2 y = tgx – розв’язок

заданого диференціального

рівняння

при

заданих початкових умовах (називають частинним інтегралом).

3. Рівняння y¢ =

f (x, y) називається однорідним, якщо f (x, y) можна

æ y

представить як функцію відношення

, тобто

f (x, y)= jç

, y¢

= jç

÷ .

è x

Однорідне рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою заміни змінної (підстановки) y = u × x і y¢ = u¢ × x + u .

Приклад. Розв’язати диференціальні рівняння y - xy¢ = y ln y . x

Розв’язання. Спочатку покажемо, що дане рівняння є однорідним:

xy¢ = y - y ln

y æ

y ö

æ y ö

y æ

y ö

y¢ =

ç1

- ln

, тобто y¢ = jç

, де jç

ç1

- ln

. Зро-

x è

x ø

è x ø

x è

x ø

бимо в рівнянні y¢ =

y æ

y ö

= u ,

y¢ = u¢ × x + u і отримає-

ç1

- ln

заміну змінних:

x è

x ø

мо рівняння з відокремлюваними змінними u x + u = u(1 - ln u), u x = -u ln u .

Виконаємо відокремлення змінних:

= -u ln u , xdu = -u ln udx ,

= -

u ln u

d (ln u)

= -ò

, ò

= -ò

, ln

ln u

= -ln

+ ln

ln u

, ln u =

, , ln

= ln

u ln u

ln u

u = e x . Враховуючи, що u = y , маємо у = хe x , C Î R – загальний розв’язок рі- x

вняння. До загального розв’язку приєднаємо корені рівняння ln u = 0 , ln y = 0 , x

y =1, y = x . Отже, y = x (x ¹ 0) – розв’язок диференціального рівняння. x

4. Рівняння називається лінійним , якщо воно лінійне відносно невідомої функції і її похідної (шукана функція і її похідна входять у рівняння в першій степені, не перемножуються між собою) і має вигляд y¢ + p(x)y = q(x).

Диференціальне рівняння виду y¢ + p(x)y = q(x)yn , де , n ³ 2 , називається

рівнянням Бернуллі.

Рівняння Бернуллі зводиться до лінійного підстановкою u = y1-n і u¢ = (1 - n)y -n y¢.

Розв’язок лінійного рівняння будемо шукати у вигляді добутку двох -ін ших функцій, тобто y = u ×v , де u = u(x) і v = v(x) – нові невідомі функції.

Приклад. Розв’язати рівняння y¢ + ytgx = cos x .

p(x)= tgx , а q(x)= cos x .

Розв’язання. Дане рівняння є лінійним, причому

Зробимо підстановку

y = uv і y

+ uvtgx = cos x ,

= u v + uv

, тоді u v + uv

+ vtgx)

ìv¢ + vtgx = 0

u v + u(v

= cos x . Маємо систему í ¢

. Знайдемо розв’язок

îu v = cos x

рівняння v¢ + vtgx = 0 .

= -vtgx ,

= -tgx × dx ,

= -òtgx × dx , ln

= ln

cos x

v = cos x . Підставимо знайдену функцію в друге рівняння системи і знайдемо функцію u . Маємо u¢cos x = cos x , du = dx , u = x + C . Далі запишемо розв’язок

y = uv = (x + C)cos x , C Î R .

Приклад. Розв’язати рівняння x2 y¢ - 2xy = 3 .

Розв’язання. Зробимо відповідні перетворення, щоб переконатись, що дане

рівняння є лінійним: x

2 dy

- 2xy = 3 , y

y =

. Маємо лінійне рівняння, де

p(x )= - x

, q(x )= x2

. Замінимо

y по формулі

y = uv , маємо y

= u v + uv

uv =

+ uçv

v ÷ =

u v + uv

, u v

ïv¢ -

v = 0

v¢ -

v = 0 ,

Запишемо систему í

. Далі знайдемо її розв’язок:

ïu v

¢ 2

v ,

dx , ln

= 2ln

, v = x

. Далі знайдемо u : u x

x 2

du =

dx , u = -

+ C .

Отже, загальний

розв’язок

має

вигляд

x 4

y = x

ç-

+ C ÷, C Î R .

5. Рівняння виду y¢¢ + p × y¢ + q × y = 0 , де p і q –сталі, називають ліній-

ними однорідними диференціальними рівняннями другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Рівняння k 2 + p × k + q = 0 називають характеристичним рівнянням однорідного диференціального рівняння.

Для його складання необхідно в рівнянні y¢¢ + p × y¢ + q × y = 0 замінити y¢¢ на k 2 , y¢ на k , а y на 1.

При розв’язуванні характеристичного рівняння можливі три випадки:

Випадок 1. Дискримінант D =

p 2

- q > 0 , тобто

корені k = -

= -

дійсні і різні (k1 ¹ k

2 ).

Вцьому випадку загальний розв’язок рівняння має вигляд:

у(х)= C1еk1x + C2еk2 x , C1 ,C2 Î R .

Випадок 2. Дискримінант D =	p 2	- q = 0 , тобто корені k1 = k2	= -	p	дійсні

4			2

і рівні. Загальний розв’язок рівняння має вигляд:

у(х)= C еk1x + C

хеk1x = еk1x (C + C

х) , C ,C

Î R .

Випадок

3. Дискримінант

D =

p 2

- q < 0 , тобто

корені k1

= a + bi і

k2 = a - bi комплексні , a = -

, b =

q -

p 2

> 0 .

sin bx),

Множина

функцій у(х)= eax (C cos bx + C

Î R –

загальний

розв’язок.

Приклад . Знайти розв’язок рівняння у¢¢ + 4 у¢ -12 у = 0 , який задовольняє

початковим умовам у(0) = -1, у (0)= 6 .

Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння: k 2

+ 4k -12 = 0 .

Знайдемо

його розв’язок :

D =

p 2

- q =

- (-12)= 4 +12 = 16 > 0 .

Маємо ви-

падок 1.

k1 = -

= -

- 4 = -6 , k2 = -

= -

+ 4 = 2 .

Отже, загальний розв’язок рівняння має вигляд y

= C e

-6 x + C

e2 x . Викори-

стовуючи початкові умови, знайдемо значення C1 і C2 . Для цього необхідно

скласти систему рівнянь із невідомими C1 і C2 . Перше рівняння системи є ре-

зультат

підстановки

в загальний розв’язокy = C e-6 x

+ C

e2 x

початкової умови

у(0) = -1, тобто х = 0 і у = -1.

Маємо

-1 = C e0

+ C

, C + C

= -1

. Друге рі-

вняння системи є результат підстановких = 0 і

= 6 ( у

(0)= 6 ) в похідну від

загального

розв’язку,

яка

має

вигляд: y¢ = -6C1e-6 x + 2C2e2 x .

Отже,

- 6C1 + 2C2

= 6 , - 3C1

ìC + C

= -1

, розв’язком якої є

+ C2 = 3. Маємо систему í

î- 3C1 + C2

= 3

C = -1

і C

= 0 . Частинний розв’язок має вигляд y(х)= -e2 x .

Приклад . Знайти розв’язок рівняння у¢¢ + 6 у¢ + 9 у = 0 , який задовольняє

початковим умовам у(0)

(0)= -1.

= 2 , у

Розв’язання. Складемо характеристичне

рівняння: k 2

+ 6k + 9 = 0 . Знай-

демо

його

розв’язок: D =

- 9 = 9 - 9 = 0 .

Маємо

випадок 2.

k = k

= -

= -3 .

Отже y = e-3 x (C1 + C2 x) – загальний розв’язок.

Далі знайдемо y¢(x )= (e-3x (C1 + C2 x))¢ = (e-3 x )¢ ×(C1 + C2 x)+ e-3 x (C1 + C2 x)¢ = = -3e-3 x ×(C1 + C2 x)+ C2 e-3 x .

ìy(0)= 2

Враховуючи початкові умови, складемо систему рівнянь: í ,

îy¢(0 )= -1

ìe-3×0 (C	+ C		2	× 0)= 2,					ìC = 2,				ìC = 2
1			2						1				1
í- 3e-3×0	(C	+ C			2	× 0)+ C	2	× e-3×0 = -1,	í- 3C + C		2	= -1,	íC	= 5.
î	1				2		2		î	1	2		î 2
Частинний розв’язок має вигляд:										y = e-3x (2 + 5x).

Приклад . Знайти розв’язок рівняння у¢¢ - 4 у¢ + 8у = 0 , який задовольняє початковим умовам у(0)= -2 , у¢(0)= 2 . Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння: k 2 - 4k + 8 = 0 .

Знайдемо його розв’язок : D = 16 - 8 = 4 - 8 = -4 < 0 . Маємо випадок 3, корені

комплексні:


a = -	p	= -	- 4		= 2 , b = q -			p 2		= 8 - (- 4 2) =			= 2 , k1, 2 = a ± bi = 2 ± 2i .
	p		- 4					p 2				8 - 4
												8 - 4
2				2			4		4
	Отже,				загальний						розв’язок		рівняння	має
y = e2 x (C cos 2x + C						2	sin 2x). Знайдемо похідну:
1						2

y¢ = (e2 x (C1 cos 2x + C2 sin 2x))¢ =

= (e

2 x ¢

)×(C cos 2x + C

sin 2x)+ e

2 x

×(C

cos 2x + C

sin 2x) =

= 2e2 x ×(C1 cos 2x + C2 sin 2x)+ e2 x

×(- 2C1 sin 2x + 2C2 cos 2x) =

= e

2 x ×(2C cos 2x + 2C

sin 2x - 2C

sin 2x + 2C

cos 2x).

Враховуючи, початкові умови у(0)= -2

(0)= 2 маємо:

, у

ì- 2 = e0 (C cos 0 + C

sin 0),

= e0 (2C1 cos0 + 2C2 sin 0 - 2C1 sin 0 + 2C2 cos 0).

î2

Оскільки cos 0 =1, sin 0 =

ìC = -2

. Отже C1 = -2 , C2 = 3 і

0 , маємо í

î2C1

+ 2C2 = 2

y = e2 x (- 2cos 2x + 3sin 2x) – частинний розв’язок рівняння.

Запитання для самоконтролю

1.Що називається диференціальним рівнянням першого порядку?

2.Що називається розв’язком диференціального рівняння?

3.Дати означення загального та частинного розв’язків диференціального рівняння першого порядку.

4.Дати означення диференціального рівняння з відокремлюваними змінними. Як воно розв’язується?

5.Дати означення однорідного диференціального рівняння першого порядку. Метод інтегрування.

6.Дати означення лінійного диференціального рівняння першого порядку.

7.Дати означення рівняння Бернуллі.

8.Викласти метод інтегрування лінійного диференціального рівняння першого порядку і рівняння Бернуллі.

9.Означення лінійних однорідних диференціальних рівнянь. другого порядку із сталими коефіцієнтами.

10.Метод розв’язування лінійних однорідних диференціальних рівнянь. другого порядку із сталими коефіцієнтами.

10. Елементи теорії ймовірностей [3], [2, c.188 - 217].

10.1.Випадкові події.

Теорія ймовірностей – це розділ математики, що вивчає математичні моделі випадкових явищ реального світу. Початковими поняттями теорії ймовірностей є поняття стохастичного випробування (або експерименту), випадкові події та ймовірності випадкових подій.

Стохастичними називають випробування, результати яких не можна наперед точно передбачити . Подія – результат випробування. Події поділяються на вірогідні, неможливі та випадкові. Події позначають великими літерами латинського алфавіту – A, B, C,..., або A1, A2 ,..., вірогідну - W, неможливу - Æ .

Довільна множина W, елементами якої є всі можливі наслідки експерименту, називається простором елементарних подій.

Події називають несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу інших в одному і тому самому випробуванні.

Сумою подій A та B називається подія A + B , яка відбудеться тоді і тільки тоді, коли настане або одна з цих подій, або обидві разом.

Добутком подій A та B називається подія A × B , яка настає тоді і тільки тоді, коли відбудуться події A та B .

Подія A називається протилежною до події A , якщо A настане тоді, коли не настане A .

Події називаються рівноможливими, в деякому випробуванні, якщо у кожної з них існує однакова можливість відбутись або не відбутись.

Події A1, A2 ,...An утворюють повну групу подій, якщо вони попарно несумісні та їхня сума є достовірною подією W.

Кількісною мірою можливості появи події є ймовірність події. Ймовірністю P( A) події A називають відношення числа результатів ви-

пробувань m , які сприяють появі даної події, до загального числа n рівноможливих несумісних результатів випробувань, що утворюють повну групу, тобто

P( A) = m . n

Таке означення ймовірності називається класичним. Важливою властивістю ймовірності є нерівність 0 £ P( A) £1, причому P(Æ) = 0 , P(W) =1.

При обчисленні ймовірності за класичним означенням часто потрібно визначити число можливих варіантів вибору k елементів із сукупності n елементів.

Залежно від того чи має значення порядок вибору елементів, чи ні, розрізняють: розміщення, перестановки і сполучення.

Розміщення з n елементів по k елементів (k < n) називають такі сполу-

ки, які складаються з k елементів взятих з даних n елементів і відрізняються
між собою хоча б одним елементом або порядком елементів , позначають Ak			та
	n!	n
обчислюють за формулою Ak =		.

n	(n - k)!

Розміщенням з n елементів по n елементів називають перестановками, а їх кількість знаходять за формулою Pn = n!

Сполученнями з n елементів по k елементів (k < n) називають такі сполуки, які складаються з k елементів взятих з даних n елементів і відрізняються між

собою хоча б одним елементом, позначають	Ck та обчислюють за формулою
	n
Cnk =	n!	.

(n - k)!k!

Приклад. В ящику є 10 коробок цукерок , з них 2 – “Асорті”, інші – “Пташине молоко”. Навмання з ящика взяли 6 коробок. Яка ймовірність того, що всі коробки будуть з цукерками “Пташине молоко”.

Розв’язання. Нехай подія A полягає в тому,що всі 6 витягнутих коробок – “Пташине молоко”. Загальне число спроб вибору дорівнює n = C106 . Число нас-

лідків, що сприяють появі шуканої події, дорівнює m = C86 . Отже,

P(A )=

C86

6!(8 - 6)!

8!×6!×4!

8!×2!×3 × 4

C106

10!

6!×2!×10! 2!×8!×9 ×10 15

6!(10 - 6)!

Нехай проведено n* випробувань, в яких подія A відбулась m* разів. Ві-

дношення m* називається відносною частотою появи події A , і позначається n*

W ( A) . При достатньо великій кількості випробувань відносна частота появи події A коливається навколо деякого числа p , яке і називають статистичною ймовірністю події A .

Приклад. Англійський математик К. Пірсон підкидав монету 24000 разів. При цьому герб випав 12012 разів. Отже,

W ( A) = 12012 » 0,5005. 24000

Приклад. Знайти ймовірність появи герба при одному підкиданні монети.

Розв’язання. P( A) = m= 1= 0,5. n 2

Отже, відносна частота появи герба, близька до ймовірності P( A) = 1 = 0,5. 2

При обчисленні ймовірностей складних подій використовуються правила додавання та множення. Ймовірність появи однієї з них події A або B знаходять за формулою P( A + B) P=( A) + P(B) - P( AB) . Для несумісних подій P( AB) = 0 , от-

же P( A + B) P=( A) + P(B) . Зокрема, для протилежних подій P( A) + P( A) =1. Події A і B називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінить-

ся в разі появи іншої. В цьому випадку ймовірність події A при умові, що подія B відбулась, називають умовною ймовірністю і позначають P( A / B) , або PB ( A) .

Ймовірність події A × B обчислюється за формулою

P( A × B) P=( A) × PA (B)= P(B) × PB ( A) .

Для незалежних подій P( A × B) P=( A) × P(B) .

Наведені формули узагальнюються на випадок n (n > 2) подій. Приклад. В ящику 20 деталей серед яких15 стандартних. Навмання взяли

4 деталі. Знайти ймовірність того, що 3 з них будуть стандартними. Розв’язання. Нехай подія A полягає в тому, що 3 з 4-х витягнутих деталей

стандартні. Загальне число спроб вибору дорівнює n = C204 . Число наслідків, що

сприяють появі шуканої події, дорівнює m = C3 C1 . Отже,

C153 × C51

P(A )=

15!

4!×16!

12!×13 ×14 ×15 × 3!×4 × 5 ×16!

455

C204

3!×12! 1!×4!

20!

3!×12!×16!×17 ×18 ×19 × 20 969

Ймовірність події A , яка може настати за умови появи однієї з незалежних подій (гіпотез) H1, H2 ,..., Hn , що утворюють повну групу, дорівнює

P( A) = åP(Hk )PHk ( A) .

k =1

Якщо внаслідок експерименту подія A відбулась, то теоретичні ймовірності можна переоцінити за формулами Байєса;

Приклад. На підприємство надходить сировина від трьох постачальників, причому від першого – 20% всього обсягу, від другого – 30%, а від третього – 50%. Відомо, що від першого постачальника надходить 8% некондиційної сировини, від другого – 5%, від третього – 4%. Випадково взята проба виявила некондиційну сировину. Знайти ймовірність того, що некондиційна сировина надійшла з другого підприємства.

Розв’язання. Нехай подія A - виявлено некондиційну сировину. Подія A , може відбутись з однією з подій: H1 - сировина від першого підприємства,

H2 - від другого підприємства, H3 - від третього підприємства. За умовою задачі

P(H1 ) = 0,2, P(H2 ) = 0,3, P(H3 ) = 0,5.				PH ( A) = 0,08, PH				2	( A) = 0,05, PH		( A) = 0,04 .
				1				2			3
За формулою повної ймовірності:
P( A) = P(H1)PH ( A) + P(H2 )PH	( A) + P(H3=)PH					( A)	0, 016 + 0,015 + 0,02 = 0,051.
1	2					3
Ймовірність того, що некондиційна сировина надійшла з другого підпри-
ємства: P (H		) =	P(H2 )PH		( A)		0,015			0, 295.
				=	2		=
				=			=
A	2			P( A)			0,051
				P( A)			0,051

Нехай проводиться n незалежних випробувань, в кожному з яких подія A може відбутись з ймовірністю p і не відбудеться з ймовірністю q =1 - p . Такі випробування називаються схемою Бернуллі. Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія A з’явиться рівно k разів обчислюється за формулою Бернуллі:

P	(k) = Ck pk qn-k ,	де	Ck =	n!	.

n	n		n	(n - k)!k!

Приклад. Ймовірність того, що витрати борошна хлібозаводом протягом доби не перевищують встановленої норми, дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що в найближчий тиждень протягом п’яти діб хлібозавод укладеться в норму витрат борошна?

Розв’язання. Нехай подія A полягає в тому, що хлібозавод може вкласти-

ся в норму витрат борошна. Протилежна подія A може перевищити норму ви-

трат. Отже, P( A) = p = 0,8,= P=( A) q 0, 2 . За формулою Бернуллі, при n = 7, k = 5 ,знайдемо

P7 (5) = C75 (0,8)5 (0,2)2 » 0, 275 .

10.2. Випадкові величини.

Числове значення наслідку експерименту називають випадковою величиною. Випадкові величини поділяються на дискретні (ДВВ) та неперервні (НВВ) і позначаються великими літерами X ,Y , Z ,... , а їхні можливі значення – x, y, z,...

Випадкова величина називається дискретною, якщо кількість її значень скінченна чи нескінченна, але зліченна (тобто можливі значення якої можна занумерувати).

Під неперервною випадковою величиною розуміють величину, незліченна множина значень якої є деяким скінченним чи нескінченним проміжком числової осі.

Нехай x1 , x2 ,..., xn – можливі значення випадкової величини X . Одне і те саме значення xi може відповідати різним елементарним подіям. Кожне з цих значень xi можливе, і випадкова величина X може набувати кожного з них з деякою ймовірністю pi = P(X = xi ), i =1, n .

Законом розподілу випадкової величини X називається співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями.

Найпростішою формою подання закону розподілу ДВВ є ряд розподілу – прямокутна таблиця, першим рядком якої є можливі значення, другим – відповідні їм ймовірності.

Приклад. Партія складається з 20 деталей, серед яких є 3 браковані. З партії навмання взято 4 деталі. Побудувати закон розподілу випадкової величини Х – числа бракованих деталей серед відібраних.

Розв’язання. Можливі значення випадкової величини Х – 0,1,2,3. Обчис-

лимо відповідні їм ймовірності за формулою P(X = m)=	Cnm ×CNk --mn	, N = 20 ,
	CNk

n = 3 , k = 4 ;

p1 = P(X

р2 = P(X

p3 = P(X

p4 = P(X

17!

= 0)=

C174

4!(17 - 4)!

17!×4!×16!

17!×4!×13!×14 ×15 ×16

;

C204

20!

4!×13!×20!

4!×13!×17!×18 ×19 × 20 57

4!(20 - 4)!

=1)=

C173

× C31

17!

17!×3!×4!×16!

;

C204

3!(17 - 3)! 1!(3 -1)!

20!

3!×14!×2!×20! 19

= 2)=

C172 × C32

17!

4!(20 - 4)!

17!×3!×4!×16!

;

C204

2!(17 -

2)! 2!(3 - 2)!

20!

2!×15!×2!×20!

= 3)=

C171 × C33

17!

4!(20 - 4)!

17!×3!×4!×16!

;

C204

285

1!(17 -1)! 3!(3 - 3)!

20!

16!×3!×20!

p1 + p2 + p3 + p4 = 1.

Отже, закон розподілу даної дискретної випадкової величини у табличній формі має вигляд:

xi		0		1	2	3
pi = P(X =	8/57	2	/19	8	8	1
	8/57		/19		/95	/285

Важливими числовими характеристиками випадкової величини X є:

1) математичне сподівання (середнє значення) M (X )= åхк рк . При

k =1

досить великих значеннях n математичне сподівання наближено дорівнює середньому арифметичному значень випадкової величини, що спостерігається,

тобто

М (Х )= x p

+ x

+ ... + x

x1 + x2 + ... + xn

;

1 1

2) дисперсія (міра розсіювання випадкової величини відносного серед-

нього значення) D

Х = М

(

Х - М

)

2 або D

х2 р

- М 2

;

(

)

(

)

k k

)

k=1

3) середнє квадратичне відхилення s (Х )= D (Х ) .

Приклад. Щоденна кількість моркви, яка надходила на підприємство наведена в таблиці:

Знайти закон розподілу і обчислити математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення щоденної кількості сировини, яка надходила на завод.

Розв'язання.

ДВВ X - щоденний об'єм поставок моркви. Її можливі зна-

чення x1 = 560, x2 = 640, x3

= 700, x4

= 780.

Сировина

надходила на завод протя-

гом n = 7+15+16+12=50 днів. Знаходимо ймовірності:

p = P(X = 560)=

= 0,14 ; p

= P(X = 640)=

= 0,3;

p3 = P(X = 700)=

= 0,32 ; p4

= P(X = 780)=

= 0,24 ;

å pi = 0,14 + 0,3 + 0,32 + 0,24 =1.

i=1

Отже, маємо закон розподілу ДВВ X :

560

640

700

780

pi = P(X = xi

)

0,14

0,3

0,32

0,24

Обчислюємо:

M (X ) = 560 ×0,14 + 640 ×0,3 + 700 ×0,32 + 780 × 0, 24= 681, 6;

D (X ) = 560

×0,14

+ 640

0,3 + 700

×0,32 + 780

×0, 24

5021, 44;

- 681, 6=

s ( X ) = 5021, 44 = 70,86.

Випадкову величину X можна задати також функцією розподілу. Функцією розподілу F (x)випадкової величини X називається ймовірність того, що

випадкова величина X набуде значень менших від дійсного числа x , тобто

F (х) = Р(Х < х) .

Для дискретних випадкових величин функцією розподілу обчислюється

за формулою: F (x)= åP(X = xi ) і є розривною, з точками розриву 1–го роду

хi <x

(скінченний розрив).

Якщо Х – неперервна випадкова величина, то функцію F (х) називають іще інтегральною функцією розподілу. Крім того, якщо Х –НВВ, то F (х) є неперервною функцією і диференційовною.

Властивості функції розподілу:

1.Функція розподілу є невід’ємною величиною, яка набуває значень від 0

до 1, (0 £ F (x)£1).

2.Функція обмежена знизу і зверху: lim F (x)= 0 , lim F (x)=1.

x®-¥

x®+¥

3.Функція розподілу є неспадною функцією, тобто F2 (x)³ F1 (x), якщо

х2 > x1 .

4.Ймовірність того, що випадкова величина Х набуває значення з про-

міжку [a; b ) дорівнює приросту функції F (x) на цьому проміжку, тобто

Р(a £ X < b )= F (b )- F (a ).

5. Ймовірність будь – якого окремо взятого значення НВВ дорівнює нулю:

P(X = х)= lim P(x £ X £ x + Dx)= lim DF (x)= 0.

Dx®0 Dx®0

6.P(a £ X < b )= P(a < X £ b )= P(a < X < b )= P(a £ X £ b ).

7.Якщо можливі значення НВВ належать інтервалу (a, b ), то F (x)= 0, при х £ a і F (x)=1, при х ³ b .

Перша похідна функції розподілу F (x) називається щільністю розподілу ймовірностей (диференціальною функцією розподілу ) і позначається f (x). Отже, f (x)= F ¢(x).

Із означення f (x) випливає, що F (x) є первісною функції f (x). Крива у = f (x)називається кривою розподілу ймовірностей або кривою розподілу.

Властивості f (x):

1. f (x)³ 0;	+¥
1. f (x)³ 0;	2. ò f (x )dx =1;
	-¥
b		x
3. P(a £ X < b )= ò f (x )dx ;	4. F (x )= ò f (t )dt .
a		-¥
		+¥
Для неперервних випадкових величин М (Х )=		ò х × f (х )dх і
		-¥
+¥	+¥
D(X )= ò(x - M (X )2 × f (x )dx або D (Х )=		ò x2 × f (х )dх - M 2 (X ).
-¥	-¥

Приклад. Неперервна випадкова величина X задана функцією розподілу:

ì0,		при		x £ 3,
ï	(x - 3)2
F (x )= íï	(x - 3)2		,	при 3 < x £ 5,
ï		4		x > 5;
ï1,		при		x > 5;
î

Потрібно:

1) знайти щільність розподілу ймовірностей f (х); 2) побудувати графіки функцій F (x) та f (х);

3) обчислити математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини X ;

4) визначити ймовірність того, що величина X набуде значення з інтервалу (3;4), тобто P(3 < X < 4). Розв'язання. Знаходимо щільність розподілу f (х):

									ì0,	при			x £ 3,
									ï	- 3
f	(	x	)		¢		х	)	ï x	- 3	, при			3 < x		£ 5,
f		x		= F=			х		í		, при			3 < x		£ 5,
						(			í	2
									ï	2			x > 5;
									ï0,	при			x > 5;
									î
Графіки F (x) та										f (х) подано на рис 12 та 13.
Рис. 12.																									Рис. 13.
Обчислюємо:
						+¥					5	x2		- 3x	dx	x3 5		3x2 5			-		1		;
М (Х )= ò х × =f (=х )dх ò														2	dx	6		- =			-		6		;
						-¥					3			2		6	3	4	3				6
						-¥					3						3		3
					+¥		x	2	× f (х )dх - M				2		5	x3 - 3x2				æ	-	1		ö2
D (Х )= ò							x		× f (х )dх - M					(=X ) ò			2	dx -		ç	-	6		÷	=
					-¥										3		2			è		6		ø


=	æ	x		4	-	x	3	ö	5	-		1	=29		-	1	=521	»14, 47;

	ç							÷

	è	8			2			ø	3	36 2 36							36
s (Х )=

			D (Х )=											» 3,8;
											14,47

P(3 < X < 4)= F (4 )- F 3( =)(4 - 3)2 - (3 - 3)2 = 1 .

Запитання до самоконтролю.

1.Основні поняття теорії ймовірностей.

2.Дати означення простору елементарних подій, випадкової події.

3.Що називається сумою подій, добутком подій, різницею подій?

4.Які події називаються несумісними?

5.Дати означення повної групи подій.

6.Дати означення класичної ймовірності.

7.Дати означення статистичної ймовірності.

8.Сформулювати правило множення.

9.Дати означення розміщення, сполучення. В чому полягає відмінність розміщення і сполучення?

10.Сформулювати теореми додавання ймовірностей для несумісних та сумісних подій випадкових подій. Дати означення умовної ймовірності випадкової події.

11.Записати формулу повної ймовірності.

12.Записати формули Байєса.

13.Записати формулу Бернуллі.

14.Дати означення випадкової величини.

15.Дати означення дискретної випадкової величини.

16.Дати означення математичного сподівання М (Х ) і дисперсії

D(Х )дискретної випадкової величини.

17.Дати означення неперервної випадкової величини.

18.Дати означення математичного сподівання М (Х ) і дисперсії D(Х )

неперервної випадкової величини.

19.Сформулювати властивості функції розподілу випадкової величини.

20.Яка функція називається щільністю розподілу ймовірностей ?

21.Назвати властивості щільності розподілу ймовірностей.

ІІІ. Завдання для розрахунково-графічних робіт.

1. Елементи лінійної алгебри.

Завдання №1. Розв’язати системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера.

	ì5x + y + 2z =1			ì3x - 2 y + 5=z -2				ì4x + y - 3z
1.1.	ï	- 2 y - z = 0	1.2.	ï	= 2		1.3.	ï
	íx			íx + 3y - z				í2x + z = 5
	ï	+ y - z = 6		ï	-1			ï
	îx			î2x + 3=z				îx - y + =z
	ìx + 5y + z = 6			ì4x - y + z = 2				ì3x + y + 2z
1.4.	ï		1.5.	ï		-2	1.6.	ï
	í3x + 4 y + 2z = 8			í2x + y - =z				í2x - y + 3=z
	ï			ï		=1		ï
	î2x - y + 3z = 0			îx + 3y - 5z				îx + 3y - 2z

-2

-1

ìx + 2 y + z = 0			ì2x + 4 y - z =1					ìx + y + 2z = 5
ï		- y - 2z =1	ï				1.9.	ï		= 6
1.7. í5x			1.8. íx + 3y - 2=z -1					í3x + 2 y - z
ï		+ y + z = 3	ï					ï
î2x			î3x + z = 4					î2x - y + z =1
	ì2x - y + z = 4			ì3x + y - 2=z -1				ì2x + 3y + z =1
1.10.	ï	- 2 y + z = 0	1.11.	ï	+ 2 y	- z =1	1.12.	ï		-2
	íx			íx				í3x + 4 y - =z
	ï	+ y + 3z =1		ï				ï		= 3
	îx			î2x - 3y + =z -2				î-x + y - 2z
	ìx + 2 y + z = -2			ì5x + 3y + 2z = 9					ì3x + y + z = 3
1.13.	ï		1.14.	ï	+ 4 y	+ 3z =1	1.15.		ï
	í2x + y + z = -1			íx					íx - 4 y - 2z = 3
	ï			ï		+ 3z = 6			ï	= 2
	î3x + 4 y + z = 0			î2x + y					î2x - y - z
	ìx - 3y - z = 0			ì3x - y - 2z =1					ì3x - y + z =1
1.16.	ï		1.17.	ï	+ y + z = 6		1.18.		ï
	í3x + 2 y + z =1			íx					í5x + y + 2z = 7
	ï			ï	- 2 y	+ 3=z -1			ï
	î2x + y + 2z = 5			îx					îx + 2 y - 4z = 5
	ì2x + y + z = 2			ìx - y + z =1					ì3x + y - z =1
1.19.	ï	+ y + 3z = 5	1.20.	ï			1.21.		ï
	íx			í2x - 3y - z = 0					íx + 2 y + 3z = 2
	ï	+ 5y + =z -7		ï					ï	= 4
	îx			î-x + 2 y + 3z = 4					î2x - y + z
	ì2x - y - z =1			ìx - 5y + 3z = 0				ì2x - 3y - =z -3
1.22.	ï		1.23.	ï			1.24.	ï
	í3x + 2 y + z = 3			í-x + 3y + 2z = 3				íx + y - z = 4
	ï			ï		+ z = 6		ï
	î-x - 2 y + z = 3			î3x - y				îy + z =1
	ì3x - 2 y - 5z = 3			ì3x + y + z = 4				ìx + 4 y - 2z = 5
1.25.	ï		1.26.	ï	- 2 y	- 3z = 0	1.27.	ï
	í2x - 3y - 4z = -2			íx				í2x - y - z = 4
	ï	- 2 y + z =1		ï		- z =1		ï
	îx			î2x - y				î3x - 2 y - 4z = 3
	ì4x + y - 3z =1			ìx - y + 2z = 3				ì2x + 3y + 5z = 0
1.28.	ï		1.29.	ï	+ y - z = 4		1.30.	ï		= 3
	í2x + z = 5			íx				í-x + y - 2z
	ï	- y + =z -2		ï		+ z = 5		ï		-1
	îx			î2x - y				îx - y + 4=z
2. Елементи векторної алгебри.
Завдання №2. Дано точки A,			B, C , D. Зобразити у декартовій прямокутній сис-
темі координат піраміду ABCD і знайти:

1)напрямні косинуси вектора AB ;

®®

2)кут j між векторами AB і AC ;

3)площу трикутника ABC ;

® ® ®

4)об’єм піраміди, побудованої на векторах AB , AC і AD .

2.1.A(3;-2;-1), B(4;3;-2), C(2;7;0), D(- 2;0;4).

2.2.A(5;-2;7), B(- 4;0;3), C(0;2;1), D(5;2;-1).

2.3. A(6;3;0), B(0;6;1), C(5;8;0), D(1;0;6).

2.4.A(-1;0;3), B(2;-2;2), C(0;5;1), D(8;7;0).

2.5.A(- 6;5;0), B(- 6;11;0), C(- 2;9;0), D(- 6;8;6).

2.6.A(3;-2;1), B(5;4;0), C(1;6;-2), D(- 2;1;3).

2.7.A(4;-3;6), B(- 3;2;2), C(-1;2;1), D(4;3;-1).

2.8.A(5;2;-1), B(0;5;0), C(5;8;-1), D(1;-1;7).

2.9.A(-1;1;2), B(3;-2;3), C(-1;4;0), D(7;6;-1).

2.10.A(- 5;4;1), B(- 5;10;1), C(-1;8;1), D(- 5;7;7).

2.11.A(2;-3;-2), B(3;4;-2), C(3;5;1), D(1;-1;6).

2.12.A(3;-4;5), B(- 3;3;1), C(- 2;2;-1), D(3;1;-3).

2.13.A(4;2;-2), B(-1;5;0), C(4;5;-2), D(2;0;7).

2.14.A(- 3;-1;1), B(-1;-5;0), C(1;6;2), D(7;5;1).

2.15.A(- 2;3;0), B(- 2;-3;0), C(1;1;0), D(-1;6;7).

2.16.A(2;-2;1), B(3;2;-3), C(1;4;-3), D(2;3;5).

2.17.A(2;-3;4), B(1;4;6), C(1;4;2), D(2;1;-4).

2.18.A(7;3;1), B(1;4;1), C(4;6;-3), D(-1;-2;5).

2.19.A(1;2;4), B(1;-3;2), C(- 2;3;0), D(6;5;-2).

2.20.A(-1;4;1), B(- 2;-3;1), C(- 2;2;1), D(-1;4;6).

2.21.A(4;-1;0), B(4;2;-1), C(2;4;2), D(0;3;4).

2.22.A(1;-5;3), B(0;3;5), C(0;3;1), D(1;1;-3).

2.23.A(4;2;0), B(2;5;3), C(3;5;-3), D(- 2;-3;4).

2.24.A(0;2;4), B(5;0;4), C(- 3;4;-1), D(5;4;0).

2.25.A(- 4;2;-2), B(- 3;-4;0), C(0;1;-2), D(- 2;3;5).

2.26.A(0;-5;-3), B(4;4;-2), C(0;6;-2), D(-1;-1;5).

2.27.A(0;-4;3), B(2;2;6), C(-1;4;0), D(4;2;0).

2.28.A(0;-3;-5), B(-1;3;0), C(0;9;-5), D(1;0;7).

2.29.A(- 2;-1;3), B(0;-4;0), C(-1;5;-2), D(5;1;-4).

2.30.A(0;4;2), B(1;-2;2), C(2;1;0), D(- 3;2;3).

3. Елементи аналітичної геометрії.

Завдання №3.

3.1. Скласти рівняння прямої, що задається точкою M 0 (0;3) та нормаль-

ним вектором n = (3;-2). Побудувати пряму.

3.2. Скласти рівняння прямої, що задається точкою M 0 (3;3) та напрямним

вектором s = (- 2;1). Побудувати пряму.

3.3. Скласти рівняння прямої, що проходить через задану точку M 0 (2;1) і

має заданий кутовий коефіцієнт k = 1 . Побудувати пряму.

3.4. Скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки M 1 (- 5;2) і M 2 (3;4). Побудувати пряму.

3.5. Скласти рівняння прямої, що відтинає на осях Ox і Оу відповідно відрізки a = -3 і b = 2 . Побудувати пряму.

3.6. Скласти рівняння прямої, що задається точкою M 0 (3;0) та нормаль-

ним вектором n = (2;3 ). Побудувати пряму.

3.7. Скласти рівняння прямої, що задається точкою M 0 (- 2;4) та напрям-

ним вектором s = (3;1 ). Побудувати пряму.

3.8. Скласти рівняння прямої, що проходить через задану точку M 0 (2;-3)

імає заданий кутовий коефіцієнт k = -2 . Побудувати пряму.

3.9.Скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки M 1 (- 3;3) і M 2 (2;-1). Побудувати пряму.

3.10.Скласти рівняння прямої, що відтинає на осях Ox і Oу відповідно ві-

дрізки a = 3 і b =1. Побудувати пряму.

3.11. Скласти рівняння прямої, що задається точкою M 0 (0;-4) та норма-

льним вектором n = (4;-3). Побудувати пряму.

3.12. Скласти рівняння прямої, що задається точкою M 0 (- 5;-1) та на-

прямним вектором s = (- 3;1). Побудувати пряму.

3.13. Скласти рівняння прямої, що проходить через задану точку M 0 (- 4;-1) і має заданий кутовий коефіцієнт k = 2 . Побудувати пряму.

3.14.Скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки M 1 (- 2;-2) і M 2 (6;1). Побудувати пряму.

3.15.Скласти рівняння прямої, що відтинає на осях Ox і Oу відповідно ві-

дрізки a = 2 і b = 4 . Побудувати пряму.

3.16. Скласти рівняння прямої, що задається точкою M 0 (- 4;0) та норма-

льним вектором n = (1;4 ). Побудувати пряму.

3.17. Скласти рівняння прямої, що задається точкою M 0 (2;3) та напрям-

ним вектором s = (4;1 ). Побудувати пряму.

3.18. Скласти рівняння прямої, що проходить через задану точку

M 0	(- 2;1) і має заданий кутовий коефіцієнт k = -	1	. Побудувати пряму.

	3

3.19.Скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки M1 (- 4;1) і M 2 (-1;-1). Побудувати пряму.

3.20.Скласти рівняння прямої, що відтинає на осях Ox і Oу відповідно ві-

дрізки a = -2 і b = -5. Побудувати пряму.

3.21. Скласти рівняння прямої, що задається точкою M 0 (0;5) та нормаль-

ним вектором n = (3;-5). Побудувати пряму.

3.22. Скласти рівняння прямої, що задається точкою M 0 (2;-3) та напрям-

ним вектором s = (4;-1). Побудувати пряму.

3.23. Скласти рівняння прямої, що проходить через задану точку M 0 (1;3) і

має заданий кутовий коефіцієнт k = - 1 . Побудувати пряму.

3.24.Скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки M 1 (- 3;3) і M 2 (4;2). Побудувати пряму.

3.25.Скласти рівняння прямої, що відтинає на осях Ox і Oу відповідно ві-

дрізки a = 5 і b = -2 . Побудувати пряму.

3.26. Скласти рівняння прямої, що задається точкою M 0 (7;0) та нормаль-

ним вектором n = (2;7 .) Побудувати пряму.

3.27. Скласти рівняння прямої, що задається точкою M 0 (- 2;-2) та на-

прямним вектором s = (- 3;-4). Побудувати пряму.

3.28. Скласти рівняння прямої, що проходить через задану точку M 0 (- 3;4) і має заданий кутовий коефіцієнт k =1`. Побудувати пряму.

3.29.Скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки M1 (-1;2) і M 2 (1;4). Побудувати пряму.

3.30.Скласти рівняння прямої, що відтинає на осях Ox і Oу відповідно відрізки a = 4 і b = -1. Побудувати пряму.

Завдання №4. У трикутнику, заданому вершинами A , B і C , знайти:

1)рівняння і довжину медіани AM , проведеної з вершини A ;

2)рівняння висоти AN , проведеної з вершини A ;

3)рівняння прямої L , що проходить через вершину A паралельно стороні BC ;

4)побудувати в декартовій прямокутній системі координат трикутник ABC , відрізки AM , AN і пряму L .

4.1. A(2;2), B(12;7), C(10;3).	4.2. A(- 6;1), B(- 2;8), C(4;2).
4.3. A(- 9;1), B(2;2), C(4;6).	4.4. A(- 3;-2), B(0;10), C(6;-2).
4.5. A(- 7;1), B(4;3), C(- 2;5).	4.6. A(- 5;-1), B(1;-6), C(3;2).
4.7. A(- 2;-3), B(3;-3), C(5;1).	4.8. A(- 6;2), B(0;7), C(2;-1).
4.9. A(1;5), B(- 8;-1), C(- 6;3).	4.10. A(0;3), B(- 3;8), C(9;6).
4.11. A(2;2), B(- 9;-2), C(- 7;2).	4.12. A(- 5;2), B(0;-8), C(6;0).
4.13. A(0;8), B(-10;4), C(- 8;8).	4.14. A(2;-1), B(5;7), C(9;-1).
4.15. A(- 3;-4), B(- 8;1), C(- 6;5).	4.16. A(2;3), B(- 4;2), C(4;0).
4.17. A(-1;-3), B(-1;2), C(7;6).	4.18. A(- 4;5), B(2;3), C(- 8;-1).
4.19. A(5;0), B(- 7;0), C(-1;4).	4.20. A(- 4;1), B(5;-3), C(9;7).
4.21. A(- 2;-1), B(- 9;3), C(- 7;7).	4.22. A(2;0), B(3;4), C(- 5;2).
4.23. A(0;-3), B(7;-2), C(9;2).	4.24. A(1;2), B(1;-1), C(- 5;3).
4.25. A(- 8;8), B(- 7;-3), C(- 5;1).	4.26. A(- 5;4), B(- 2;8), C(0;-2).

4.27. A(-1;-1), B(9;0), C(11;4).

4.28. A(-10;4), B(- 4;-3), C(- 2;5).

4.29. A(- 7;4), B(1;6), C(9;-2).

4.30. A(4;4), B(8;0), C(- 2;-4).

Завдання №5. Встановити тип кривої та побудувати її.

5.1. a) (x - 2)2

+ (y + 3)2 = 4 ;

б)16x2

- 9 y 2

+ 64x + 54 y +127 = 0 .

5.2. a) (y - 3)2

= 2(x - 2);

б) 16x 2 + 9 y 2

+ 32x - 36 y - 92 = 0 .

5.3.

a) -

(x - 3)2

+ (y - 4)2

= 1;

б)

+ y 2 - 2x - 6 y + 6 = 0 .

5.4. a)

(y - 2)2 = -

(x -1);

б) 4x2

+ 9 y 2 - 8x + 36 y + 4 = 0 .

5.5. a)

(x -1)2

+ (y - 2)2

= 1;

б)

y 2

- 2x - 6 y +13 = 0 .

5.6. a)

(x + 2)2

= -4(y - 3);

б)

+ 4 y 2 + 2x + 8 y -11 = 0 .

5.7. a)

(x + 3)2

+ (y + 2)2

= 16 ;

б) 4x 2

- 9 y 2 + 8x +18 y - 41 = 0 .

5.8.

(y + 2)2 = -3(x - 2);

б)

x 2

+ y 2 + 2x - 4 y - 4 = 0 .

5.9.

(x +1)2

+ (y - 2)2

= 1; `

б)

x 2

+ 3y - 6x +12 = 0 .

5.10.. a)

(x + 1)2

(y + 2);

б) 9x 2

+ 4 y 2 -18x -16 y -11 = 0 .

5.11. a) (x -1)2

+ (y - 3)2 = 4 ;

б) 3y 2

+ x -12 y +11 = 0 .

5.12. a)

(x +1)2

+ (y +1)2

= 1;

б) 16x 2 - 9 y 2

- 64x -18 y +199 = 0 .

5.13. a)

(y + 3)2

(x + 2);

б)

x 2

+ y 2 + 6x + 4 y - 3 = 0 .

5.14. a) - (x + 2)2

+ (y - 3)2

=1;

б)

x 2

+ 4 y + 4x - 8 = 0 .

5.15. a) (x - 3)2

= -3(y +1);

б) 4x2

+ y 2 - 24x + 2 y + 21 = 0 .

5.16. a)

(x +1)2

+ (y - 2)2

= 9 ;

б)

y 2

+ 3x + 4 y - 2 = 0 .

5.17. a) (x -1)2

+ (y + 2)2

=1;

б) 4x2

- y + 8x + 2 = 0 .

5.18. a) (x -1)2

= 2(y - 4);

б) 9x 2

-18x - 4 y 2 +16 y - 43 = 0 .

5.19. a)

(x + 4)2

+ (y - 3)2

=1;

б) 2 y 2

- x +12 y +16 = 0 .

5.20.. a) (x -1)2

- (y - 2)2

=1;

б)

+ y 2 - 4x + 6 y + 9 = 0 .

5.21. a) (x + 2)2

(y + 4);

б) 9x2

-16 y 2

+ 90x + 32 y - 367 = 0 .

5.22. a)	(x - 3)2	+	(y -1)2	=1;
	4
		9
5.23. a)	(x + 5)2	- (y -1)2		=1;

6436

5.24.a) (x -1)2 = - 1 (y - 5);

	4
5.25. a) (x - 3)2	+ (y +1)2	=1;

416

5.26.a) (y - 3)2 = 3(x +1);

5.27. a) (x -1)2

- (y - 2)2

=1;

5.28.a) - (x - 2)2 + (y + 1)2 =1;

	9	16
5.29. a)	(x - 3)2	+ (y +1)2	=1;
	9	25
5.30. a)	(x +1)2	- (y -1)2	=1;
	9	4

4. Вступ до математичного аналізу

Завдання №6. Знайти границі.

6.1. а) lim 2x4 - 3x2 + 7 ; x®¥ x + 4x3 - 3x4

в) lim

x -1 - 2

;

2 - 4x - 5

x®5 x

6.2. а) lim

8x5

- 3x4 + 2x

;

+ 5x2

-1

x®¥

в) lim

x - 4

;

x - 3 -1

x®4

6.3. а) lim

8x - 5x3 + 3x4

;

x®¥ 2x + 4x6 + 5x7

в) lim

4 - x2 - 2

;

+ 7x

x®0

6.4. а) lim

x4 - 2x3 + 5x

;

+ 7x2

x®¥ 3x4

в) lim

x2 - 9x

;

x®9

x - 3

6.5. а) lim

2x6

- 7x4 + 5x

;

- 2

x®¥ 3x4 + 8x3

б) x 2 - 2 y - 2x + 9 = 0 .

б) y 2 - 6 y - 3x + 6 = 0 .

б) 25x 2 + 9 y 2 -150x +18 y + 9 = 0 .

б) 4x 2 - 8x + y -1 = 0 .

б) 25x2 - 4 y2 -150x + 32 y + 261 = 0 .

б) 9x2 + 4 y 2 - 54x - 8 y + 49 = 0 .

б) 2x2 + 8x - y + 4 = 0 .

б) x2 - 2x - 4 y2 +16 y - 31 = 0 .

б) 4x2 + 32x + 9 y2 - 54 y + 109 = 0 .

б)

lim

x3 -1

;

x®1 x2

+ 3x - 4

г)

lim

cos x - cos3 x

x sin 3x

x®0

б)

lim

x2 - 4

;

- 3x -

x®-2 x2

г)

lim

x tg 4x

x®0 sin 2x - sin 4x

б)

lim

+ 6x + 5

;

- 3x -

x®-1 x2

г)

lim

x arcsin 3x

x®0 cos2 4x -1

б)

lim

x3 - 27

;

x®3 x2

- 5x + 6

г)

lim

arctg2 5x

x®0 x sin 4x

б)

lim

x2 -16

;

+ 6x -

x®4 x2

в) lim

x + 2 - 2

;

x®2 x2 + 3x -10

6.6. а) lim

x3 - 2x + 5

;

x®¥ x5 + 4x2 - 3

в) lim

x2 + 5x

;

x®0

16 - x2 - 4

6.7. а) lim

7 + 3x - 4x3

;

x®¥ 2x3 + 6x -

- 3

;

в) lim

x + 2

x®7

x2 - 49

6.8. а) lim

x4 - 3x

2 + 5

;

+ 6x - x3

x®¥ 1

в) lim

x - 5

;

x®5

+ 4 - 3

6.9. а) lim

3x3 - 5x2 -1

;

x®¥ 2x + 4x3 + x5

в) lim

x - 3

;

x®3

2x + 3 - 3

6.10. а) lim

7 - 8x3

;

4x + 3

x®¥ 2x3 +

в) lim

8 - x

- 2

;

x®4 x

2 - 5x + 4

6.11. а) lim

x8 - 2x6 + 5x

;

3x5

- 7x2

x®¥

-1

;

в) lim

3x - 5

x®2 x

2 + 4x -12

6.12. а) lim

8 - 3x2

;

5x2

x®¥ 2x4 +

- 4

;

в) lim

5x +1

x®3

x2 - 3x

6.13. а) lim

5x2 - 6x + 2

;

x - 7x2 +1

x®¥

в) lim

x2 -16

;

x®4

x - 3 -1

6.14. а) lim

3x7 - 9x5 + 2x

;

7x3

x®¥ 4x5 -

г) lim 1 - cos8x .

x®0 sin x tg3x

б)

lim

- 6x - 27

;

x®-3 x2 + 5x +

г) lim

cos 2x - cos 6x

x®0

xarcsin 7x

б)

lim

x3 +1

;

+ 9x +

x®-1 x2

xtg

г)

lim

;

cos 3x - cos 2

x ®0

б)

lim

+ 2x -15

;

x2 - 9

x®3

г)

lim

sin x tg2 5x

x2 tg 2x

x®0

б)

lim

- 7x - 44

;

x®-4 x2 + 3x -

г)

lim

cos2 x - cos3 x

arcsin2

x®0

б)

lim

x3 + 8

;

- 4x -

x®-2 x2

г)

lim

tg2 4x

x®0 cos3x - cos x

б)

lim

- 8x +15

;

x2 - 25

x®5

г)

lim

arctg2 x

x®0 1 - cos x

б)

lim

- 7x -

;

+ 8x +

x®-3 x2

г) lim

x(1 - cos x)

x®0

arcsin3 x

б)

lim

x 3 - 8

;

x®2

x 2 - 9x + 14

г) lim

sin 3x - sin 5x

x®0

sin 2x

б)

lim

x2 - 36

;

- 4x -12

x®6 x2

в)

lim

x + 7 - 2

;

x®-3 x2 + 5x + 6

6.15. а) lim

8x3 -1

;

+ 5x3

x®¥ 2x4

в)

lim

2 + x

;

x®-1

2x + 3 -1

6.16. а) lim

1 - x4

;

+ 2x3

x®¥ 5x4

в)

lim

7x + 2

- 3

;

x®1

x2 + 4x - 5

6.17. а) lim

8x5

- 3x4 + 7x

;

x®¥ 5x3 - 9x2 + 4

в)

lim

x2 +

9x - 22

;

x®2

4x +1 - 3

6.18. а) lim

3x2 - 5x + 2

;

+ 4x3

x®¥ 6x5

в)

lim

3x + 4

- 5

;

x®7 x2 + 3x - 70

6.19. а) lim

x6 + 3x5 +10

;

5x3 -

2x6

x®¥ x +

-1

;

в)

lim

2x - 5

x®3 x2 + 8x - 33

6.20. а) lim

2x9

- 5x6 + 4x

;

x5 + 8x3 - 2

x®¥

в)

lim

x2 - 4x

;

x®4

5 - x -1

6.21. а) lim

9x + 4x3

;

5x2 -

7x6

x®¥ 2 +

в)

lim

9 + x

-1

;

x®-8

x2 + 8x

6.22. а) lim

- x4 + x3

;

+ 5x3

x®¥ 2x4

в)

lim

x2 + x -12

;

x®3	x + 6	- 3

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

lim		arc tg2 3x				.
lim						.
x®0 cos5x - cos 7x
lim		x2	+ 9x + 20	;
lim			- 6x - 40	;
x®-4 x2			- 6x - 40
lim	cos2 6x - cos3 6x
lim			sin2 2x
x®0			sin2 2x
lim			x3 + 27		;
lim			-10x - 39		;
x®-3 x2			-10x - 39

lim

x tg 5x

x®0 arc sin 4x

lim

x2 - 5x -14

;

x2 -

x®7

sin 2

lim

cos 6x - cos10x

x ®0

lim

x2 + 6x -16

;

x®2 x2 -12x +

lim

1 - cos 4x

x®0 ar ctg 3xsin 2x

lim

x3 - 64

;

x®4 x2 +11x -

x sin

lim

x ®0

1 - cos 6x

lim

x2 - 64

;

x®-8 x2 - 4x - 96

lim

arcsin3 x

x tg2 6x

x®0

lim

x2 + 3x - 54

;

x2 - 9x +18

x®6

lim

xsin 3x

x®0 ar ctg2 5x

lim

x2 - x - 20

;

x3 +

x®-4

lim

cos2 3x

-1

x tg 4x

x®0

6.23. а) lim 8x7 + 3x5 -1; x®¥ 2x4 + 5x + 3

в)

lim

4x - 3 - 3

;

x®3

x2 - 3x

6.24. а) lim

3 - 5x - x4

;

8x6

x®¥ 2x3 + 9x4 +

в)

lim

x2 +10x -11

;

x®1

10 - x - 3

2x + x6 + x7

6.25. а) lim

;

x®¥ 8x7 -10x4 +

в)

lim

5 - 2x

- 3

;

x®-2

x2 + 2x

6.26. а) lim

1 + 3x - 5x4

;

x®¥ 2x2 - 6x4 +

в)

lim

x2 - 3x -10

;

x®5

x + 4 - 3

6.27. а) lim

x2 - 7x5 + 3

;

1 - 8x3

x®¥

-1

;

в)

lim

3x +1

x2 + 8x

x®0

6.28. а) lim

3x2 + 8x - 5

;

x®¥ 4 - 7x + 5x2

в)

lim

1 - x3 -1

;

x3 + 7x

x®0

x5 + 4x3 - 2x2

6.29. а) lim

;

x®¥ 3x4 + 7x +

в)

lim

- 3

;

x®9 x2 + 2x - 99

6.30. а) lim

8x3 - 5x2 + 3

;

7x2

x®¥ 2x7 + 4x5 +

в) lim

6x +1

- 5

;

x®4 x2 - 7x +12

б) lim

- 4x - 45

;

- 81

x®9

г) lim

cos x

- cos2 x

sin2 3x

x®0

б) lim

+ 8x - 20

;

-14x +

x®2 x2

г) lim

arctg3 x

x®0 xsin2

б) lim

x3 -125

;

x®5 x2

- 6x + 5

г) lim

1 - cos2 5x

sin x tg 3x

x®0

б) lim

-100

;

-12x +

x®10 x2

г) lim

xarctg5x

x ®0

1 - cos 2 3x

б) lim

+12x - 45

;

x2 -

9x +18

x®3

г) lim sin 3x - sin 9x . x®0 tg8x

б)

lim

-1

;

x®-1 x2

2x - 3

г)

lim

x tg 5x

x - cos2

x®0 cos4

б)

lim

2 -1

;

- 9x + 8

x®1 x2

г)

lim

- cos10x

x®0 sin 3xarc tg 2x

б)

lim

+10x + 21

;

x®-7 x2 - 5x - 84

г) lim

x2 arcsin 3x

tg3 4x

x®0

5. Диференціювання функції однієї змінної.

Завдання №7. Обчислити похідну.

7.1. a) y(x )= ln(cos x)+	1	tg 2 x ;	б) x × sin y + x2

2

ìx = 2sin2 t + cos4 t

=10 ;в) í .

ïîy = sin4 t

7.2. a)

y(x) = e 2 x+1 - x ×e 2 x+1 ;

б) cos y = cos2 x ;

ìx = t + ln sin t

в) í

îy

= t - ln cos t

ìx = 6arctg 3t + 5

7.3. a)

y(x)= x × arcsin x + 1 - x

;

б)

= x

× ln x ;

в) í

9t2 )

ïy = ln (1

t +1

ïx

7.4. a)

y(x)= sin 2 x - cos 2x ;

б)

x2 + x ;

t .

в) í

t -1

ïy

7.5.a)

7.6.a)

7.7.a)

7.8.a)

7.9.a)

y(x )= arctg

ìx = cost + t sin t

+ arcctgx ;

= sin x ;

б)

в) í

îy = sin t - t cos t

ìx =

(t +1)2 - 6t

y(x)= ln(1 + x2 )- 2x × arctgx ;

- x2 = 3x ;

б)

в) í

ïy =

- 2t

+ 4t

ìx = 2ctg t

y(x )=

y = 1+ x ×e y ;

x 2

-1 - arccos

1 .

;

б)

в) í

ïy =

cos

æ			x ö				2
y(x )= lnçtg				÷	- cos x × ln(tgx) ;б) x			= cos y + sin x ;

è		2 ø
y(x )=	1+ e x		+ ln e x ;			б) sin y = ex2 +3 x ;
	e x

ì	- 6e	-t
ïx =1	- 6e	.
в) í		.
ïy =1	+ 2e3t
î
ìx = arcsin 3t
ï			.
в) í
в) í
ïy =	1 - 9t 2
î

7.10. a)

y(x)= ln( x +1 +1)- ln(

x + 1 -1);

б) e x = e y

ïx = 3cos

+ cos x ;в) í

ïy = 2sin

3 t

7.11. a)

y(x )= ln(sin x)+

ctg 2 x ;

б) x3 + y3

- 3x × y = 0 ;

ìx = t + ln cost

в) í

îy = t - ln sin t

ìx = ln (1 + t2 )

7.12. a) y(x)= -ln(1 + x2 )- 2x × arcctgx ; б) y2 = arccos x ;в) ïí .

ïîy = t - arctgt

ïx

7.13. a)

y(x)= - arcsin(cos x)- 2x + tgx ;

б) 3x = x × y 2 ;

1 + t .

в) í

ïy

1 + t

y(x )= arctg(e x )+

ln(1 + e2 x );

7.14. a)

б) x × cos y =1 + y

;в) íx = sin t

îy = 2t + sin 2t

x ö

= 2t - t

ïx

7.15. a)

y(x )= -lnçctg

+ cos x × ln(ctgx) ;

б) x × y

= e

;в)

2 ø

ïy

= 6t - 2t3

7.16. a)

+ x ;

б) x 3

= cos x + cos y ;в)

ìx = t cost - sin t

y(x)= arccos(sin x)+ x + ex

îy = t sin t

+ cost

7.17. a)

y(x)= ln(cos2 x)+ tg 2 x ;

б)

x × y = e y ;

в)

ìx = ln sin t + 3

îy = 2ctgt

-1

ïx =

7.18. a)

y(x)= ln x +1 + arctg

x ;

б) sin y = sin 2

sin2 t .

x ;в) í

îy = 2 tg t

-t

7.19. a)

y(x )= (1 - x

)× arctgx +

- x ;

б)

+ y = e

;

в)

ïx = t e

- 2)et

ïy = (t

y(x )= 2ln

ìx = ln cost - t

sin x +

ctg 2 x ;

7.20. a)

б)

y = x3

+ cos y ;в) í

îy = ln sin t + t

= 8cos

7.21. a)

y(x)= sin 4

x - cos4 x ;

б)

x + y2

= ex ;

в)

ïx

= 4sin

ïy

4 t

= 2arctg (t

)+1

7.22. a)

y(x)= x × (cos(ln x)- sin(ln x));

б)

x × y = cos x ;

в)

ïx

ïy = ln (1 + t6 )

ïx

7.23. a)

y(x)= 3ctgx + ctg 3 x ;

б) x2 + y2

+ x2 × y2 = 2 ;

2t .

в) í

1 - t

ïy

7.24. a) y(x)= (2 - x2 )× cos x + 2x × sin x ;

б)

y × sin x + y =

1; в)

ïx = arcsin

îy =

t - t

7.25. a)

y(x)= ln(sin 2 x)+ ctg 2 x ;

б)

y × cos x = 8 - x2 ;

в)

ìx = 4cos 2t

= 4t - sin 4t

îy

= t

+ 3t +1

7.26. a)

y(x)=

1 - x2 × arcsin x - x

б) ex = x + y 2 ;

в)

ïx

ïy

= 3t5 + 5t3 +1

7.27. a)

y(x )= x

× arcsinæ

ö + 9 - x 2 ;

б)

x × sin y = cos x ; в)

ïx =1 + sin

t .

è 3

ïy =1 - cos2 t

- t) e

-t

7.28. а)

y(x)=

x - arctg

x ;

б)

x × y = sin x ;

ïx = (4

в) í

= (t

- 6)et

ïy

7.29. a)

y(x)= (1 + x 2 )× arctgx - x ;

б) y 4 = sin(4x + 5)+ x 2

ìx = ln sin t - t

;в) í

îy = ln cost + t

ìx = cos3 5t

7.30. a) y(x)= x × ln(x - x2 +1)+ x2 +1 ; б) e x×y = 2cos x ; в) ï .

íïîy = sin3 5t

Завдання №8. Скласти рівняння дотичної і нормалі.

8.1.до параболи y = x 2 - 3x + 4 в точці з абсцисою x = 1.

8.2.до кривої y = x3 + 2x -1 в точці з абсцисою x = 0 .

8.3.до параболи y = 4 - x 2 в точці з абсцисою x = -1.

8.4. до гіперболи y = 12 в точці з абсцисою x = 2 . x

8.5. до кривої y = 1 x3 - 2x2 + 2x +1 в точці з абсцисою x = 3 . 3

8.6. до параболи y = -x2 + 5x - 2 в точці з абсцисою x = -1.

8.7. до кривої y = 1 x 3 - 4x + 2 в точці з абсцисою x = 3 . 3

8.8. до гіперболи y = - 2 в точці з абсцисою x = -1. x

8.9.до параболи y = x 2 + 3x + 2 в точці з абсцисою x = 0 .

8.10.до кривої y = -x 3 + x 2 - 2x - 2 в точці з абсцисою x =1.

8.11.до параболи y = 1 x 2 + 2 в точці з абсцисою x = -2 .

8.12. до гіперболи y =	6	в точці з абсцисою x = -1.
	x

8.13. до параболи y = 2 - 1 x - x 2 в точці з абсцисою x = -1.

8.14.до кривої y = x3 + 4x 2 - 5x + 1 в точці з абсцисою x =1.

8.15.до параболи y = -x 2 + 8 в точці з абсцисою x = -2 .

8.16. до гіперболи y = - 4 в точці з абсцисою x = 2 . x

8.17.до кривої y = x3 + 4x 2 -1 в точці з абсцисою x = -1.

8.18.до параболи y = -4 + 5x - x 2 в точці з абсцисою x = 2 .

8.19. до гіперболи y = 8 в точці з абсцисою x = 2 . x

8.20.до кривої y = 3x3 + x2 - 2x в точці з абсцисою x =1.

8.21.до параболи y = -x 2 - 4x + 2 в точці з абсцисою x = -3.

8.22.до кривої y = x3 - 4x 2 + 2x + 5 в точці з абсцисою x = 2 .

8.23. до гіперболи y = -10 в точці з абсцисою x = 2 . x

8.24. до параболи y = 1 x 2 - 3x - 5 в точці з абсцисою x = -1.

8.25. до кривої y = 1 x 3 - x 2 + 1 в точці з абсцисою x = 3 . 3

8.26. до параболи y = -12x 2 - 5x + 4 в точці з абсцисою x = 0 .

8.27. до гіперболи y =

в точці з абсцисою x =

8.28. до параболи y =

x 2

- x + 2 в точці з абсцисою x = 2 .

8.29. до кривої y =

x3 - 2x - 1 в точці з абсцисою x = 3 .

8.30. до гіперболи y = -

в точці з абсцисою x = -2 .

Завдання №9. Дослідити на екстремум функції.

9.1. y = 2x 3 - 9x 2 - 24x -12 .

9.2. y = -x 3 -3x 2 + 9x +15.

9.3. y =

x3 -

x 2 - 2x + 2 .

9.4. y = -2x3 + 21x 2 - 36x - 4 .

9.5. y = x3 +12x 2 + 36x - 50 .

9.6. y = -x3 + 9x 2 -15x - 3 .

9.7. y = x3 - 3x 2 + 5 .

9.8. y = -

x3 +

x 2

- 3x + 2 .

9.9. y = 3x 3 - 9x 2 - 27x + 30 .

9.10. y = -

x 3

- 4x 2

-15x + 4 .

9.11. y = 2x3 - 21x 2 + 36x - 20 .

9.12. y = -

x 3

- 3x 2 - 8x + 5 .

9.13. y = x3 -

x 2 + 6x - 2 .

9.14. y = -4x3 + 18x 2

- 15x + 10 .

9.15. y =

x 2 - 2x

+ 1.

9.16. y = -

x 3

- x 2 + 6 .

9.17. y = -2x3 +15x 2 - 24x + 9 .

9.18. y = -

x 3

- 2x 2 - 3x + 4 .

9.19. y =

x 3

x 2 + 2x

- 4 .

9.20. y = -

x 3

x 2

+ 2x - 5 .

9.21. y = 4x 3 -18x 2 +15x - 20 .

9.22. y = -

x 3

x 2

+ x + 4 .

9.23. y = x3 + 3x 2 - 9x - 5 .

9.24. y = -

x 2 - x + 2 .

9.25. y =

x 3 - 2x 2 + 3x +1.

9.26. y = -x3 +

x 2 - 2x - 3.

9.27. y = 2x 3 -15x 2 + 36x +10 .

9.28. y = -

x 3

+ 2x 2 - 3x + 5 .

9.29. y = x3 -9x 2 +15x -3 .

9.30. y = -

x 2 - 6x + 2 .

6. Диференціювання функцій багатьох змінних.

Завдання №10. Знайти частинні похідні другого порядку функції z = f (x, y) і

	¢¢	¢¢
показати, що z xy		= z yx .	10.2. z = y3 ln(2x).
10.1. z = y 2	× e2 x .
10.3. z = e3 x + y 4 - y 2 .			10.4. z = 4 y + cos(2 y - x).
10.5. z = (x2	+ x)× e3 y .		10.6. z = y5 × cos(2x).
10.7. z = y2 × x + ln(x3 ).			10.8. z = cos(4x + y)-			y 2	.

			2
10.9. z = (y 2	+ 4 y - 2)× e5 x .		10.10. z = x × y -	x2	.

				y

10.11. z = ln(3x)- y 2 × x. 10.13. z = (2 + x2 )× ln(y3 ). 10.15. z = 2x + sin(5x - y). 10.17. z = x3 × y + ln(2 y). 10.19. z = y2 + cos(6 y - x). 10.21. z = x5 × e2 y .

10.23. z = cos(x +1)- y2 × sin x.

10.25. z = 3x × y - y 2 . x

10.27. z = sin(2 y + 4x)+ x2 .

10.29. z = x3 × y 2 - x . y

Завдання №11. Задані функція

10.12. z = sin(2 + y)+ x3 cos(2 y). 10.14. z = x4 × sin(4 y).

10.16. z = x3 × ln(3y). 10.18. z = x3 + ex+2 y .

10.20. z = 5x × y 2 - ln(x × y). 10.22. z = (2 + y3 )× ln(x2 ). 10.24. z = ln(1 + 3y)- x2 × y.

10.26. z = (cos5 - sin 4 y)× e7 x . 10.28. z = x2 × y - ln(y2 ). 10.30. z = y 3 - e 2 x + y .

u = f (x, y), точка M 0 (x0 ; y0 ) і вектор a = (ax ;ay ).

функціїu точці M 0

Знайти:

а) Похідну

за напрямом вектора a .

б) Градієнт і напрям градієнта функції u в точці M 0 .

11.1. u = x3

+ 2хy + у3 ,

M 0 (1;1),

= (5;12).

11.2. u = x ×sin(x2 - y),

M 0 (2;4),

= (- 12;5).

11.3. u = ln(x2 - xy),

M 0 (5;1),

= (3;4).

11.4. u = y2

× e(x-1)×y ,

M 0 (1;2),

= (- 4;3).

11.5. u = x4

- 5хy + у 2 ,

M 0 (1;-1),

= (- 3;-4).

11.6. u = x + sin(x2

× y),

M 0 (- 2;0),

= (6;8).

11.7. u = ln(x × y)+ y2 ,

M 0 (1;1),

= (- 3;4).

11.8. u = e

2 y-1

æ x -1

+ x

= (8;-6).

× cosç

ç1;

÷,

11.9. u = x3

- хy2 + у3 ,

M 0 (2;-1),

= (5;-12).

11.10. u = x2

× ln(2 y + 3e);

M 0 (e;-e),

= (4;3).

11.11.u = ex×(y-2 ) - 2x2 × y,

11.12.u = ln(x2 + y 2 ),

11.13.u = x3 × y - 5х2 ,

11.14.u = y3 × ex×y ;

11.15.u = ln(5x - y3 ),

11.16.u = y × sin(y2 - x),

11.17.u = ln(x2 × y)- y3 ,

11.18.u = y2 × ln(2x + e),

11.19.u = 2x2 - х × y + у3 ,

11.20.u = ln(x × y)+ x3 × y,

11.21.u = tg(x2 - 4 y 2 ),

11.22.u = ln(y 2 + xy),

11.23.u = cos(2x - 4 y)+ y ;

11.24.u = e1-2 x × cos(y -1)+ y2 ,

11.25.u = arctg (x + y 2 ),

11.26.u = x2 + y2 ,

11.27.u = 2ln(x × y)+ x × y,

11.28.u = ln(x3 - y2 )+ x - y,

11.29.u = x × sin(x - y)+ x × y,

11.30.u = 6x2 × y - х3 ,

M 0 (1;2),						r	= (5;12).
						a
M 0 (3;2),						r	= (- 6;8).
						a
M 0 (1;-1),						r	= (- 6;-8).
						a
M 0 (0;1),						r	= (- 3;4).
						a
M 0 (3;-2),						r	= (- 5;12).
						a
M 0 (4;2),						r	= (- 3;4).
						a
M 0 (2;2),						r	= (- 8;6).
						a
M 0 (0;e),						r	= (5;12).
						a
						r	= (3;-4).
M 0 (- 2;-1), a
M 0 (- 2;2),						r	= (6;8).
						a
M 0 (2;1),						r	= (- 3;4).
						a
M 0 (5;1),						r	= (- 5;12).
						a
M		æ 1		1	ö	r	= (- 6;-8).
	0	ç	;		÷,	a
				4
		è 2			ø
M		æ 1		ö		r	= (3;4).
	0	ç	;1÷,			a

		è 2		ø		r
M 0 (1;1),							= (- 3;4).
						a
M 0 (3;4),						r	= (12;5).
						a
M 0 (1;1),						r	= (- 3;-4).
						a
M 0 (2;2),						r	= (6;-8).
						a
M 0 (1;1),						r	= (3;4).
						a
M 0 (1;2),						r	= (5;-12).
						a

7. Невизначений інтеграл.

Завдання №12. Обчислити невизначені інтеграли.

12.1. а) òç

÷dx ;

б)

ò x

+ 3÷

dx ;

9 - x2

sin xdx

12.2. а)

+ 3

÷dx ;

б) ò

;

cos

(3x)

(2 - cos x)

12.3. а)

ç x

÷dx ;

) бx

tgç

- 2

÷dx ;

x 25 - x2

- 3x

12.4. а)

÷dx ;

)бò

;

x2 - 9

+1÷

ç 2

(1 + ln(x +1)) dx

12.5. а)

÷dx ;

б)

;

x +1

è x

25 - x2 ø

в) ò x ln xdx .

в) ò x(1 + x).

в) ò x2 + 2x - 3 .

в) ò (x -1)(x - 3).

в) ò(3x -1)sin(3x)dx .

-5

(tgx -1)2 dx

12.6. а)

- x

- tg

(5x )÷dx ;

) б

cos2

;

в)

x+2

æ 1

ö5

12.7. а) ò

- e

+ ctg

3x ÷dx ;

б)

ò x

+ 5÷

dx ;

в)

è x3

è 4

cos xdx

12.8. а) ò

èç x

ø÷dx ;

)

òб(sin x - 4)3

;

в)

sin(x + 9)

2 x

)бò x sinç

÷dx ;

12.9. а) ò

çe

4 + x2

÷dx ;

+ 9

в)

			dx
ò			(1 +		).
		x		x
ò			dx			.
	x2		- 4x + 29

ò (x + 1)(x - 2);.

ò(2x - 5)e2x dx .

e dx

12.10. а)

òçsin(x - 6)+

÷dx ; б) ò

;

sin

(4x

4 - e

2 x

)ø

+ ln x

12.11. а)

÷dx ;

б)

;

è x + 1

x x2 - 4

(arctgx + 1)

- x - 5 ÷

12.12. а)

÷dx ;

б)

;

1 + x

+ tgx

ç tg

12.13. а)

÷dx ;

)

òб

;

+ 1

(x3 -

cos xdx

12.14. а)

5sin(2x) +

2cos

x ÷dx ;

б)

;

ò sin 2

x + 2

x dx

12.15. а)

çe

÷dx ;

б)

;

sin (3x )

sin 2 ç

x3 + 7

в) ò			dx	.
	x

			x - 3
в) ò			dx		.

		x2 - 2x +17
		x2 - 2x +17

xdx

в) ò (x + 2)(x - 3).

в)	ò	xdx			.

		sin 2 x
в)	ò			dx		.
		x

				x + 7
в)	ò				dx		.
		x	2	+ 10x + 106

12.16.а)

12.17.а)

12.18.а)

12.19.а)

12.20.а)

12.21.а)

æ sin 2

x + 5

òç

- x

÷dx ;

б)

sin x

- x

÷dx ;

òç

+ (x -1)

x + 4

òç

- x

÷dx ;

cos2 x - cos x ö

òç2x

÷dx

;

cos x

òç

(x + 2)

)÷dx ;

sin 2 (4x

4 x æ 1

4 x

òe

- 2÷

dx ;

è 4

)

sin xdx

;

4 - cos2

б) ò

4x3dx

;

(x4

+ 6)

б)

;

x(1 + ln x)

(x -1)dx

в) ò (x - 2)(x + 3).

в) ò xdx . cos2 x

в)	ò				xdx	.
		2

					x - 2
в)	ò				dx		.
			x	2	- 2x - 80

)бò

x4 dx

; в)

(x +1)dx

cos

- 2

(x + 2)(x - 3)

2 x

+ 2 dx ; в) ò(4x + 6)cos(4x)dx .

òç

÷dx ;

)бòe

25 + x2

è x

2 x

2xdx

x + 2 dx

12.22. а)

ç x

- e

)÷dx ;

б)

;

в)

cos2 (3x

+ 5

2 x

cos xdx

12.23. а)

+ 6)

- e

÷dx ;

)

;

в)

x - 2

sin 2

x - 6

- x2

+ 2x + 8

x4 -2

12.24. а)

çcos

x - 5

÷dx ;

б) òe4

dx ;

в)

(x + 4)(x - 5)

3 x

(5x - 2)sin(3x)dx .

12.25.а)

(x - 5)

÷dx ; б)

;

cos

ò x(9 - ln 2

12.26. а) ò(4x

+ tg(3x)+ x10 )dx ;

12.27. а)

òç

+ 4

x ÷dx ;

- x

x -1

è 9

x - 4

+ x

12.28. а)

òç

sin

(4x

÷dx ;

)

x-3

12.29. а)

òçe

2x - 2 +

÷dx ;

cos x ø

ctg

12.30. а)

x4 +

x + ctgx

÷dx ;

òç

ctgx

б) ò

5x4 dx

;

в) ò

x - 6 dx

- 2

б) ò

sin xdx

; в) ò

4x -

3 - cos

б) ò

(arcsin x + 5)2 dx

; в)

xdx

- 4)(x + 5)

1 - x2

2xdx

(

- x)dx

в) ò

x +1

) ò

;

x2 - 5

x +1

б) ò

3 - ctgx

x - 4 × x dx .

; в) ò

sin

8. Визначений інтеграл.

Завдання №13. Обчислити визначені інтеграли.

e	3 ln 2 x
13.4. ò		dx .
13.4. ò	x	dx .
1	x

1dx

13.7.ò0 x 2 - 5x - 6 .

13.13.ò x ln 2x dx .

1
4	15x dx
13.16. ò	15x dx	.
13.16. ò	2 3	.
2	(x -1)

3sin x dx

13.19.ò0 3 - cos x .

4dx

13.5.ò .

1x + x

13.8. ò xe2 x dx .

0
13.11. ò2	5
13.11. ò2	x(x 2 -1) dx .
-1

4x - 2 +1

13.14.ò dx .

3 x - 2

p				x
13.17. ò xsin				x	dx .
13.17. ò xsin					dx .
0			2
1	ex dx
13.20. ò						.
13.20. ò	e	x	+ 5			.
0	e		+ 5

4
13.3. ò		3x	x 2 - 7	dx .
2	2

13.6. ò 2x9 - x 2 dx .

4x +1

13.9.ò dx .

1 x

3			128x dx
13.12. ò									.
13.12. ò			(1 + x				2	5	.
1			(1 + x					)
				x dx
	3
13.15. ò										.

		2			x	2	+1
0		2			x		+1
1			6x2 dx
13.18. ò								.
13.18. ò		2x		3	+1			.
0		2x			+1

4dx

13.21.ò0 1 + x .

cos x dx

13.22. ò x cos(2x )dx .

13.23. ò

13.24. ò

2sin xdx

2 + sin x

+ 4x + 5

xdx

13.25. ò

13.26. ò

13.27. ò x3

x4 +16

dx .

(1 - cos x)

1 + 3x

ln 3

arctgx

13.28. ò

(x + 2)

dx .

13.29. ò

e dx

13.30. ò

x - 2

2 x

ln 2

-1

+ 1

Завдання №14. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

14.1.2x - 3y - 6 = 0 , y = 0 , x = 4 і x = 6 . Зробити рисунок.

14.2.y = 2 - x2 і y = x . Зробити рисунок.

14.3.3x - 2 y + 6 = 0 , y = 0 , x =1 і x = 3 . Зробити рисунок.

14.4. y = - 1 x2 + 3, x = -1, x = 2 і y = 0 . Зробити рисунок. 3

14.5.3x + 2 y =12 , y = 0 , x =1 і x = 3 . Зробити рисунок.

14.6.y = 2 + x2 , x = 0, x = 2 і y = 0. Зробити рисунок.

14.7.2x - y - 2 = 0, 2x - 3y + 8 = 0 , x = -1 і x =1. Зробити рисунок.

14.8.y = 9 - x2 , x = -1, x = 2 і y = 0. Зробити рисунок.

14.9.3x - 4 y -12 = 0 , y = 0 , x = 5 і x = 7 . Зробити рисунок.

14.10.y = 3x2 -1 і y = 3x + 5 . Зробити рисунок.

14.11.4x - 3y +12 = 0 , y = 0 , x = 0 і x = 3 . Зробити рисунок.

14.12. y = - 1 x2 + 4, x = -2, x = 3 і y = 0. Зробити рисунок.

14.13.5x + 6 y = 30 , y = 0 , x = 0 і x = 5 . Зробити рисунок.

14.14.y = (x - 3)2 , x = 0, x = 2 та y = 0. Зробити рисунок.

14.15.x - 5y +1 = 0, x - 2 y - 2 = 0 , x = -1 і x =1. Зробити рисунок.

14.16. y = 4 - x2 , x = -1, x =1 і y = 0. Зробити рисунок.

14.17.4x - 5y - 20 = 0 , y = 0 , x = 6 і x = 7 . Зробити рисунок.

14.18.y = x2 + 2 і y = 4 - x . Зробити рисунок.

14.19.5x - 4 y + 20 = 0 , y = 0 , x = 2 і x = 3 . Зробити рисунок.

14.20. y = - 1 x2 + 5, x = -4, x =1 і y = 0. Зробити рисунок. 5

14.21.	2x + 3y = 6 , y = 0 , x =1	і x = 2 . Зробити рисунок.
14.22.	y = (x - 5)2 , x = 6, x = 7	і y = 0. Зробити рисунок.

14.23.4x - 3y + 4 = 0, 4x - y - 4 = 0, x = -1 і x =1. Зробити рисунок.

14.24.y =16 - x2 , x = -3, x = 2 і y = 0. Зробити рисунок.

14.25.x + y +1 = 0 , y = 0 , x = -2 і x = -3 . Зробити рисунок.

14.26.y = 2 - x2 , x = 0, x =1 і y = 0. Зробити рисунок.

14.27.y = x2 , x = y 2 . Зробити рисунок.

14.28.x + y - 4 = 0 , y = 0 , x = 0 і x = 2 . Зробити рисунок.

14.29. y = -

+ 6, x = -1, x = 5 і y = 0. Зробити рисунок.

x =1 і x = 3 . Зробити рисунок.

14.30. x + y = 5 ,

y = 0 ,

9. Диференціальні рівняння

Завдання №15. Розв’язати диференціальні рівняння.

15.1. yy¢ =1 - x 2 .

15.2. x × (y -1)y¢ = y2 .

15.3. (1 - x)y¢ =1 + y .

15.4.

(1 - x2 )y¢ = y2

+ 1.

15.5. x 2 y¢ =1 - y .

15.6.

y¢ =

1 - x 2

1 - y2

= (x +1)y .

15.8. cosx × siny y

= cosy ×sinx .

15.7. xy

15.9. ey (1 + ex )y¢ = -ex (1 + e y ).

15.10.

y¢

= ex2 .

15.11. xy¢ = ln

15.12. xy¢ = y(1 + lny)

15.14. (x +1)yy

15.13.

= -

y .

=1.

x y

15.15. (1 + x2 )y¢ = 2x(y + 1).

15.16. (1 + x 2 )yy¢ = x(y2 -1).

15.17. x

= y(x

+ 1).

15.18. (y +1)y ctgx = y .

= cos

y .

15.20. (y -1)xy

= y(1 + x).

15.19. y tgx

= x.

=1 + y .

15.22.

1 - x

15.21. y tgx

15.23.

y¢ =

(1 -

15.24. (x -1)y¢ = y +1.

15.25. (1 - x

= -2xy .

= -y .

15.26. y ctgx

= -sin

y .

15.28.

x (1 +

y )y

= y.

15.27. y cos

15.29. x 2 yy¢ =1 + x .

15.30. (1 + e2x )yy¢ = ex .

Завдання №16. Розв’язати диференціальні рівняння.

16.1. xyy¢ = x 2

+ y2 .

16.2. y¢ + ytgx = sinx .

16.3. 2xyy¢ = -x2

+ 2 y2 .

16.4. xy¢ - y = -x .

16.5. x 2 y¢ = xy - y 2 .

16.6. xy¢ + y = sin x .

16.7. x

= y

+ xy + x

16.8. y

16.9. xy¢ - y = xtg y . x

16.11. x 3 y¢ = x 2 y + y3 .

16.12. y¢ - y = ex x . x


16.13. x y¢ = y - 2 xy .			16.14. y¢ + y = e- x .
16.15. xyy¢ = y2 -	x2	.	16.16. y¢ - y × ctgx = sin 2 x .

2

2xy

16.19. xy

= xcos

+ y .

16.20. y

=1 + x

1 + x 2

16.21. xy 2 y¢ = x3

+ y3 .

16.22. y¢ - y ×sinx = sin x.

16.23. x y¢ = -x + y.

16.24. y¢ - yctgx = cos x .

16.26. y

- yctgx

16.25. xy = y - xe

sin x

16.27. xy¢ = yln

16.28. y¢ +

x +1

16.29. x 2 y¢ = xy + y2 .

16.30. y¢ + y × tgx =

cosx

Завдання №17. Знайти розв’язок диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам.

17.1.y¢¢ - 8y¢ +16y = 0,

17.2.y¢¢ + 2y¢ + 5y = 0,

17.3.y¢¢ + 5y¢ + 4y = 0,

17.4.y¢¢ + 10y¢ + 25y = 0,

17.5.y¢¢ - 4y¢ +13y = 0,

17.6.y¢¢ - 6y¢ + 5y = 0,

17.7.y¢¢ -14y¢ + 49y = 0,

17.8.y¢¢ -10y¢ + 29y = 0,

17.9.y¢¢ + y¢ - 6y = 0,

17.10.y¢¢ -12y¢ + 36y = 0,

17.11.y¢¢ - 2y¢ + 5y = 0,

17.12.y¢¢ - 7y¢ +10y = 0,

17.13.y¢¢ + 2y¢ + y = 0,

17.14.y¢¢ - 6y¢ +18y = 0,

17.15.y¢¢ + 7y¢ + 12y = 0,

17.16.y¢¢ + 14y¢ + 49y = 0,

17.17.y¢¢ + 4y¢ + 13y = 0,

17.18.y¢¢ - 5y¢ - 6y = 0,

17.19.y¢¢ -16y¢ + 64y = 0,

17.20.y¢¢ - 2y¢ + 2y = 0,

17.21.y¢¢ - 3y¢ - 4y = 0,

17.22.y¢¢ + 18y¢ + 81y = 0,

17.23.y¢¢ + 6y¢ + 18y = 0,

17.24.y¢¢ - 2y¢ - 3y = 0,

y(0)=1,	¢
	y	(0)= 2.
		¢
y(0)= -2, y			(0)= 8.
y(0)=1,		¢
	y		(0)= 2.
		¢
y(0)= -2, y			(0)= 0.
y(0)= 2,		¢	(0)= -2.
	y
y(0)= 2,	¢
	y	(0)= 6.
y(0)=1,	¢
	y	(0)= 4.
		¢
y(0)= -1, y (0)= 3.
y(0)= 2,	¢
	y	(0)= 4.
y(0)= 2,	¢
	y (0)=13.
y(0)=1,	¢
	y	(0)= 3.
y(0)= 4,		¢
	y (0)= 2.
		¢
y(0)= -3, y			(0)=1;
		¢
y(0)= -1, y (0)= 3.
y(0)=1,	¢
	y	(0)=1.
y(0)= 0,	¢
	y	(0)= 3.
y(0)= 3,	¢	(0)= 0.
	y
y(0)= 7,	¢
	y	(0)= 7.
	¢
y(0)= -1, y		(0)=1.
	¢
y(0)= -1, y		(0)=1.

¢	(0)= 2.
y(0)= 3, y
¢
y(0)=1, y (0)=1.
¢
y(0)=1, y (0)= -3.
¢
y(0)= 5, y	(0)= 3.

17.25. y	¢¢	- 6y	¢		+ 9y = 0,		y(0)= 2,	¢
								y	(0)= 3.
17.26. y	¢¢	+ 2y		¢	+ 2y = 0,		y(0)=1,	¢	(0)= 2.
								y
17.27. y	¢¢	- 4y	¢		- 5y = 0,		y(0)= 4,	¢
								y	(0)= 2.
17.28. y	¢¢	-10y			¢	+ 25y = 0,		¢
							y(0)= -1, y		(0)= -3.
17.29. y	¢¢	+ 4y	¢		+ 8y = 0,		y (0)=1,	¢
								y	(0)= -4.
17.30. y	¢¢	- 6y	¢		- 7y = 0,		y(0)=1,		¢
								y (0)= -9.

10. Елементи теорії ймовірностей

Завдання №18.

18.1.У цеху працюють 15 жінок та 10 чоловіків . За табельними номерами навмання відібрали 7 осіб. Яка ймовірність того, що серед відібраних працівників чотири жінки та троє чоловіків?

18.2.Що ймовірніше виграти у рівносильного супротивника три партії в шахи з шести чи чотири партії з восьми?

18.3.Вершкове масло фасується на двох однакової потужності технологічних лініях маслозаводу. Ймовірність виходу кондиційної продукції з першої лінії дорівнює 0,85. а з другої – 0,95. Навмання взятий пакет масла виявився кондиційним. Яка ймовірність того, що він розфасований на другій лінії?

18.4.На складі є 20 ящиків рибних консервів, причому у 8 з них консерви

втоматному соусі. Знайти ймовірність того, що серед шести навмання взятих ящиків всі будуть з консервами в томатному соусі.

18.5.Монету підкидають сім разів. Яка ймовірність того, що герб випаде: а) не більше трьох разів; б) більше трьох разів.

18.6.На пивзаводі встановлено вітчизняний та імпортний автомати розливу пива, продуктивність яких 0,4 та 0,6 відповідно. Пляшки з пивом надходять до загального конвеєра. Вітчизняний автомат дає в середньому 5% браку, а імпортний – 2%. Навмання взята з конвеєра пляшка пива виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що вона розлита імпортним автоматом?

18.7.В ящику знаходиться 25 батонів напівкопчених ковбас, причому 14 з них вищого сорту, а решта – першого сорту. Знайти ймовірність того, що із шести навмання взятих ковбасних батонів усі виявляться першого сорту.

18.8.Для визначення цукристості буряків, які надходять із деякого колективного підприємства на цукровий завод, береться проба. Ймовірність високої цукристості за однієї проби дорівнює 0,8. Взяли шість проб на цукристість. Знайти ймовірність того, що цукристість буряків буде високою більш ніж у чотирьох пробах.

18.9.В трьох однакових контейнерах містяться пляшки з мінеральною водою. У першому контейнері 2% некондиційних пляшок, у другому – 3%, в третьому – 1%. Із навмання вибраного контейнера взяли одну пляшку води, яка виявилась некондиційною. Яка ймовірність того, що пляшку взято з другого контейнера?

18.10.В групі 28 студентів з яких 12 дівчат і 16 хлопців. За списком, навмання відібрали 5 студентів для чергування в столовій. Яка ймовірність, що серед них 3 хлопців?

18.11.Під час випуску консервованих огірків буває в середньому 4% браку. Знайти ймовірність того, що серед 20 навмання взятих банок бракованими будуть не більше двох банок.

18.12.На склад надходить продукція з трьох конвеєрних ліній, причому частка кожної з них відповідно дорівнює 35, 40 та 25%. Ймовірність браку для першої лінії становить 2%, для другої – 3%, для третьої – 1%. Навмання взята одиниця продукції не має браку. Знайти ймовірність того, що вона надійшла з першої конвеєрної лінії.

18.13.Серед 50 лотерейних білетів 4 виграшних. Знайти ймовірність того, що серед узятих будь-яких двох білетів обидва виграшні?

18.14.На м’ясокомбінаті встановлено 8 промислових холодильників. Ймовірність виходу з ладу холодильника протягом доби дорівнює 0,14. Обчислити ймовірність того, що протягом доби безперебійно будуть працювати не менше 6 холодильників.

18.15.У двох ящиках міститься по 20 лотків з яйцями. В першому ящику 4 лотки дієтичних яєць, а в другому – 6, решта – яйця першого сорту. З навмання взятого ящика взяли лоток яєць, який виявився лотком з дієтичними яйцями. Знайти ймовірність того, що даний лоток з другого ящика.

18.16.В коробці 4 синіх і 5 червоних олівців. З коробки випало 3 олівці. Яка ймовірність, що два з них червоні?

18.17.Молокозавод обслуговують 12 автомобілів. Ймовірність виходу на лінію кожного з них протягом дня дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що протягом дня працюватимуть не менше 10 автомобілів.

18.18.Продукція перевіряється на стандартність одним з двох контролерів продуктивність праці яких 0,6 та 0,4 відповідно. Ймовірність того, що стандартна продукція була визнана стандартною першим контролером, дорівнює 0,95, а другим – 0,9. Стандартна продукція під час перевірки була визнана стандартною. Знайти ймовірність того, що продукцію перевірив другий контролер.

18.19.В ящику 30 коробок цукерок, причому 12 з них першого сорту, а решта – другого сорту. Знайти ймовірність того, що серед навмання вийнятих 4 коробок 2 – першого сорту.

18.20.Знайти ймовірність того, що із 10 висіяних зерен ячменю проросте не менше восьми, якщо схожість становить 80%.

18.21.На кондитерській фабриці 20% шоколаду виробляється І автоматичною лінією, 40% - ІІ лінією, а решта – ІІІ лінією. Перша лінія допускає 1% браку, від вироблених нею плиток шоколаду, друга лінія допускає 1,5% браку, третя – 0,5% браку. Навмання взята плитка шоколаду виявилась якісною. Знайти ймовірність того, що вона вироблена другою лінією?

18.22.В ящику міститься 50 пляшок мінеральної води, з яких 3 нестандартні. Знайти ймовірність того, що серед трьох навмання взятих пляшок одна виявиться нестандартною?

18.23.У зерносховищі береться проба для визначення вологості зерна. Ймовірність нормальної вологості за однієї проби дорівнює 0,85. Зроблено п’ять проб зерна на вологість. Знайти ймовірність того, що вологість зерна буде нормальною не більше ніж у трьох пробах.

18.24.У колективне підприємство надійшло насіння цукрового буряка з двох насіннєвих заводів, проростання яких становить 94 та 92 відсотки відповідно. На висіяній площі виявлено ділянку з зерном, яке не проросло. Знайти ймовірність того, що там було висіяно насіння другого насіннєвого заводу?

18.25.У партії з 18 яєць 5 несвіжих. З партії взяли 3 яйця . Яка ймовірність того, що всі вони несвіжі?

18.26.Овочева база обслуговує 15 підприємств. Від кожного з них заявка на овочі на наступний день може надійти із ймовірністю 0,8. Знайти ймовірність того, що надійде не менше 13 заявок.

18.27.Магазин приймає тістечка з трьох хлібозаводів, причому частка кожного з них відповідно дорівнює 40, 25 та 35%. Ймовірність неякісної продукції для кожного хлібозаводу становить 2, 1, 3% відповідно. Знайти ймовірність того, що навмання взяте тістечко,яке виявилось якісним, випечене другим хлібозаводом?

18.28.В коробці 7 кульок,серед яких 4 білі. Навмання взяли 3 кульки. Яка ймовірність, що дві з них білі?

18.29Ймовірність того, що відвідувач кафе замовить першу страву, дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що із 20 відвідувачів першу страву замовлять не менше 18 відвідувачів.

18.30.В ящику міститься 12 деталей, виготовлених на заводі №1 і 20 деталей виготовлених на заводі №2. Ймовірність того, що деталь виготовлена на заводі №1 стандартна дорівнює 0,8, для деталей виготовлених на заводі №2 - 0,7. Навмання взята деталь виявилась стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь виготовлена на заводі №1.

Завдання №19. Щоденна кількість сировини, яка надходила на підприємство наведена в таблиці. Знайти закон розподілу і обчислити математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення щоденного об’єму поставок сировини.

19.1.	Олія, щодня (кг)	40	45	48	52	56
	Кількість днів	9	12	15	10	4
19.2.
19.2.	Молоко, щодня (т)	55	57	59	61	63
	Кількість днів	8	11	14	12	15
19.3.
19.3.	Борошно, щодня (ц)	25	29	26	20	27
	Кількість днів	4	10	8	6	2
19.4.
19.4.	Цукор, щодня (кг)	34	35	30	36	37
	Кількість днів	2	8	14	5	1
19.5.
19.5.	Томати, щодня (кг)	95	92	99	93	97
	Кількість днів	8	12	18	26	16
19.6.
19.6.	М’ясо, щодня (т)	12	13	15	16	18
	Кількість днів	8	4	12	16	10

19.7.	Крохмаль, щодня (кг)	41	33	39	30	35
	Кількість днів	4	11	18	10	7
19.8.
19.8.	Морква, щодня (кг)	75	79	71	73	81
	Кількість днів	2	5	11	8	4
19.9.
19.9.	Буряк, щодня (т)	86	79	83	81	87
	Кількість днів	12	14	21	22	11
19.10.
19.10.	Яблука, щодня (т)	73	71	78	70	75
	Кількість днів	13	16	10	17	14
19.11.
19.11.	Олія, щодня (кг)	43	39	51	52	35
	Кількість днів	14	6	9	8	13
19.12.
19.12.	Молоко, щодня (т)	49	52	54	57	55
	Кількість днів	15	16	25	22	12
19.13.
19.13.	Борошно, щодня (ц)	30	31	33	35	36
	Кількість днів	10	13	24	9	4
19.14.
19.14.	Цукор, щодня (т)	30	34	35	36	38
	Кількість днів	4	6	10	7	3
19.15.
19.15.	Томати, щодня (кг)	85	82	83	81	87
	Кількість днів	12	15	20	22	11
19.16.
19.16.	М’ясо, щодня (т)	13	11	18	10	15
	Кількість днів	3	6	10	7	4
19.17.
19.17.	Крохмаль, щодня(ц)	40	42	44	46	48
	Кількість днів	8	5	9	6	2
19.18
19.18	Морква, щодня (кг)	90	91	93	94	95
	Кількість днів	3	9	24	18	6
19.19.
19.19.	Буряк, щодня (т)	87	93	94	95	98
	Кількість днів	11	18	12	6	13
19.20.
19.20.	Яблука, щодня (кг)	65	69	66	68	73
	Кількість днів	16	6	11	14	13

19.21.	Олія, щодня (кг)	50	51	57	45	55
	Кількість днів	7	15	22	10	6
19.22.
19.22.	Молоко, щодня (т)	20	22	23	24	25
	Кількість днів	8	13	16	9	4
19.23.
19.23.	Борошно, щодня (ц)	28	31	29	27	30
	Кількість днів	7	10	15	16	12
19.24.
19.24.	Цукор, щодня (кг)	65	68	61	72	70
	Кількість днів	4	9	24	13	10
19.25.
19.25.	Томати, щодня (кг)	87	91	94	96	98
	Кількість днів	12	17	15	5	11
19.26.
19.26.	М’ясо, щодня (т)	15	19	16	18	17
	Кількість днів	16	6	11	4	3
19.27.
19.27.	Крохмаль, щодня (ц)	25	26	27	29	30
	Кількість днів	4	12	18	14	2
19.28.
19.28.	Морква, щодня (т)	85	87	82	79	88
	Кількість днів	6	12	18	24	20
19.29.
19.29.	Цукор, щодня (т)	79	81	85	87	89
	Кількість днів	3	6	10	16	15
19.30.
19.30.	Буряк, щодня (т)	82	93	85	92	88
	Кількість днів	18	14	12	16	20

Завдання №20. Неперервна випадкова величина X задана функцією розподілу

F(x). Потрібно:

1)знайти щільність розподілу ймовірностей f (х) ;

2)побудувати графіки функцій F (x) та f (х) ;

3)обчислити математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини X ;

4) визначити ймовірність того, що величина X набуде значення з інтервалу

(a;b).

ì0,			при	x £ 0,	ì0,		при		x £ 0,
ï	x2				ï	x2 - 2x
20.1. F (x )= íï		,	при	0 < x £ 3,	20.2. F (x )= íï			,	при 0 < x £ 4,

ï 9			при	x > 3;	ï		8		x > 4;
ï1,					ï1,		при
î					î
а = 2,b = 3.					а =1,b = 2.

ì0,				при			x £ -4,
ï
20.3. F (x )= íï(x				+ 4)2		,	при	-4 < x £ 0,
ï				16			x > 0;
ï1,				при			x > 0;
î
а = -3,=b							-1.
ì0, при						х £ 0,
ï	1
20.5. F (x )= íï	1		х2 , при 0 < х £ 2,
20.5. F (x )= íï			х2 , при 0 < х £ 2,
ï4				при		x > 2;
ï1,				при		x > 2;
î
a =1,b = 2.
ì0,				при			x £ 0,
ï		x2 + x
20.7. F (x )= íï		x2 + x			,		при	0 < x £ 2,
20.7. F (x )= íï					,		при	0 < x £ 2,
ï				6			x > 2;
ï1,				при			x > 2;
î
а =1,b = 2.
ì0,				при			x £ -2,
ï
20.9. F (x )= íï(x				+ 2)2		,	при	-2 < x £ 2,
ï				16			x > 2;
ï1,				при			x > 2;
î

а = 0,b =1.

ì0, при

ï2

20.4.F (x )= ïí(x +1) ,

ï9

ïî1, при

x £ -1,

при -1 < x £ 2,

x > 2;

а = 0,b =1.
ì0,		при		x £1,
ï	(1	- x)2
20.6. F (x )= íï	(1	- x)2	,	при 1 < x £ 4,
ï		9		x > 4;
ï1,		при		x > 4;
î

	а = 2,b = 3.
ì0,		при			x £ 2,
ï
20.8. F (x )= íï(x - 2)2			,		при	2 < x £ 4,
ï		4			x > 4;
ï1,		при			x > 4;
î
a = 1, b = 3.
ì0,		при			x £ 0,
ï	x2 - 3x
20.10. F (x )= íï	x2 - 3x			,	при	0 < x £ 4,
20.10. F (x )= íï				,	при	0 < x £ 4,
ï		4			x > 4;
ï1,		при			x > 4;
î

а =1,b = 3.

ì0,		при		x £ 0,	ì0,		при		x £ 5,
ï	x2 + 2x				ï	(x - 5)		2
20.11. F (x )= íï			,	при	0 < x £ 3, 20.12. F (x )= íï			,	при 5 < x £ 8,
							9
ï		15		x > 3;	ï				x > 8;
ï1,		при			ï1,		при
î					î
а = 2,b = 3.					a = 6, b = 7.

ì0, при			х £ 0,
ï	x2 + 5x
20.13. F (x )= íï	x2 + 5x		, при 0 < х £1,
20.13. F (x )= íï			, при 0 < х £1,
ï		6	x >1;
ï1,		при	x >1;
î

a= 1 ,b =1. 2

ì0, при						x £ 2,
ï		x2 - 4
20.15. F (x )= íï				,		при	2 < x £ 4,

ï			12			x > 4;
ï1,			при
î
а = 3,b = 4.
ì0,			при			x £ 0,
ï	x2 + 3x
20.17. F (x )= íï					,	при	0 < x £ 3,

ï			18			x > 3;
ï1,			при
î

а =1,b = 2.

ì0, при х £ 2,
ï			2
20.14. F (x )= íï(х - 2)					, при 2 < х £ 5,
ï		9
ï1, при x > 5.
î
а = 3,b = 4.
ì0,		при			x £ -3,
ï
20.16. F (x )= íï(x		+ 3)2	,		при	-3 < x £ 3,
ï		36			x > 3;
ï1,		при			x > 3;
î	а = -1,b =1.
	а = -1,b =1.
ì0, при					x £ 0,
ï	x2 - 2x
20.18. F (x )= íï	x2 - 2x			,	при	0 < x £ 5,
20.18. F (x )= íï				,	при	0 < x £ 5,
ï		15			x > 5;
ï1,		при			x > 5;
î

а = 2,b = 4.

ì0,		при		x £1,
ï	(x -1)2
20.19. F (x )= íï	(x -1)2		,	при
ï		4		x > 3;
ï1,		при		x > 3;
î
а = 2,b = 3.
ì0, при х £ -2,
ï		2
20.21. F (x )= íï	(х + 2)		, при - 2
ï		25

ïî1, при x > 3.

а = 0,b = 2.

	ì0,		при		x £ 0,
	ï	x2 + 2x
1 < x £ 3,	20.20. F (x )= íï	x2 + 2x		,	при	0 < x £ 4,
1 < x £ 3,	20.20. F (x )= íï			,	при	0 < x £ 4,
	ï		24		x > 4;
	ï1,		при		x > 4;
	î
	a =1,b = 2.
	ì0,		при		x £ 4,
	ï		- x)2
< х £ 3,	ï(4		- x)2		при	4 < x £ 7,
< х £ 3,	20.22. F (x )= í		,		при	4 < x £ 7,
	ï		9		x > 7;
	ï1,		при		x > 7;
	î

а = 3,b = 6.

ì0,

при

x £ 0,

ì0, при

х £ 0,

+ x

20.23. F (x )= íï

при

0 < x £ 2, 20.24. F (x )= íï

, при 0 < х £ 2,

x > 2;

ï1,

при

ï1,

при

a =1,b = 2.

ì0, при х £ 4,					ì0, при			х £ 0,
ï	(x - 4)		2		ï
ï	(x - 4)				ï x2 + 7x
20.25. F (x )= í		16	, при 4	< х £ 8,	20.26. F (x )= í			, при 0 < х £1,
20.25. F (x )= í			, при 4	< х £ 8,	20.26. F (x )= í		8	, при 0 < х £1,
ï					ï		8	x >1;
ï1,		при x > 8;			ï1,		при	x >1;
î					î	1
a = 5,b = 7.					a =	1	,b =1.
a = 5,b = 7.					a =		,b =1.
					2

ì0,		при		x £ 0,
ï	x2 - x
20.27. F (x )= íï			,	при	0 < x £ 5,

ï		20		x > 5;
ï1,		при
î
а =1,b = 4.
ì0, при х £ -1,
ï
20.29. F (x )= íï(х +1)2				, при	-1 < х £ 3,
ï		16		x > 3.
ï1, при
î

а = 0,b = 2.

ì0,	при		x £ -4,
ï
20.28. F (x )= íï(x	+ 4)2	,	при	-4 < x £1,
ï	25		x >1;
ï1,	при		x >1;
î
а = -3,b = 0.
ì0,	при		x £ 7,
ï
20.30. F (x )= íï(x - 7)2		,	при	7 < x £ 9,
ï	4		x > 9;
ï1,	при		x > 9;
î

a = 8, b = 9.

Література.

1.Дубовик В.П., Юрик І.І. «Вища математика».-К.: В. школа, 2003.- 648 с.

2.Мартиненко М.А.,Зінькевич О.П.,Ткачук А.М. Вища математика. Конспект лекцій. – К.: НУХТ, 2010. 223 с.

3.Мартиненко М.А., Клименко Р.К., Лебедєва І.В. Теорія ймовірностей. Конспект лекцій і практичних занять. –– К.: УДУХТ, 1999.

4.Вища математика. Збірник задач, за ред. Дубовик В.П., Юрик І.І., К.:

А.С.К., 2005. - 480с.

5.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Уч. пос. по математике для втузов. В 2-х т. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1996.

6.Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.- М.: Наука, 1983.- 228 с.

7.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчис-

ление.- М.: Наука, 1988.- 431 с.

Зміст
І. Вступ. -------------------------------------------------------------------------------------	3
ІІ. Методичні рекомендації до розв’язання завдань розрахунково-
графічних робіт.-------------------------------------------------------------------------	4
1. Елементи лінійної алгебри ------------------------------------------------	4
1.1. Розв’язання систем лінійних рівнянь за формулами Крамера. ------------	4
2. Елементи векторної алгебри ----------------------------------------------	5
2.1. Поняття вектора.---------------------------------------------------------------------	5
2.2. Скалярний добуток векторів.------------------------------------------------------	6
2.3. Векторний добуток векторів.-------------------------------------------------------	7
2.4. Мішаний добуток векторів. -------------------------------------------------------	7
3. Елементи аналітичної геометрії. ----------------------------------------	11
3.1. Пряма лінія на площині. ----------------------------------------------------------	11
3.2. Кут між двома прямими, умови паралельності і перпендикулярності двох
прямих на площині.---------------------------------------------------------------------	12
3.3. Криві другого порядку.-----------------------------------------------------------	15
4. Вступ до математичного аналізу. -------------------------------------	17
4.1. Властивості нескінченно малих функцій.--------------------------------------	18
4.2. Властивості нескінченно великих функцій.------------------------------------	18
4.3. Зв'язок між нескінченно малими і нескінченно великими функціями.--	18
4.4. Обчислення границь. --------------------------------------------------------------	19
5. Диференціювання функції однієї змінної.-------------------------- --	22
5.1. Поняття похідної функції. --------------------------------------------------------	22
5.2. Правила диференціювання. --------------------------------------------------------	23
5.3. Формули диференціювання основних елементарних функцій.-----------	23
5.4. Диференціювання функцій, заданих неявно. -----------------------------------	24
5.5. Диференціювання функції, заданої параметрично.--------------------------	25
5.6. Рівняння дотичної і нормалі. -----------------------------------------------------	26
5.7. Монотонність і екстремум функції. --------------------------------------------	27-29
6. Диференціювання функцій багатьох змінних. ------------------ ---	29
6.1. Частинні похідні. -------------------------------------------------------------------	29
6.2. Скалярне поле. Похідна за напрямом. Градієнт скалярного поля.-------	30
7. Невизначений інтеграл. ------------------------------------------------- --	32
7.1. Властивості невизначеного інтеграла.------------------------------------------	33
7.2. Таблиця основних інтегралів.----------------------------------------------------	34
7.3. Методи інтегрування. --------------------------------------------------------------	34
7.4. Інтегрування раціональних алгебраїчних функцій.--------------------------	37
8. Визначений інтеграл. -------------------------------------------------------	43
8.1. Означення визначеного інтеграла. ----------------------------------------------	43
8.2. Властивості визначеного інтеграла.---------------------------------------------	43
8.3. Формула Ньютона-Лейбніца.-------------------------------------------------------	44
8.4. Заміна змінної інтегрування у визначеному інтегралі.----------------------	45
8.5. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.---------------------------	46
8.6. Обчислення площ плоских фігур у прямокутній системі координат.----	46

	9. Диференціальні рівняння. ------------------------------------------------	47
	10. Елементи теорії ймовірностей. -----------------------------------------	53
10.1.Випадкові події.---------------------------------------------------------------------		53
10.2. Випадкові величини.--------------------------------------------------------------		56
ІІІ. Завдання для розрахунково-графічних робіт.-----------------------------		61
1.	Елементи лінійної алгебри. Завдання №1----------------------------------------	61
2.	Елементи векторної алгебри. Завдання №2--------------------------------------	62
3.	Елементи аналітичної геометрії. Завдання №3, №4, №5----------------------	63
4.	Вступ до математичного аналізу. Завдання №6 -------------------------------	67
5.	Диференціювання функції однієї змінної. Завдання №7, №8, №9----------	70
6.	Диференціювання функцій багатьох змінних. Завдання №10, №11 -------	75
7.	Невизначений інтеграл. Завдання №12 ------------------------------------------	76
8.	Визначений інтеграл. Завдання №13, №14 --------------------------------------	78
9.	Диференціальні рівняння. Завдання №15, №16, №17 -------------------------	80
10. Елементи теорії ймовірностей. Завдання №18, №19, №20 -----------------		82
	VI. Література--------------------------------------------------------------------	89

Навчальне видання

ВИЩА МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ до виконання розрахунково-графічних робіт

для студентів напрямів підготовки 6.051701 “Харчові технології та інженерія “, 6.040106 “Екологія, охорона навколишнього середовища та збалансоване природокористування “, 6.051301 “Хімічна технологія “, 6.051401 “Біотехнологія “ денної форми навчання

СХВАЛЕНО на засіданні кафедри

вищої математики Протокол № 9

від 11.12.2012р.

Укладачі: О.П. Зінькевич, В.М. Сафонов, О.В. Островська, С.І. Резніков, В.М. Романенко, К.М. Сологуб, Г.А. Циганкова, В.П. Шоха.

Видання подається в авторській редакції

Підп. до друку 19.09.13. Ум. друк. арк. 5,35. Наклад 70 пр.

Зам. № 028-13А

НУХТ. 01601 Київ-33, вул. Володимирська, 68 Свідоцтво про реєстрацію серія ДК № 1786 від 18.05.04 р.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.02.2016301.59 Кб113Magistratura_OGG_95_pitan.docx
#
12.02.20161.84 Mб9mag_8.03050901_bo_12.doc
#
11.02.2016356.86 Кб49mag_8.14010101_grs_2014(2).doc
#
12.02.20167.16 Mб86Makarov_S._Yu._Slavskaya__I._L_._Innovatsii_v_tekhnologii_i_oborudovanii_prigotovleniya_vodok.pdf
#
20.09.201984.95 Кб1Matematika.docx
#
12.02.2016761.1 Кб23matra.rozpaxyhk.pdf
#
10.11.20195.21 Mб45Meetings and Negitiations.doc
#
17.11.2019456.7 Кб6MET-mas-obs.doc
#
14.11.2019607.23 Кб6Method 2011.doc
#
18.11.2019438.27 Кб5metMex-повна.doc
#
23.08.2019951.81 Кб10Metod diplom bakalavr BTMS.doc