4. Інтегрування раціональних функцій

Раціональною будемо називати функцію, яка представляється у вигляді:

,

де — многочлени степені відповідно.

Раціональна функція називається правильною (неправильною), якщо (). Кожну раціональну функцію (раціональний дріб) можна представити в вигляді суми многочлена і правильної раціональної функції. Для цього в неправильному раціональному дробі треба поділити чисельник на знаменник.

Наприклад, розглянемо раціональну функцію

.

Ця функція є неправильним раціональним дробом, бо в чисельнику знаходиться многочлен більшої (5-ої) степені, ніж в знаменнику (2-ої степені). Поділимо многочлен чисельника на многочлен знаменника в стовпчик:

Ділення закінчується, коли степінь многочлена в залишку буде меньшою за степінь дільника.

Таким чином, для розв’язання питання інтегрування раціональних функцій достатньо детально розглянути інтегрування лише правильних раціональних функцій, бо інтегрування многочленів не викликає труднощів.

Введемо чотири типи найпростіших раціональних функцій:

І. , ІІ. , ІІІ. , ІV.

де — дійсні числа, а многочлен не має дійсних коренів, тобто . Кожна з цих функцій є інтегрованою:

І. ; (4.1)

ІІ. ; (4.2)

ІІІ. ; (4.3)

ІV. — (4.4)

першій з інтегралів в правій частині легко обчислюється:

.

Другий інтеграл в правій частині при будь-якому може бути обчислений по рекурентній формулі (3.20). Таким чином функції ІV-го типу також є інтегрованими.

Розкладання правильних раціональних функцій на найпростіші

Кожен правильний раціональний дріб , може бути представлений у вигляді суми скінченної кількості найпростішіх раціональних функцій, а тому має первісну.

Це розкладання правильного дробу на прості дроби пов’язане з розкладанням знаменника на прості множники. Як відомо з алгебри, кожен многочлен з дійсними коефіцієнтами розкладається на дійсні множники типа , при цьому припускається, що квадратичні множники не мають дійсних коренів, а тому не розкладаються на дійсні лінійні множники.Об’єднуючи однакові множники, якщо такі є, і припускаючи для спрощення старший коефіцієнт рівним одиниці, можна схематично записати розкладання цього многочлена у вигляді:

,

де — натуральні числа.

Якщо при розкладанні на множники знаменника дробу множник входе до лише в першій степені, то йому при розкладанні на найпростіші буде відповідати один дріб —

.

Якщо серед множників присутній , , то при розкладанні йому буде відповідати сума найпростіших дробів:

,

де — дійсні сталі.

Квадратичному множнику в розкладанні поставимо в відповідність при розкладанні на найпростіші один дріб вида ІІІ

,

якщо входе до в першій степені, і суму з найпростіших дробів

,

якщо цей множник входе з показником . Тут , — дійсні сталі.

Приклад 38. Розкласти на суму найпростіших раціональних функцій дріб

.

Знаменник дробу вже розкладений на прості множники: . Множнику буде відповідати сума з 3-х найпростіших дробів, оскільки показник степені при дорівнює 3:

,

множнику — сума з 2-х найпростіших дробів, бо показник степені при дорівнює 2:

,

множнику — сума з 3-х найпростіших дробів, оскільки показник степені при дорівнює 3:

.

Таким чином:

,

де — дійсні коефіцієнти, які докищо є невідомими.

Для визначення невідомих коефіцієнтів треба:

1. Привести всі отримані найпростіші раціональні функції до спільного знаменника, скласти їх;

2. Прирівняти чисельники, які є многочленами, отриманного після складання найпростіших функцій дробу і поданого раціонального дробу. Два многочлени є рівними, коли співпадають коефіцієнти при однакових степенях ;

3. Прирівняти коефіцієнти при однакових степенях многочленів в чисельниках. Результатом буде система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів розкладання поданої раціональної функції на суму найпростіших;

4. Розв’язати отриману систему.

Розкладання правильної раціональної функції на суму найпростіших дає можливість для її інтегрування за допомогою формул (4.1) — (4.4).

Для інтегрування довільної раціональної функції треба:

1. З’ясувати, якою є подана раціональна функція. Якщо степінь многочлена чисельника меньша за степінь многочлена знаменника, то дріб правильний, переходимо на крок 3. Якщо степінь многочлена чисельника більша чи дорівнює степені многочлена знаменника, то дріб неправильний, переходимо на крок 2.

2. Поділити чисельник на знаменник. В результаті отримаємо многочлен і правильний раціональний дріб. Для інтегрування многочлена користуємося формулами 2,3 ТОНІ і правилами 1,2. Для інтегрування правильного раціонального дробу переходимо на крок 3.

3. Розкласти правильний дріб на найпростіші дроби. Визначити невідомі коефіцієнти найпростіших дробів за попереднім правилом. Перейти на крок 4.

4. Проінтегрувати найпростіші дроби за допомогою формул (4.1) — (4.4).

Приклад 39. .

Підінтегральна функція є правильним раціональним дробом: степінь многочлена чисельника дорівнює 2, а знаменника — 5. Для інтегрування спочатку розкладемо підінтегральну функцію на суму найпростіших дробів. Знаменник містить прості множники . Множнику відповідає сума 2-х доданків (показник степені при дорівнює 2):

,

а множнику — один дріб

.

Таким чином

. (4.5)

Знайдемо невідомі коефіцієнти . Для цього приведемо всі дроби в правій частині до спільного знаменника:

,

тоді рівність (4.5) буде мати вигляд:

.

З рівності чисельників

витікає рівність коефіцієнтів многочленів при однакових степенях :

Звідки

.

Таким чином:

. (4.6)

Користуючись формулою (4.6), проинтегруємо подану раціональну функцію:

.

За допомогою (4.1) — (4.4) отримаємо:

.

Приклад 40. .

Підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом: степінь многочлена чисельника дорівнює 4, а знаменника — 2, тому спочатку поділимо чисельник на знаменник.

Таким чином,

.

Розкладемо отриманий правильний раціональний дріб на найпростіші дроби:

.

Знайдемо невідомі коефіцієнти отриманого розкладання. Для цього:

.

Оскільки дроби з однаковими знаменниками рівні, то рівні і їх чисельники:

.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях :

Розв’язуючи отриману систему, маємо: . Таким чином:

.

Тоді