- •Міністерство освіти і науки,
- •Загальні відомості
- •Зміст дисципліни
- •2.1. Зміст навчальної дисципліни “Моделювання систем”
- •2.1.1. Лекційні заняття
- •2.1.3. Лабораторні заняття
- •Питання для підготовки до іспиту
- •До розділу 4
- •До розділу 5
- •До розділу 6
- •До розділу 7
- •Виконання лабораторних робіт
- •4.1. Лабораторна робота №1
- •4.1.1. Завдання 1
- •Варіанти завдань
- •4.1.2. Виконання завдання 1
- •4.1.3. Завдання 2
- •Варіанти завдань
- •4.1.4. Виконання завдання 2
- •4.1.5. Завдання 3
- •Варіанти завдань
- •4.1.6. Виконання завдання 3
- •Тому середня довжина черги:
- •4.1.7. Завдання 4
- •Варіанти завдань
- •Варіанти завдань
- •4.1.8. Виконання завдання 4
- •4.1.9. Завдання 5.
- •Варіанти завдань
- •4.1.10. Виконання завдання 5
- •4.1.11. Завдання 6
- •4.1.11. Виконання завдання 6
- •4.1.12. Завдання 7
- •Варіанти завдань
- •4.1.13.Виконання завдання 7
- •4.1.14. Завдання 8
- •Варіанти завдань
- •4.1.15.Виконання завдання 8
- •4.1.16. Завдання 9
- •4.1.17.Виконання завдання 9
- •4.1.18. Завдання 10
- •Варіанти завдань
- •4.1.19.Виконання завдання 10
- •Вказівки до виконання контрольних робіт
- •Рекомендована література Основна
- •Додаткова
4.1.5. Завдання 3
У цеху наявний один пристрій, яким за потреби користуються усі ланки. Продуктивність пристрою досить велика і може задовольнити обслуговування всіх ланок, але через випадковий характер виникнення потреб, у деякі моменти пристрій зайнятий і накопичується черга. Інтенсивність роботи приладу μ=1,5, а інтенсивність надходження замовлень λ=0,5. Треба визначити інтенсивність навантаження у системі, середню довжину черги, середній час очікування у черзі.
Варіанти завдань
№ варіанта |
l |
m |
1 |
1,25 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3,75 |
3 |
3,78 |
4,56 |
4 |
4,89 |
5,5 |
5 |
3,75 |
4,45 |
6 |
2,8 |
3,6 |
7 |
1,85 |
2,76 |
8 |
1,9 |
2,16 |
9 |
1,8 |
2,16 |
10 |
1,34 |
2,46 |
11 |
1,54 |
2,0 |
12 |
1,45 |
1,79 |
13 |
2,67 |
2,74 |
14 |
1,76 |
1,9 |
15 |
2,65 |
3,46 |
16 |
1,35 |
1,45 |
17 |
1,56 |
1,95 |
18 |
1,47 |
2,0 |
19 |
1,78 |
2,16 |
20 |
1,9 |
2,04 |
21 |
1,76 |
1,8 |
22 |
1,54 |
1,95 |
23 |
1,74 |
2,16 |
24 |
1,85 |
2,45 |
25 |
2,55 |
2,85 |
26 |
2,25 |
2,15 |
27 |
1,94 |
1,9 |
28 |
1,65 |
1,5 |
29 |
1,78 |
2,75 |
30 |
2,86 |
3,5 |
4.1.6. Виконання завдання 3
Уразі роботи одного пристрою дану задачу можна подати у вигляді одноканальної СМО з необмеженою чергою.
Рис.3. Граф СМО з очікуванням
Стан S0 відповідає вільному каналу; S1 – канал зайнятий і черги немає, S2 – канал зайнятий і одне замовлення пербуває у черзі; S3 – у черзі два замовлення і т.д. У стані Sk – канал зайнятий і у черзі к - 1 замовлення. За стрілками зліва направо систему з одного стану в інший переводить потік замовлень інтенсивністю l, а за стрілками справа наліво - потік обслуговувань інтенсивністю m. Кожного разу під час переходу з одного стану в інший черга змінюється на одиницю.
Для визначення ймовірності початкового стану можна використати рівняння (4).
lр0 = mр1.
Звідси
р1=(l/m)p0.
Величину інтенсивністі навантаження визначаємо за формулою:
r=l/m=0,33
Для стійкої роботи СМО з очікуванням потрібно, щоб середня інтенсивність потоку обслуговування була більше інтенсивності потоку замовлень, тобто l < m, отже, r < 1. Якщо l > m, система не впорається з обслуговуванням і черга буде зростати до нескінченності.
З використанням введених позначень, ймовірність стану S1 можна записати у вигляді:
р1=rp0. (9)
Використовуємо рівняння Колмогорова для стану S1:
lp1+mp1=lp0+mp2.
Оскільки lp0=mp1 та mp2=lp1,
p2=p1l¤m = r2 p0.
Аналогічно для стану S2: p3 = r3 p0 . І.т.д.:
pk=rk×p0. (10)
Для визначення р0 запишемо вираз для суми ймовірностей:
p0 + r p0 + r2 p0 +…+ rk p0 = 1.
Звідси отримуємо
pk=rk(1-r). (11)
Використовуючи цей вираз, можна визнаємо характеристики СМО з очікуванням, важливі для її функціонування: середню довжину черги Lq, середнє число замовлень в системі Ls, середній час перебування замовлення в системі Ws, середня тривалість очікування замовлення у черзі Wq і ймовірність утворення черги рк.
З ймовірністю p2 у черзі перебуває одне замовлення, з ймовірністю p3 – два замовлення і з ймовірністю pk у черзі – (k-1) замовлення.
Отже,
Lq=1p2 +2p3 +…+(k-1)pk=r2(1-r)(1+2r+3r2+…+krk-1).