Добавил:

Sergo Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет управления

Предмет:

Высшая математика

Файл:

1 курс 2 семестр (книга №3)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.12.2013

Размер:

695.59 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Для этого необходимо найти частные производные z′x и z′y . Имеем

y−

2 y

y−

z′

−

= −

e 2 y

2 y

y −

x 2

y −

x 2

2 y

−

2 y

−

(−2) y

y −e

z′y =

y −

x 2

y −

x 2

2 y 2

−1 =

−1 .

Поэтому

z′y

− y2

z′y

−

z′x

−

z′x

−

xyz

y −

x 2

y −

2 y 2

2 y

− y

2 −

3 e

2 y +

2 −1

y −

x 2

y −

x 2

2 y 2

− y

= −

+ 1 +

−

= −

+1 +

−

=1.

Равенство доказано.

10. Метод наименьших квадратов широко используется при анализе статистических данных для выявления функциональной зависимости между

na + ∑n xi b = ∑n yi ;

i=1 i=1

наблюдаемыми величинами. В данной задаче предполагается, что между наблюдаемыми величинами существует линейная зависимость вида y = a +bx. Для определения коэффициентов a и

bвоспользуемся системой:




n
∑x		a
	i
i=1

+ ∑n xi2 b = ∑n xi yi.

i=1 i=1

Здесь n −количество значений наблюдаемой величины,

поэтому в нашем случае		n = 4. Подставим	данные
задачи в эту систему:
	4a +(1 + 2 +3 + 4)b = (2 −1.5 −3.5 −6);
	+ 2 +3 + 4)a +(1 + 4 +9 +16)b =1 2 + 2 (−1.5) +
(1	+ 2 +3 + 4)a +(1 + 4 +9 +16)b =1 2 + 2 (−1.5) +

+3 (−3.5) + 4 (−6).
Или
	4a +10b = −9;

	10a +30b = −35.5.
Решая	систему, получаем	a = −0.75,b = −0.6,	поэтому

функциональная зависимость между наблюдаемыми в задаче величинами имеет вид

y = −0.75 −0.6x .

Контрольная работа №2.

Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды.

Найти интеграл:

а) ∫

dx; б)

∫e

sin xdx ; в) ∫

+ tg x

Вычислить интеграл

∫

4 − x2

Вычислить несобственный интеграл

∫0 (2 − x) 1 − x .

4.Вычислить приближенно (с точностью до двух знаков после запятой) интеграл

1	x +3
0∫	x +1 dx .

Указание: Отрезок интегрирования разбить на 10 равных частей.

5. Исследовать сходимость ряда

∞			1
∑						.
∑		(3n −2)(3n +1)				.
n=1		(3n −2)(3n +1)
6. Найти область сходимости ряда
		∞	(n +1)5 x2n		.
	∑		2n +	1	.
	n=1		2n +	1

7.Разложить по целым положительным степеням x функцию

f(x) =1 −xx2 .

8.Решить дифференциальное уравнение

	′		y3
y	′	= y ctg x + sin x .
y		= y ctg x + sin x .

9. Найти общее решение уравнения

y′′−2 y′+3y = e−x cos x.

10. Найти решение уравнения

3y′′−2 y′− y = 2x +3,

удовлетворяющее условиям y(0) =1, y′(0) = 2.

Ответы и решения.

1a). Напомним, что рациональной функцией называют функцию f (x) , представимую в виде отношения двух

многочленов

f (x) = P(x) = a0 xn + a1 xn−1 +K+ an−1 x + an . Q(x) b0 xm +b1 xm−1 +K+ am−1 x +bm

Дробь QP((xx)) называется правильной, если n < m. В

случае, если QP((xx)) - неправильная дробь, т.е. n ≥ m, то для вычисления интеграла типа

∫QP((xx)) dx

необходимо сначала выделить целую часть, то есть привести неправильную дробь к виду

QP((xx)) = S(x) + QR((xx)) ,

где S(x) - многочлен, а QR((xx)) - правильная дробь.

Тогда

∫QP((xx)) dx = ∫S(x)dx + ∫QR((xx)) dx

Так как задача вычисления ∫S(x)dx не представляет

трудностей, то мы приходим к выводу, что основная часть задачи интегрирования рациональных дробей – это задача интегрирования правильных дробей, так что в


дальнейшем	будем предполагать, что дробь		P(x)		-
			Q(x)

правильная.	Решение задачи о вычислении	∫	P(x)	dx

			Q(x)

необходимо начинать с разложения знаменателя дроби Q(x) на множители. Многочлен Q(x) разлагается на

множители следующих четырех типов. 1-ый тип - (x −a) .

2-ой тип - (x −b)k , k >1. 3-ий тип - (x2 + px + q) .

4-ый тип - (x2 + rx + s)l , l >1.

3-ий и 4-ый типы дробей отвечают случаю, когда квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Затем рациональную функцию представляют в виде суммы простейших дробей с некоторыми коэффициентами. При этом каждому из четырех типов множителей соответствуют слагаемые следующего вида:

1-ый тип -

x −a

2-ой тип -

+K+

x −b

−b)2

−b)k

3-ий тип -

Cx + D

x2 + px + q

4-ый тип -

E1x + F1

E2 x + F2

+K+

El x + Fl

x2 + rx + s

(x2 + rx + s)2

(x2 + rx + s)l

Если сомножитель некоторого типа в разложении многочлена Q(x) на простейшие множители отсутствует,

то и в разложении дроби QP((xx)) на простейшие дроби

соответствующие слагаемые не входят. Коэффициенты A, B,K затем находятся методом неопределенных коэффициентов.

Для вычисления интеграла

x2 +1

∫ x3 +1 dx

разложим сначала на множители знаменатель дроби

x3 +1 = (x +1)(x2 − x +1) .

В этом разложении присутствуют множители первого и третьего типа, поэтому разложение на простейшие дроби подынтегральной функции будет иметь вид

x2 +1

Bx +C

A(x2 − x +1) +(Bx +C)(x +1)

x +1

x2 − x +

(x +1)(x2

− x +1)

где заключительное равенство получено приведением к общему знаменателю. Отсюда заключаем, что

x2 +1 = A(x2 − x +1) +(Bx +C)(x +1) = Ax2 − Ax + A +

+ Bx2 +Cx + Bx +C = x2 ( A + B) + x(−A + B +C) +( A +C).

Так как многочлены в правой и левой части тождественно равны, то имеет место равенство между коэффициентами при соответствующих степенях, т.е.

A + B =1,B +C − A = 0,A +C =1.

B =1 − A,

1 − A +1 − A − A = 0,C =1 − A.

B =1 3,

A = 2 3,C =1 3,

тогда

	2								1				1
											x +							dx =				2	ln			x +1								1									x +1
∫	3				dx +		∫		3		x +			3																			+				∫																dx =
	3								3					3
									2																																	2
	x +			1				x			− x +				1						3													3					x					− x +1
	x +			1				x			− x +				1						3													3					x					− x +1
=		2	ln		x +1		+		1		∫		2x + 2								dx =				2		ln		x +1							+				1				∫	2x					−1+3						dx =
		2							1				2x + 2												2															1					2x					−1+3
													2																																2
	3								6			x		− x +						1				3																	6 x									− x +1
	3								6			x		− x +						1				3																	6 x									− x +1
=		2	ln		x +1		+		1		∫		2x −1								dx +			1			∫							3									dx =
		2							1				2x −1											1										3
													2																	2
	3								6			x		− x +						1				6				x					− x +1
	3								6			x		− x +						1				6				x					− x +1
	=			2 ln		x	+1			+		1	∫ d(x2						2 − x +1)								+	1					∫													dx												=
												1							2 − x +1)									1																		dx
																																																1						1
				3								6					x		− x +1									2						(x2 − x +														1			)	−		1	+		1
				3								6					x		− x +1									2						(x2 − x +																	)	−			+		1
				2 ln								1 ln															1											dx								4							4
	=					x	+1			+						x2 − x +1								+				∫																					=


				3								6															2				(x −							1		)		2		+			3
				3								6															2											1				2					3
																																					2									4				1
																																					2									4
				2 ln x +1 +								1 ln x2															1						2		arctg x +
	=			2 ln x +1 +								1 ln x2							− x +1					+			1						2		arctg x +														2			+C =
				3								6															2						3													3
																																														2
	=			2 ln x +1 +								1 ln x2							− x +1 + 1													arctg 2x +1																	+C.
				3								6																3																3

1б). Метод интегрирования по частям применяют в тех случаях, когда подынтегральная функция представляется в виде произведения двух функций u и v , из которых хотя бы одна является трансцендентной (тригонометрической, обратной тригонометрической, показательной, логарифмической и т.д.). Тогда, записывая подынтегральное выражение как произведение функции u на дифференциал другой функции dv , используем формулу интегрирования по частям

∫udv = uv − ∫vdu .

Интеграл в правой части формулы может оказаться проще, чем исходный. Причем, иногда этот метод приходится применять несколько раз. Рассмотрим

∫ex sin xdx =

u = ex

du = ex dx

= −ex cos x −(− ∫ex cos xdx)=

dv = sin xdx

v = −cos x

= −ex cos x + ∫ex cos xdx =

u = ex

du = ex dx

= sin x

dv1 = cos xdx

dv1

= −ex cos x +(ex sin x − ∫ex sin xdx)== ex (sin x −cos x)− ∫ex sin xdx,

т.е.
∫ex sin xdx =ex (sin x −cos x)− ∫ex sin xdx.
Поэтому
2∫ex sin xdx =ex (sin x −cos x)+C1.
Откуда получаем, что
∫ex sin xdx = 1 ex (sin x −cos x)+C,	где C = C1 .
2	2

1в). Если интеграл нельзя найти непосредственно, то в

некоторых случаях можно применить метод замены
переменной, положив x =φ(t), где φ(t)	- непрерывно

дифференцируемая монотонная функция. Справедлива формула замены переменной:

∫ f (x)dx = ∫ f [φ(t)]φ′(t)dt.

Рассмотрим

t = tg x

∫

x = arctg t

= ∫

+ tg x

dx =

+t2

Полученный интеграл вычислим методом неопределенных коэффициентов:

Bt +C

A(1 +t2 ) +(Bt +C)(1 +t)

;

(1 +t)(1 +t2 )

1 +t

(1 +t)(1 +t2 )

1 = t2 ( A + B) +t(B +C) +( A +C) ;

A =

+ B = 0,

+C = 0,

B = −

+C =1.

C =

−

∫

= ∫

dt + ∫

dt =

(1 +t)(1 +t

)

1 +t

t +

−

∫

t −1

dt =

t +

−

∫

dt +

∫

1 ln

t +

−

∫

dt +

1 ∫

1 ln

t +1

− 1

∫ d(t2

2 +1) +

1 arctg t =

1 ln

t +1

−

1 ln

t2 +1

1 arctg t +C.

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
16.12.20132.03 Mб1131 курс 2 семестр (книга №2).pdf
#
16.12.2013695.59 Кб901 курс 2 семестр (книга №3).pdf
#
16.12.201348.13 Кб27vyshka_var_2008.doc
#
16.12.201365.54 Кб73Билет по высшей математике.doc
#
16.12.2013498.16 Кб26Билет по вышке 2 семестр 2005-2006.jpg
#
16.12.2013385.09 Кб53Билеты по высшей математике ГУУ.jpg
#
16.12.201327.14 Кб145Высшая математика. Экзаменационный билет за 2-й се.doc