1.2 Властивості інверсії.

До цих пір ми застосовували інверсію лише до єдиної точки. Подивимося тепер, що станеться, якщо застосувати це перетворення до більш складного об'єкту. Природно спробувати подіяти інверсією на пряму. Якщо ця пряма проходить через центр інверсії, то точки, що знаходилися всередині кола, виявляться зовні, і навпаки, але в цілому пряма перейде сама в себе. Набагато цікавіший випадок, коли вихідна пряма не проходить через центр інверсії. Перш ніж розглянути цей випадок, доведемо нескладну лему. У силу важливості назвемо її.

Основна лема 

Нехай А₁, А₂ і В₁, В₂ - пари різних точок, симетричних щодо кола ω. Тоді всі ці чотири точки лежать на одному колі.

За визначенням симетричних точок ОА₁ • ОА₂ = R₂ = ОВ₁ • ОВ₂, отжеОА₁/ ОВ₁ = ОВ₂ / ОА₂. З пропорційності сторін слідує подібність трикутників ОА₁В₁ і ОВ₂А₂ по двох сторонах і куту між ними.

З подоби трикутників випливає

мал.7

рівність кутів <ОА₁В₁ = <ОВ₂А₂. А рівність цих кутів і означає, що чотирикутник А₁А₂В₂В₁ - вписаний, або, іншими словами, всі чотири точки лежать на одному колі, що й треба було довести.

Тепер можна довести першу важливу властивість інверсії.

Теорема 1

Пряма, не проходить через центр інверсії, переходить в коло, що проходить через центр інверсії.

Опустимо із центра О перпендикуляр ОМ на дану пряму і розглянемо точку К, симетричну точці М відносно кола. Візьмемо також на прямий довільну точку А і побудуємо симетричну їй точку В.

За основною лемою, точки К, М, А, В лежать на одному колі. Вписаний кут М - прямий, а значить, вписаний в те ж коло кут В теж прямий. Трикутник ОВК –

мал.8

прямокутний, отже точка В лежить на колі з діаметром ОК. Ця окружність і є образом вихідної прямої при інверсії.

Задача 3

Якщо вихідна пряма стосується кола, то точки М і К збігаються і доказ втрачає силу. Як змінити доказ теореми для цього окремого випадку?

Особливо легко побудувати образ прямої, яка перетинає коло інверсії. Оскільки точки кола інверсії залишаються нерухомими, достатньо провести коло через центр інверсії і дві точки перетину кола інверсії і вихідної прямої.

мал.9

Отримане креслення містить коло ω, пряму а, що перетинає його в двох точках В і С та коло α, що проходить через точки О, В,

С. Це коло α є образом прямої а при інверсії відносно кола ω.

Легко бачити, що дотичні, проведені до обох кіл з точки А, яка лежить на прямій а, рівні між собою. Це випливає з теореми про квадраті дотичні.

AP₂ = AB • AC = AQ₂, значить AP = AQ.

Виявляється, це твердження залишається вірним навіть, якщо кола α і ω не перетинаються.

1.3. Побудова образів простих фігур при інверсії.

Задача 4

Нехай коло α є образом прямої а при інверсії відносно кола ω; точка А лежить на прямій а. Тоді дотичні, проведені до кіл α і ω з точки А рівні між собою.

Теорему (1) можна, очевидно сформулювати і так:

Теорема 1 '

Коло, що проходить через центр інверсії, переходить в пряму, не проходить через центр інверсії.

Тепер представляється природним застосувати інверсію до довільного кола. Доведемо наступну найважливішу теорему.

Теорема 2

Коло, не проходить через центр інверсії, переходить в коло, яке не проходить через центр інверсії.

мал. 10

Для доказу розглянемо інверсію відносно кола ω і кола α₁, не проходить через центр інверсії О. Проведемо в колі α₁ діаметр В₁С₁, що проходить через центр О і побудуємо точки В₂ і С₂, відповідно симетричні точкам В₁ і С₁ щодо кола ω. Доведемо тепер, що точки, симетричні точкам кола α₁, розташовані на колі α₂, побудованої на діаметрі В₂С₂.

Візьмемо на коло α₁ довільну точку А₁, і побудуємо точку А₂, симетричну точці А₁ щодо кола ω. Тепер застосуємо основну лему до двох четвірки точок - А₁, А₂; В₁, В₂ і А₁, А₂; С₁, С₂. Перша четвірка дає рівність кутів < А₁В₁С₁ = <В₂А₂М, а друга - <А₁С₁В₁ = < С₂А₂О.

Трикутник А₁В₁С₁ є прямокутним, так як В₁С₁ - діаметр кола, значить <А₁В₁С₁ + <А₁С₁В₁ = 90⁰, отже, <В₂А₂М + < С₂А₂О = 90⁰. З останнього рівності випливає, що кут < В₂А₂С₂ - прямий, і значить, точка А₂ розташована на колі α₂ з діаметром В₂С₂, що й треба було довести.

На наведеному кресленні кола α₁ і α₂ не перетинають коло інверсії ω і не містять всередині себе її центр. Доказ, зрозуміло, залишається в силі і при будь-якому іншому розташуванні кіл, хоча креслення стає трохи більш заплутаним.