Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова

Кафедра теории электрической связи им. А.Г. Зюко

Исследование временных и частотных характеристик типовых линейных звеньев

Методические указания к выполнению лабораторной работы № 1

по дисциплине «Основы теории систем»:

Одесса – 2013

1. Цель работы

1.1 Изучение способов описания линейных систем и их звеньев.

1.2 Исследование временных и частотных характеристик типовых линейных звеньев

2. Ключевые положения

Любое линейное звено или система (рис. 1) может быть полностью описана передаточной функцией следующего вида

,(1)

где и– изображения по Лапласу входного воздействияи реакции на негосоответственно;

–коэффициенты, характеризующие систему ().

Рисунок 1 – Линейная система

Для описания линейных систем используют:

– во временной области: переходную и импульсную характеристики;

– в частотной области: комплексную передаточную функцию – амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.

Для линейных систем вводят понятия воздействия и реакции.

Воздействие на систему – это сигнал (импульс), поданный на ее вход.

Реакция системы – это результат преобразования системой воздействия.

Переходная характеристика (ПХ) линейной системы – это реакция системы на воздействие в виде единичного скачка(функции Хевисайда),.

Математическое выражение функции Хевисайда:

(2)

Импульсная характеристика (ИХ) линейной системы , ее еще называют импульсной реакцией – это реакция системы на воздействие в виде δ-функции (дельта-функции, дельта-функции Дирака),.

Математическое выражение дельта-функции Дирака следующее:

(3)

Комплексную передаточную функцию системы получают, принимая в операторе,

. (4)

Как и любую комплексную функцию, можно представить через вещественную и мнимую части

, (5)

где – называется вещественной частотной характеристикой;

–называется мнимой частотной характеристикой.

Также можно записать в показательной форме

, (6)

где –амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – модуль комплексной передаточной функции – зависимость от частоты коэффициента передачи по амплитуде;

–фазо-частотная характеристика (ФЧХ) – аргумент комплексной передаточной функции – зависимость от частоты фазового сдвига, вносимого системой.

Связь между частотными характеристиками линейной системы может быть проиллюстрирована графически (рис.2).

Математически частотные характеристики линейной системы связаны следующим образом:

,

,

,

.

Рисунок 2 – Комплексная H-плоскость

При графическом построении записанных выше частотных характеристик задают различные значения ,i = 1,2,... в диапазоне частот от нуля до бесконечности, определяют соответствующие значения ,, ,, на графике указывают точки с соответствующими координатами, соединяя их прямыми линиями.

Комплексную частотную характеристику можно изобразить и в виде одной зависимости – годографа – амплитудно-фазо-частотной характеристики, построенной на комплексной плоскости. Годограф представляет собой геометрическое место концов вектора , соответствующих изменению частоты от ω = 0 до ∞.

При синтезе систем используют также логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ)

, дБ. (7)

Комплексная передаточная функция связана с импульсной характеристикой системы преобразованием Фурье:

–прямое преобразование,

–обратное преобразование.

Импульсная и переходная характеристики связаны друг с другом операциями дифференцирования и интегрирования:

, . (8)

Нижний предел интегрирования в выражении (8) равен нулю, а не –∞, т.к. по определению для физически реализуемых систем импульсная характеристика принимает нулевые значения при .

К типовым звеньям линейных систем относят перечисленные ниже.

1. Безынерционное (пропорциональное, усилительное) звено – это такое звено, для которого в любой момент времени реакция пропорциональна воздействию.

Характеристики:

– передаточная функция: ;

– комплексная передаточная функция: ;

– АЧХ: ;

– ФЧХ: ;

– уравнение: ;

– переходная характеристика: ;

– импульсная характеристика: .

Реакция безынерционного звена на единичное ступенчатое воздействие мгновенно достигает величины в k раз большей и сохраняет это значение. При k = 1 звено никак себя не проявляет, а при k = – 1 – инвертирует входной сигнал.

Безынерционное звено является всепропускающим, т.е. имеет одинаковый коэффициент передачи на всех частотах.

Любое реальное звено обладает инерционностью, но с определенной точностью некоторые реальные звенья могут рассматриваться как безынерционные, например, усилитель.

2. Идеальное дифференцирующее звено – это такое звено, реакция которого пропорциональна скорости изменения воздействия.

Характеристики:

– передаточная функция: ;

– комплексная передаточная функция: ;

– АЧХ: ;

– ФЧХ: ;

– уравнение: ;

– переходная характеристика: ;

– импульсная характеристика: .

Идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно, так как величина всплеска реакции при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия всегда ограничена. На практике используют реальные дифференцирующие звенья, осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала.

3. Реальное дифференцирующее звено первого порядка осуществляет приближенное дифференцирование входного сигнала. При малых Т такое звено можно рассматривать как идеальное дифференцирующее для низкочастотного воздействия, ширина спектра которого удовлетворяет условию .

Характеристики:

– передаточная функция: ;

– комплексная передаточная функция: ;

– АЧХ: на начальном участке (до частоты ) нарастает практически линейно, в его пределах реальное звено можно рассматривать, как осуществляющее идеальное дифференцирование, с ростом частоты стремится к ;

– ФЧХ: убывает с ростом частоты от придо 0 при, в диапазоне частот, где АЧХ может считаться линейно нарастающей,принимает значения близкие к;

– уравнение: ;

– переходная характеристика: ;

– импульсная характеристика: .

Как видим из выражения , при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия выходная величина ограничена по величине и растянута во времени.

Примерами таких звеньев могут являться четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности.

4. Идеальное интегрирующее (астатическое) звено – это такое звено, которое неограниченно "накапливает" входное воздействие.

Характеристики:

– передаточная функция: ;

– комплексная передаточная функция: ;

– АЧХ: ;

– ФЧХ: ;

– уравнение: ;

– переходная характеристика: ;

– импульсная характеристика: .

Пример интегрирующего звена: емкость.

5. Инерционное звено первого порядка (апериодическое). При достаточно больших Т такое звено может рассматриваться как интегрирующее, при малых Т звено приближенно можно рассматривать как безынерционное.

Характеристики:

– передаточная функция: ;

– комплексная передаточная функция: ;

– АЧХ: убывает с ростом частот от придо 0 при;

– ФЧХ: убывает с ростом частот от 0 при допри;

– уравнение: ;

– переходная характеристика: ;

– импульсная характеристика: .

Примеры апериодического звена: четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности.

6. Инерционное звено второго порядка (колебательное) – это такое звено, переходная и импульсная характеристика которого представляют собой колебательный процесс.

Характеристики:

– передаточная функция: ;

– комплексная передаточная функция: ;

– АЧХ: характеризуется наличием максимума на резонансной частоте , которая зависит от значенийТ₁ и Т₂;

– ФЧХ: убывает с ростом частот от 0 при допри, на частотефазовый сдвиг равен –90 градусов;

– уравнение: ;

– переходная характеристика является суммой единичного скачка и гармонического колебательного процесса с амплитудой колебаний пропорциональнойи периодом;

– импульсная характеристика является гармоническим колебательным процессом с амплитудой колебаний пропорциональной и периодом.

Скорость затухания колебаний переходной и импульсной характеристик такого звена зависит от величины

.

При колебания носят незатухающий характер. Соответственно, чем значениеближе к нулю, тем медленнее происходит затухание амплитуды колебаний.

Примером колебательного звена может служить электрический колебательный контур с активным сопротивлением и т.п.