Лекция 3

Лекция 3

Полуэмпирические теории турбулентности

1.Гипотеза Буссинеска

2.Теория Прандтля

3.Теория Тейлора

4.Теория Кармана

На прошлой лекции мы говорили, что одной из заслуг Рейнольдса было то, что он предложил представить все параметры, входящие в уравнения гидродинамики в виде двух составляющих – осредненной величины за некоторый промежуток времени и пульсационной составляющей . И это оказалось не только удобным математическим приемом, но и именно определенный физический смысл. С тех пор развитие теории турбулентности пошло двумя различными путями. Один из них заключается в изучении осредненных характеристик турбулентного течения, а другой – пульсационных. Причем это не просто механическое различие, оно имеет качественный характер. Осредненные характеристики описывают крупномасштабные компоненты турбулентности (сравнимые с масштабами явлений, в процессе которых они генерируются, например, течения в целом, вн. волны и т.д.). Пульсационные характеристики описывают мелкомасштабные компоненты турбулентности. Основное различие в их поведении заключается в том, что крупномасштабные характеристики турбулентности существенно зависят от геометрии границ течений и характера внешних воздействий и поэтому оказывается весьма различными у разных течений, тогда как характер мелкомасштабных характеристик оказывается в значительной мере универсальным.

Крупномасштабные компоненты вносят основной вклад в передачу через турбулентную среду импульса и тепла распространения примесей, и потому их описание необходимо в первую очередь для расчетов сопротивления и теплообмена при обтекании твердых тел жидкостью или газом. Поэтому, естественно, что при развитии теории турбулентности первоочередное внимание было уделено разработке методов описания крупномасштабных компонентов. Нужды практики потребовали проведение большого числа экспериментальных исследований течений в трубах, каналах, пограничных слоях и в свободных турбулентных течениях. На базе этих исследований были построены так называемые полуэмпирические теории турбулентности. Этот этап начался еще в середине 10-х годов, а его расцвет пришелся на 20-30 годы. Решающие шаги в развитии полуэмитрического подхода к теории турбулентности были сделаны Дж. Тейлором (15, 32 ), Людовиком Прандтлем (25) и Теодором фон Карманом (30).

Полуэмпирические теории турбулентности строятся на основе аналогии между турбулентностью и молекулярным хаотическим движением. В них основную роль играют такие понятия как путь перемешивания (аналог средней длины свободного пробела молекул), интенсивности турбулентности (аналог средней скорости движения молекул), коэффициенты турбулентной вязкости, теплопроводимости и диффузии (аналогично соответствующим молекулярным характеристикам).

Мы уже говорили о том, что в случае турбулентных течений законы механики описываются системой уравнений Рейнольдса, в которых из-за появления новых членов - например, Рейнольдса число неизвестных превосходит число уравнений.

Простейший путь замыкания этой системы уравнений состоит в установлении связей, позволяющих выразить напряжения Рейнольдса через осредненные гидродинамические поля. Такой путь параметризации турбулентных процессов получил название полуэмпирического и составил целый этап в развитии теории турбулентности.

Поскольку эффект турбулентности состоит в создании напряжений сдвига, аналогичных, хотя обычно и более значительных по величине, напряжениям, обусловленных молекулярной вязкостью, то представляется естественным попытаться выразить напряжения Рейнольдса через кинематическую турбулентную вязкость К, аналогичную кинематической молекулярной вязкости .

Первым о существовании такой аналогии для плоскопараллельного турбулентного потока сделал предположение Буссинеск (1897). Он предположил также, что средняя скорость течения горизонтальной плоскости распределена равномерно и существует только её вертикальные градиенты.

Тогда . (1)

Гипотеза Буссинеска не объясняет физического смысла турбулентного перемешивания, она только говорит о том, что между полем осредненных скоростей и осреднением произведением пульсации скоростей существует функциональная зависимость и величина К является коэффициентом пропорциональности этой связи. Умножение осредненного поля скоростей на этот коэффициент дает нам количественную оценку турбулентности.

Собственно говоря, само по себе это соотношение математически даже не устанавливает новой связи, оно только заменяет неизвестное новым неизвестным К. Если, предположить, что К зависит от координат каким-либо образом, то мы прейдем к полуэмпирической теории, допускающей проверку на опыте.

Самое простое допущение о величине К состоит в том, что она считается постоянной. В случае течений ограниченных стенками нельзя считать К постоянным, поскольку известно , что при приближение к стенке коэффициент К должен стремиться к нулю. Однако в некоторых задачах, касающихся, например, турбулентных струй в безграничном пространстве или турбулентности в свободной атмосфере, предложение оказывается неплохим. В этом случае подстановка с постоянным К в уравнении Рейнольдса приводит к полуэмпирическому уравнению, содержащему неизвестное К, которое следует определять по данным наблюдений.

В случае течений, ограниченных стенками применяются другие предположения. Например, в случае плоскопараллельного течения около плоской стенке (но не слишком близко от неё - за пределами вязкого подслоя) к хорошим результатам приводит гипотеза о пропорциональности коэффициента К к расстоянию до стенки. Или, например, для труб и погранического слоя к хорошим результатам приводит предложение о пропорциональности к функции , где радиус трубы или толщина пограничного слоя.

Часто, однако, выбор приемлемого допущения о величине К наталкивается на трудности. Для облегчения этого выбора были разработаны другие полуэмпирические теории, в которых основную роль играет понятие пути перемешивания, введенное Тейлором (1915) и Прандтлем (1925).

Теория Прандтля

Рассмотрим плоское течение со сдвигом, направленное вдоль оси Х – такое, что скорость его возрастает по мере удаления от твердости стенки (дна). Профиль скорости этого течения выглядит таким образом.

z

l

l

x

Понятно, что из всех компонентов тензора напряжений в этом течении наблюдается только один компонент .

Наша цель будет состоять в том, чтобы в этой формуле, мало приемлемой для дальнейшего использования, заменить пульсации некоторыми другими величинами, им пропорциональными или удобно измеряемыми.

Пусть в рассматриваемом потоке некоторый жидкий объём вследствие турбулентного импульса переместился с уровня ( - расстояние от стенки или дна), где он имел скорость U (z), такую же, как и в окружающей жидкости, на уровень . Жидкость на уровне обладает средней скоростью . Если предположить, что переместившийся жидкий объём сохранил свою первоначальную скорость U (z), то на новом уровне его скорость будет отличаться от скорости течения на этом уровне на величину

, (2)

где - длина пути поперечного по отношению к направлению потока перемещения жидкого объема.

Равенство (2) можно формально получить путем разложения скорости в ряд Тейлора с точностью до члена первого порядка. Полученную разность скоростей Прандтль считает если не равной, то по меньшей мере пропорциональной средней величине пульсации

. (3)

Оценим теперь величину пульсации . Для этого рассмотрим два жидких объема, одновременно перемещающихся на уровень : один с уровня (сверху вниз), другой с уровня (снизу вверх). Считаем, что эти перемещения обусловлены пульсациями . Эти два объема будут либо сближаться, либо расходиться – в зависимости от того, какой из объемов («медленный» нижний или «быстрый» верхний) окажется впереди другого. Их относительная скорость будет равна .

Таким образом, результатом импульсации будет изменение относительной скоростью выделенных объемов на величину . Тогда с полным основанием мы можем записать, что и

. (4)

Составим теперь новое произведение c учетом знаков. Жидкие объемы, движущиеся вверх , после прохождения пути отстают в своем движении по оси от окружающей жидкости, то есть создают отрицательную пульсацию . С другой стороны, объемы, двигающиеся вниз , опережают в своем движении окружающую жидкость, т.е. создают положительную пульсацию , поэтому произведение имеет отрицательный знак, а касательное напряжение - положительный знак, т.к. . Тогда порядок величины касательного напряжения будет иметь вид

.

Предполагая коэффициент пропорциональности равным единице (Прандтль указывает, что такой выбор коэффициента приводит лишь к тому, что величина становится несколько больше неопределенной), получаем

. (5)

Для того, чтобы положительному градиенту скорости соответствовало положительное касательное напряжение , а отрицательному градиенту - отрицательное касательное напряжение, Прандтль формулу (5) записывает в виде

. (6)

Длина , входящая в формулу (6) называется длиной пути смещения (перемешивания) и имеет некоторое сходство с длиной пути свободного пробега молекул в кинетической теории газов. Вот какое физическое толкование дает сам Прандтль.

Длину можно понимать либо как диаметр шарообразного скопления частиц жидкости, движущихся как одно целое, либо как путь, который этот шар должен пройти относительно остальной жидкости, чтобы в результате смешения с окружающим турбулентным потоком потерять свою индивидуальность.

Формула (6) является основной в полуэмпирической теории Прандтля. Из нее следует, дополнительное напряжение, возникающее вследствие турбулентного перемешивания, пропорционально квадрату осредненной скорости течения, что соответствует наблюдаемому в опытах характеру гидравлического сопротивления.

Из сопоставления формулы Буссинеска (1) с формулой (6) следует, что коэффициент турбулентной вязкости равен

, (7)

а кинематический коэффициент соответственно

. (8)

Введение формулы (6) вместо формулы (1) Буссинеска, казалось бы, не продвигает дела вперед, так как вместо одной неизвестной величины (А) вводится другая неизвестная величина (). Однако, это на самом деле не так: формула (6) обладает известными преимуществами перед формулой Буссинеска. Во-первых, в ней проявляется квадратичный закон сопротивления, что подтверждается экспериментальными данными, во-вторых, относительно длины пути смешения можно сделать гораздо более обоснованные предложения, чем о коэффициенте вязкости. Так, например, можно утверждать, что длина смешения является функцией только пространственных координат: скажем у твердой стенки она равна нулю, т.к. движение поперек дна невозможно и т.д.

И, наконец, Прандтль сделал допущение относительно длины пути смешения - простейшее, которое может следовать из соображений

, (9) где - некоторая безразмерная константа,

- расстояние от твердой стенки.

Многочисленные опыты в трубах и лотках подтвердили предположение Прандтля. Оказалось, что представляет универсальную константу, равную примерно 0,38 – 0,40. Эта константа называется постоянной Кармана.

Вторая полуэмпирическая теория Тейлора

Если Прандтль исходил из предложений о сохранении импульса вихря на расстоянии, равном пути перемешивания (т.е. движение вихря на этом расстоянии происходит квазистатически и без смещения с окружающей средой, в конце пути вихрь внезапно отдает свое количество движения и полностью перемешивается). Теория переноса вихря Тейлора исходит из предположения о том, что турбулентные вихри способны переносить в пределах пути смешения присущую им завихренность

.

Для определения турбулентного напряжения и коэффициента турбулентной вязкости Тэйлор получил следующие формулы

, (10)

.

Следовательно, .

Таким образом, формула (10) отличается от аналогичных формул Прандтля множителем и путь смешения больше в раз.

Недостатком этих двух теорий является использование довольно неопределенной величины - пути смешения. Теодор фон Карман в 1930 г. предпринял попытку избавится от этой величины. Если предложить, что как касательное напряжение, так и входящая в его выражение длина пути смешения есть функции только первых и вторых производных от осредненной скорости, то из соображений о размерности непосредственно следует простая формула (11)

. (11)

Подставляя эту формулу в формулу Прандтля для касательного напряжения и в формулу для турбулентной вязкости, мы получим следующие соотношения, в которых величина уже не фигурирует

,

.

Таким образом, касательное напряжение и турбулентная вязкость могут рассматриваться как функции только осредненной скорости турбулентного течения.