1 курс 2 семестр (книга №3)

Перейдем теперь от новой переменной t к старой переменной x :

∫1 +dxtg x = 12 ln tg x +1 − 14 ln tg2 x +1 + 12 x +C.

2.Напомним формулу замены переменной для определенного интеграла. Пусть в определенном интеграле

∫ab f (x)dx

с непрерывной подынтегральной функцией f (x) производят замену переменной x =φ(t), причем функция φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α, β] и

φ(α)= a,φ(β)= b,φ([α, β])=[a, b].

Тогда справедливо равенство

∫ab f (x)dx = ∫εβ f [φ(t)]φ′(t)dt.

Вычислим интеграл, используя формулу замены

f (x) неограничена в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке, включенном в промежуток [0,1). Напомним, что по определению, если функция y = f (x) не ограничена на отрезке [a,b], однако интегрируема на любом

b

несобственный интеграл ∫ f (x)dx от неограниченной функции

a

f (x) . Таким образом,

В нашем случае получаем

4.В тех случаях, когда точное вычисление определенного интеграла сопряжено с трудностями, а для практических целей достаточно знать его приближенное значение, или когда первообразная не является элементарной функцией, обычно применяют методы численного интегрирования. Наиболее распространенными являются следующие формулы численного интегрирования. Пусть n - число

равных отрезков, на которые разбивают отрезок интегрирования [a,b], в формулах прямоугольников и

Симпсона n - четное число; y0 , y1,..., yn - значения подынтегральной функции f (x) соответственно в точках

деления x0 = a, x1,..., xn = b. 1) Формула прямоугольников:

b∫ f (x)dx ≈ 2(bn−a)( y1 + y3 +... + yn−1 ).

a

2) Формула трапеций:

3) Формула Симпсона (парабол):

+ yn−1 ) + 2( y2 + y4 +... + yn−2 )].

Применим для приближенного вычисления интеграла

формулу трапеций. Разобьем отрезок [0,1] на 10 равных

частей ( n =10 ) и вычислим с точностью до четырех знаков после запятой значения функции в концах отрезков разбиения

y(0) = 13 = 3 ,

Суммы

Sn = a1 + a2 +K+ an

называются частичными суммами ряда. Если существует конечный предел

lim Sn = S ,

n→∞

то ряд называется сходящимся. В противном случае ряд называют расходящимся. Если ряд сходится (необходимый признак сходимости рядов), то

lim an = 0.

n→∞

Решение задачи о сходимости рядов начинают с проверки выполнения для данного ряда необходимого признака. Если он не выполняется, то ряд является расходящимся.

Например, для ряда

проверка дает

т.е. необходимый признак выполняется и ряд может быть сходящимся. Для проверки сходимости существует ряд достаточных признаков сходимости рядов (признак сравнения, интегральный признак, признаки Коши и Даламбера), в результате применения какого-то из них и устанавливается сходимость или расходимость ряда. Например, признаки Коши и Даламбера не позволяют установить сходимость ряда (1).

Применим признак сравнения. Он заключается в следующем. Рассмотрим два ряда с неотрицательными членами

∞

одновременно. Таким образом, если для ряда ∑an ,

n=1

сходимость или расходимость которого требуется

∞

установить, удается найти ряд ∑bn , сходимость которого

n=1

исследована и выполняется равенство (2), то свойства сходимости обоих рядов совпадают. При применении признака сходимости часто используется следующее утверждение: ряд

∞ 1 n∑=1 n p

1)сходится, если p >1;

2)расходится, если p ≤1.

Замечая, что знаменатель выражения для an - многочлен второй степени, приходим к выводу, что в качестве ряда

∞

∑bn можно взять сходящийся ряд

n=1

∞ 1 n∑=1 n2 .

Вычисляя предел отношения (2), получаем

Поэтому ряд (1) сходится.

6. Ряд вида

∞

a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 +K+ an (x − x0 )n +K= ∑ak (x − x0 )k

k =0

называется степенным рядом с центром в точке x0 . Для

каждого степенного ряда существует интервал сходимости {x R | | x − x0 |< r}, определяемый неотрицательным числом

радиусом сходимости степенного ряда и находится по формуле

r = lim an .

n→∞ an+1

На концах интервала сходимости, т.е. в точках x = x0 ± r

требуется дополнительное исследование сходимости ряда. Рассмотрим ряд

Сделав замену t = x2 , приведем его к стандартному виду

∑∞ (n +1)5 tn . n=1 2n +1

Вычислим радиус сходимости:

Исследуем теперь сходимость ряда в точках x = ±1. При x = ±1 легко видеть, что x2 =1 и

Проверяя необходимый признак сходимости ряда, получаем

lim (n +1)5 = ∞,

n→∞ 2n +1

т.е. необходимый признак не выполняется и в точках x = ±1 ряд расходится.

Окончательно получим, что областью сходимости степенного ряда является интервал (−1;1) .

7.Заметим, что функция, которая является суммой степенного ряда, бесконечно дифференцируема. И обратно, для любой бесконечно дифференцируемой функции f (x) можно составить формальный ряд

f (x) = ∑∞ f (nn) (x) (x − x0 )n ,

n=1 !

который называется рядом Тейлора и на интервале

и называется рядом Маклорена.

Получим теперь разложение в ряд Маклорена для функции

f (x) =1−xx2 = x 1 −1x2 .

Сделаем замену t = x2 и найдем разложение в ряд для функции g(t) =1−1 t . Последовательно вычисляем:

g′(t) = −(1 −1t)2 (−1) = (1 −t)−2 ; g′(0) =1,

g′′(t) = ((1 −t)−2 )′ = −2(1 −t)−3 (−1) = 2(1 −t)−3 ; g′′(0) = 2 = 2!,

g′′′(t) = 2((1 −t)−3 )′ = 2 (−3)(1 −t)−4 (−1) = 3!(1 −t)−4 ; g′′′(0) = 3!,

g( 4) (t) = 3!((1 −t)−4 )′ = 3!(−4)(1 −t)−4 (−1) = 4!(1−t)−4 ; g( 4) (0) = 4!.

Легко видеть, что g(n) (0) = n! и разложение в ряд Маклорена

и, делая обратную замену x = t2 , получим