1.3.Что надо уметь:
1.3.1.Отличать среднюю скорость на данном участке пути от мгновенной скорости.
1.3.2.Записывать уравнение координаты по известным начальной координате, скорости и ускорению.
1.3.3.Решать задачи координатным методом.
1.3.4.Рассчитывать скорости и ускорения при поступательном и вращательном движении тел методом дифференцирования.
1.4.Примеры решения задач.
К наиболее типичным задачам по кинематике принадлежат:
1.4.1 Задачи на определение средней скорости.
1.4.2. Задачи о поступательном движении или о вращении твердого тела вокруг оси, в которых заданы их уравнения движения.
1.4.3.Задачи, в которых требуется определить максимальное или минимальное значение одной из кинематических величин.
1.4.5. Задачи на движение тел в гравитационном поле Земли.
При решении задач (1.4.1.) нужно уметь ориентироваться в ситуации, когда даны части пути, пройденного телом или время прохождения каждой части пути. Если даны части пути, то в скалярной формуле средней скорости (гдеS — весь путь, t - все время движения, включая время остановок) нужно выразить время t через данные части пути и скорости, а если даны доли времени, то необходимо общий путь S выразить через скорости и доли времени
Решение задач (1.4.2.) основано на использовании формул переменим, скорости, ускорения, где неизвестные находятся путем дифференцирования.
Задачи (1.4.3.) требуют применения методов математического анализа к исследованию функции на экстремум. В них нужно получить алгебраическое выражение искомой величины в произвольный момент времени, записав ее через данные характеристики движения. Что6ы найти максимум или минимум этой величины или условие, при котором она будет экстремальной, нужно продифференцировать полученное выражение и приравнять производную к нулю. В результате мы получим уравнение, из которого можно найти значение параметра, определяющего минимальное или максимальное значение искомой величины. Будет ли функция иметь максимум или минимум, можно иногда определить из физических соображений, а в общем случае - по второй производной.
Если вторая производная окажется больше нуля, функция имеет минимум, если меньше - максимум. Подставляя найденное значение 11 исходную формулу, мы получим экстремальное значение искомой величины. Этот прием особенно часто применяется при решении задач на кинематику колебательного движения, изучение которого предусмотрено в третьем семестре.
К задачам (1.4.5.) относятся задачи на свободное падение тел, движение тел, подброшенных вверх, брошенных горизонтально и мод углом к горизонту и др.
Эти задачи удобно решать координатным методом по следующему плану:
1.Выбрать тело отсчета, систему координат (ось X направить по направлению начальной скорости).
2. Записать уравнение координаты в общем виде для каждого тела:
Найти начальные условия и подставить их в уравнение координаты.
, .
3. Записать уравнение координаты для данного движения (с учетом начальных условий).
4.Найти искомое неизвестное, используя, если нужно, уравнение
проекции скорости (,)
, или=const.
Движение тел, брошенных горизонтально или под углом к горизонту, можно представить как результат двух одновременных независимых прямолинейных движений: одного вдоль поверхности Земли, второго - в направлении перпендикулярном поверхности Земли. Иными словами, сложное прямолинейное движение можно разложить на два простых, которые происходят в одно и то же время. Поэтому решение таких задач необходимо начинать с разложения вектора начальной скорости по двум взаимно перпендикулярным осям ОХ и OY, применив алгоритм решения к проекциям величин по осям ОХ и OY.
Задача 1.4.1 (а) Первую половину своего пути автомобиль двигался со скоростью = 72к.м/ч, а вторую половину пути - со
скоростью км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля?
Дано: ;;км/ч; 3 6 км/ч.
?
Анализ и решение:
Путь пройденный телом, состоит из двух равных частей поS каждая. Потому время, в течение которого автомобиль прошел первую половину пути, равно
, вторую - .
Подставив эти значения в формулу скалярной величины средней скорости, получим:
Произведем вычисления, переведя в систему СИ
м/с; 10м/с.
м/с.
Задача 1.4.1(6) Велосипедист ехал из одного пункта в другой. Первую часть пути он проехал со скоростью = 18км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью = 22км/Iч, после чего до конечного пункта он шел пешком со скоростью =5 км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста.
Дано: = 18км/ч; = 22км/Iч; =5 км/ч; ;.
-?
Анализ и решение:
где S – весь путь , t – все время. Первую треть пути велосипедист проехал за время . ОставшиесяS он первую половину времени ехал со скоростью , а вторую половину со скоростью, поэтому средняя скорость на этом пути.
Подставив это значение в общую формулу, получим:
.
Выразим величины скоростей в СИ и произведем вычисления
5 м/с;6,1м/с; 1,6м/с.
м/с.
Задача 1.4.2(а) Зависимость пройденного пути S от времени дается уравнением: S= At — Bt2 + Ct3, где A=2 м/с, В=3 м/с 2, С=4 м/с3.
Найти: а) зависимость скорости и ускорения от времени,
б) скорость и ускорение за t=2 с от начала движения.
Построить график зависимости скорости и ускорения от времени для интервала 0 t <3 счерез 0,5 с.
Дано: А=2 м/с.;В=3м/с; С=4м/с.
; (t) - ?; - ?;- ?
Анализ и решение:
Так как путь задан уравнением ,скорость определим,
продиффенцировав по времени Соответственно ускорение.
Подставив значение постоянных величин получим скорость и ускорение:
и .Следовательно, через 2 с от начала движения
м/с.
Построим графики зависимостей v(t) и a(t):
Задача 1.4.2(6) Колесо радиусом R=0,l м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением , где В=2рад/с, С=1 рад/. Для точек, лежащихна ободе колеса, найти через время t=2 с после начала движения: а) угловую скорость , б) линейную скорость v, в) угловое ускорение , д) тангенциальное и нормальное ускорение.
Дано: R=0,1 м; B=2 рад/с; C=1 рад/;t=2 c.
?, V-?, -?,-?,-?
Анализ и решение:
Угловую скорость найдем дифференцированием.
; Линейная скорость связана с угловой: .
Угловое ускорение – первая производная от угловой скорости. .
Тангенциальное и нормальное ускорения можно найти по формулам:
, . Подставим в формулы числовые значения величин и рассчитаем.
Получим: 14рад/с, v=1.4м/с =12рад/, =1,2м/с, =19,6 м/
Задача 1.4.2(в) Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где А=10рад, В=20 рад/с, С= -2 рад/. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии R= 0,1 м от оси вращения, для момента времени t=4 с.
Дано: A=10 рад; В=20 рад/с, С=-2рад/
а-?
Анализ и решение:
Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорений.
.
Так как векторы ивзаимно перпендикулярны, то модуль ускорения.
Но , поэтому
Угловую скорость найдем, взяв производную угла поворота по времени:
. В момент времени t=4 с угловая скорость:
= 20 + 2(-2) 4 =4 (рад/с). Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:
(рад/с) . Подставляя значения ив формулу ускорения, получим:=l,65(м/).
Задача 1.4.3(а) Зависимость пройденного телом пути от времени выражается уравнением S=. Найти
экстремальное значение скорости тела. Построить график зависимости скорости от времени за первые 5 с движения, если а=0,25м/, b=9 м/.
Дано: а=0,25м/, b=9 м/.
-?
Анализ и решение:
Найдем зависимость скорости от времени, определив производную и подставив числовые значения а и b. . Для нахождения экстремума возьмем производную от скорости по времени и приравняем ее нулю:- 18 = 0;
. Нас интересует положительный корень: t=2,45 с;
поэтому = -29,3м /с.
a |
t |
0 |
0 |
1 |
-17 |
2 |
-28 |
2,45 |
-29,3 |
3 |
-27 |
4 |
8 |
5 5 |
35 |
Задача 1.4.4(а) С аэростата, находящегося на высоте 300 м, упал камень. Через сколько времени камень достигнет Земли, если: 1) аэростат поднимается со скоростью 5 м/с, 2) аэростат опускается со скоростью 5 м/с, 3) аэростат неподвижен. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано: h=300 м, v=5 м/с
- ? - ?- ?
Анализ и решение:
В данной задаче рассматривается свободное падение тела. Воспользуемся приведенным выше планом решения.
1. Выберем в качестве тела отсчета аэростат в начальный момент времени. Так как движение происходит в одном направлении,
2. Запишем уравнение координаты данного равноускоренного движения (свободного падения) для камня:
3. Найдем начальные условия для ответа на первый вопрос задачи:= 0,
= -5м/с, а = g.
0Проекция начальной скорости камня по модулю равна скорости аэростата и имеет знак «-», так как скорость направлена против осиOY.
4. Подставим начальные условия в уравнение координаты:
.
y
Конечная координата известна (y = ЗОО м), поэтому
Решая это уравнение, находим искомое неизвестное
Подставив числовые значения, получим:
с
Отбрасывая отрицательный корень, получим 8,3 с .
Ответы на второй и третий вопросы задачи предлагаются студентам для самостоятельной работы. Приведем эти решения:
2. ,=0 .=5м/с,
, ,7,3с.
3. =0,=0,a=g, ,,7,8с.
Задача 1.4.4(6) Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью =4м/с. Когда оно достигло верхней точки полета из того же начального пункта, с той же начальной скоростью вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянииh от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.
Дано: =4м/с, a=, .
h-?
Анализ и решение:
Y Выберем ось OY снизу вверх по
направлению движения первого тела.
h Уравнение координаты в общем виде .
Для первого тела начальные условия согласно
выбранному направлению оси = 0,=4м/с, a= -g.
0 Следовательно уравнение координаты первого тела
(1)
Для второго тела уравнение координаты будут отличаться только значением времени:
Определим время t, исходя из того, что скорость в наивысшей точке v=0
, v=0, a=-g поэтому ,
Но время движения второго тела как раз на эту величину меньше времени движения первого тела:
, поэтому (2)
При встрече тел их координата будет одной и той же, . Приравняв (1) и (2), получим:
Определим время встречи тел t:
,
Поскольку расстояние от начального пункта, на котором встретятся тела,
, то
м.
Задача 1.4.4(в) С башни высотой h=25 м горизонтально брошен камень со скоростью = 15м/с. Какое время t камень будет в движении? На каком расстоянии х от основания башни он упадет на землю? С какой скоростью он упадет на землю? Какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения?
Дано: = 15м/с, h=25 м.
t-?, x-?, v-?, -?
Анализ и решение:
Y
A
0 X
v
Вдоль оси OY камень двигался равноускоренно: .
Начальные условия: =h, 0,a=-g. Поэтому . Но конечная координатаy=0 и . Время движения тела:с.
По оси ОХ тело движется равномерно. Поэтому расстояние, на котором оно упадет на землю .
Но 0,33,9м.
Чтобы определить скорость, с какой тело упадет на землю, нужно найти скорость в точке А по вертикали , поэтому
26,7 м/с.
Угол , который составит траектория камня с горизонтом, определится так:
sin= 0,827, откуда = 55°48'.