1.2. Залежність корисної потужності джерела електричного струму від сили струму та зовнішнього опору

Розглянемо електричне коло, яке складається з джерела постійного стру­му та зовнішнього опору R (рис. 1). При протіканні струму через таке коло джерелом ЕРС виконується робота і в колі виділяється потужність.

Корисною потужністю називають потужність, яка виділяється на зовнішньому опорі. Із закону Джоуля-Ленца, корисна потужність дорівнює , а із закону Ома для ділянки кола. Тоді корисна потужність буде

, (1)

де – спад напруги на зовнішньому опорі. При протіканні струму через цей контур також виділяється „некорисна” потужність – розігрівається джерело ЕРС. За законом Джоуля-Ленца, ця потужність дорівнює. Повна потужність, яка виділяється у всьому колі, дорівнює. Використовуючи закон Ома для повного кола , можна знайти повну потужність

. (2)

Отже, повна потужність, яка виділяється у колі, дорівнює добутку сили струму на ЕРС джерела струму.

Нехай в колі можна змінювати зовнішній опір . Проаналізуємо, як корисна та повна потужності залежать від сили струму та зовнішнього опору.

Корисна потужність дорівнює різниці повної потужності і „некорисної”:

(3)

Рис. 2

З цього виразу видно, що корисна потужність є квадратичною функцією сили струму I. Графік цієї функції буде являти собою параболу (рис. 2).

З рис. 2 випливає, що P_к = 0 у двох випадках:

• коли коло розімкнене (R = ∞), в колі I = 0;

• коли виникло коротке замкнення, при цьому R = 0, а сила струму у колі буде максимальною .

Змінюючи величину зовнішнього опору, можна досягти деякого значення сили струму у колі, при якому корисна потужність буде максимальною. Знайдемо цей струм. Для цього знайдемо першу похідну і прирівняємо її нулю. З виразу (3) маємо:

. (4)

Звідси виходить

, (5)

а струм , при якому виділяється максимальна корисна потужність дорівнює. З іншого боку, на підставі закону Ома для повного кола, де– опір, при якому виділяється максимальна корисна потужність. Прирівнюючи два останні вирази, знаходимо, що

. (6)

Таким чином, корисна потужність буде максимальною за умови рівності зовнішнього та внутрішнього опорів.

Залежність корисної потужності від зовнішнього опору можна знайти із закону Джоуля-Ленца і закону Ома для повного кола:

. (7)

Графік залежності P_к(R) показаний на рис. 3 (крива б). Максимум функції P_к(R) можна знайти, прирівнюючи dP_к/dR  до нуля:

. (8)

З (7) також випливає очікувана рівність .

а – повна потужність

б – корисна потужність

Рис. 3

Розглянемо тепер, як повна потужність залежить від зовнішнього опору. Із виразу (2) для неї та закону Ома для повного кола знаходимо залежність повної потужності від зовнішнього опору:

. (9)

Графік цієї залежності показано на рис. 3 (крива а). При зміні зовнішнього опору від нуля (коротке замкнення) до нескінченності (коло розімкнене) повна потужність буде спадати від максимального значення до нуля.

3. Залежність коефіцієнта корисної дії джерела електричного струму від сили струму та зовнішнього опору кола

Коефіцієнт корисної дії (ККД) дорівнює відношенню корисної потужності (1) до повної потужності (2), яка виділяється у всьому колі

(10)

Спочатку знайдемозалежність ККД від сили струму. Якщо розділити вираз (3) для корисної потужності на вираз (1) для повної потужності, отримаємо

(11)

Отже, ККД являє собою лінійну функцію від сили струму (рис. 4). КолиI → 0 (коло розімкнене), то . При короткому замкненні , струм короткого замкнення

(12)

і ККД буде .

Для того, щоб знайти залежність ККД від зовнішнього опору, підставимо в (9) вираз для із закону Ома для ділянки кола, а вираз для– із закону Ома для повного кола. Тоді

(13)

Із співвідношення (13) випливає:

• при R ® 0 (коротке замкнення, );

• при R ® ¥ (коло розімкнене, );

• при R = r (умова максимуму корисної потужності) .

Наведений аналіз показує, що при збільшенні зовнішнього опору ККД асимптотично наближається до одиниці (рис. 5).