- •1. Исследование функций и построение графиков.
- •1.3 Экстремумы функции.
- •1.4 Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.
- •1.7 Примеры выполнения ргр.
- •2. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.
- •2.1 Эмпирические формулы.
- •2.2 Определение параметров линейной зависимости методом наименьших квадратов.
- •Рекомендуемая литература.
- •98309, Г. Керчь, Орджоникидзе, 82
1.7 Примеры выполнения ргр.
Пример 1.Исследовать функцию и построить график.
Область определения функции ;
Исследуем функцию на четность и нечетность: . Получили,и, т.е. данная функция общего вида.
Находим точки пересечения с осями координат:
при ,
при решаем уравнение
Точки пересечения (0; 0) и (-3; 0).
Найдем интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы. Для этого найдем производную и решим уравнение.
Производная обращается в ноль при или.
Критические точки
Для проверки достаточных условий экстремума и определения интервалов убывания, возрастания составим таблицу. Полезно нанести критические точки на числовую ось.
+ |
0 |
|
0 |
+ | |
Возрастает |
0 max |
Убывает |
-4 min |
Возрастает |
Производная сохраняет знак в каждом из указанных интервалов. Для его определения выберем в каждом интервале пробную точку и определим знак производной в этой точке. Например, в первом интервале выберем точку. Вычислим
, производная больше нуля, функция на этом интервале возрастает и т.д. При переходе через точку производная меняет знак с «плюса» на «минус», следовательно, точка (-3; 0) точка максимума; (-1;-4) - точка минимума.
Найдем точки перегиба графика функции. Для этого определим вторую производную и решим уравнение.
- критическая точка. Для проверки достаточных условий выпуклости, вогнутости составим таблицу.
|
0 |
+ | |
Выпуклая
|
-2 Точка перегиба |
Вогнутая
|
На интервале вторая производная имеет отрицательный знак – график функции на этом интервале выпуклый, на интервалевторая производная положительная – график функции на этом интервале вогнутый, точка (-2; -2) - точка перегиба.
Строим график функции (рис. 7). Находим дополнительные точки
Пример 2. Исследовать функцию и построить график.
Область определения , т.е..
Функция нечетная .
Точка пересечения с осями (0; 0).
Интервалы знакопостоянства. Разложим знаменатель на множители . На числовой прямой изобразим точкии определим знак функции в каждом из полученных интервалов.
На интервалах ифункция имеет положительный знак, на интервалахи- отрицательный.
Находим асимптоты. Точки с абсциссами являются точками разрыва, следовательно, вертикальные асимптоты прямые. Определим односторонние пределы в этих точках.
Наклонную асимптоту будем искать в виде .
Получили: - горизонтальная асимптота.
Находим интервалы убывания, возрастания, экстремумы функции. Для этого найдем производную и решим уравнение.
Производная не обращается в нуль ни в одной точке. В точках производная не существует, но эти точки не принадлежат области определения, поэтому точек экстремума нет. На числовой прямой изображаем точкии определяем интервалы убывания и возрастания функции.
В каждом из интервалов производная имеет положительный знак, следовательно функция возрастает на всей области определения.
Определяем точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. Находим вторую производную и решаем уравнение .
Критические точки . Для проверки достаточных условий выпуклости, вогнутости составляем таблицу.
+ |
|
0 |
+ |
─ | |
Вогнутая |
Выпуклая |
0 Точка перегиба |
Вогнутая |
Выпуклая |
Строим график функции (рис. 8).
Дополнительные точки .