Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M00685(В.М

.).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

615.43 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

	21
Приклад 1.13
Обчислити інтеграл ∫	sh2 z		dz
Обчислити інтеграл ∫	(z +πi)	3	dz
\|z +i\|=3	(z +πi)

Розв’язок:

Підінтегральна функція є аналітичною в | z + i |≤ 3 крім точки z0 = −πi .

	А функція			f(z) =sh2 z			всюди аналітична в цьому колі.
Використовуючи формулу (2):
∫	sh2 z		dz =	2πi	(sh2 z)″		=πi 2(sh2 z +ch2 z)	z =−πi = 2πi


	(z +πi)	3		2!
\|z +i\|=3						z =−πi

1.6 Ряди Тейлора та Лорана

Функція f(z), однозначна та аналітична в точці z = z0 , може бути розвинена в околі цієї точки в ряд Тейлора:

	∞
	f (z) = ∑cn (z − z0 )n ,
	n=0
коефіцієнти якого cn обчислюються за формулами:
1	f (z)dz	f (n) (z	)
Cn = 2πi	∫L (z − z0 )n+1 =	n! 0		,	(n = 0,1, 2...)
де L – коло з центром в точці z = z0 ,					що цілком міститься в

околі точки z0 , в якому функція f(z) аналітична.

Центр круга, в якому ряд Тейлора збігається, знаходиться в точці z = z0 .

Радіус збіжності ряда R дорівнює відстані від точки z0 до найближчої до неї особливої точки (тобто до точки, в якій функція не аналітична). Таким чином, область збіжності ряда: z − z0 < R .

Ряди Тейлора для елементарних функцій мають той самий вигляд, що і для функцій дійсного аргумента. Запишемо деякі з них та вкажемо область їх збіжності:

ez = 1

+ z +

+ ... +

+ ... =

∞

< ∞

∑

n=0

∞

cos z =1−

−... +(−1)n

+... = ∑(−1)n

(2n)!

n=0

2n+1

∞

2n+1

sinz =z −

−...+(−1)n

+...=∑(−1)n

(2n +1)!

n=0

α(α −1)

α(α −1)(α −2)

(1+ z) =1+αz

+...

... +α(α −1)(α −2)...(α −n +1) zn +...

∞

=1− z + z2

−... +(−1)n zn

+... = ∑(−1)n zn

1+ z

n=0

∞

=1+ z + z2

+ z3 +... + zn +... = ∑ zn

1− z

n=0

z < ∞

z <∞

z <1

∞

ln(1+ z) = z −

−... +(−1)n−1

+... = ∑(−1)n−1

n=1

Останнє розвинення – це ряд Тейлора для головного значення логарифма. Для інших значень багатозначної функції Ln(1+ z) ряд

Тейлора матиме вигляд:
Ln(1 + z) = z −	z2	+	z3	−... + 2nπi, äå n = ±1, ± 2,...
Ln(1 + z) = z −	2	+	3	−... + 2nπi, äå n = ±1, ± 2,...
	2		3

Приклад 1.14

Розвинути в ряд Тейлора функцію f (z) = 5z1+1 по степенях z +3 .

Розв’язок:

1 спосіб. Знайдемо значення функції та її похідних в точці z = −3 :

f (z) =

f (−3) = −

5z +1

′

(5z +1)2 ,

f (z) = −

f (−3) = −142

′′

52 2

′′

52 2

(5z +1)3 ,

143

f (z) =

f (−3) = −

′′′

53 3!

′′′

53 3!

= − (5z +1)4

(z)

(−3) = − 144

............................................

Отримаємо ряд:

= −

−

(z +3) −

(z +3)2 −

(z +3)3 −... −

(z +3)n −...

5z +1

142

143

144

14n+1

z0 = −3

Відстань між точкою

та точкою, в якій функція не

аналітична z

дорівнює R =

z − z

= −

3 −

. Тому область

збіжності ряда

z +3

2 спосіб. Застосуємо відоме розвинення

∞

=1+ z + z2 + z3 +... + zn +... = ∑ zn

1− z

n=0

Для цього перетворимо функцію таким чином:

5z +1

5(z +3 −3) +1

5(z +3) −14

5(z +3)

14 1−

В розвиненні

необхідно замінити z на

5(z + 3)

− z

5(z +

52 (z +

3)2

(z +

3)n

= −

+.... +

... =

5z +1

= −

−

(z +3)−

(z +3)2 −... −

(z +3)n

−...

142

143

14n+1

Ряд

Тейлора

для

функції

збіжний при

<1 ,

тому

− z

отриманий ряд буде збіжним при

5(z +3)

<1, тобто при

z +3

Функція f (z)

r <

z − z0

< R

аналітична

кільці

(не

виключаючи

випадки

r = 0

та

R = ∞ )

може

бути в цьому

кільці

єдиним чином розвинена в ряд Лорана:

∞

−1

∞

f (z) = ∑cn (z − z0 )n

= ∑cn (z − z0 )n +∑cn (z − z0 )n

n=−∞

n=0

−1

∞

c−n

При

цьому

ряд

∑cn (z − z0 )

= ∑

називається

n=−∞

n=1 (z − z0 )

∞

головною частиною ряда Лорана, а ряд ∑cn (z − z0 )n

– правильною

частиною.

n=0

Коефіцієнти cn знаходяться за формулами:

f (z)dz

cn =

2πi ∫L (z − z0 )n+1

(n = 0, ±1, ± 2...)

де L – довільне коло з центром в точці

z = z0 ,

яке належить

даному кільцю.

На практиці при знаходженні коефіцієнтів cn намагаються

уникати застосування останніх формул, тому що вони призводять до громіздких обчислень. Якщо це можливо, використовують відомі розвинення елементарних функцій.

					25
Приклад 1.15
Знайти			різні		розвинення	в	ряд Лорана функції
f (z) =		2z + 2		по степенях z .
f (z) =	z2	+ 2z −3		по степенях z .
	z2	+ 2z −3
Розв’язок:							z1 = −3 та z2 =1. Звідки
Функція f (z)					має дві особливі точки:		z1 = −3 та z2 =1. Звідки
маємо 3 області з центром в точці						z0 = 0 , в кожній з яких f (z)
аналітична:

1)круг z <1

2)кільце 1 < z < 3

3)3 < z < ∞ – зовнішність круга z ≤ 3 .

Знайдемо ряди Лорана для функції f (z) в кожній з областей. Представимо f (z) у вигляді суми елементарних дробів:

f (z)

(1.15)

−1

1) Розвинення в області

Застосуємо відоме розвинення

=1+ z + z2 + z3 +... + zn +...,

1− z

= −1− z − z2 − z3 −... − zn −...,

(1.16)

z −1

1−

−

+... ...,

<1,

< 3

(1.17)

z +3

3 9 27

3 1

Підставимо (1.16) та (1.17) в (1.15) та отримаємо ряд:

f (z) =

−

+...−1−z −z

−z

−.....=−

−

z −

−

−...

Область збіжності ряда z <1 , тобто це область, де одночасно

збігаються обидва ряди (1.16) і (1.17). Це розвинення є рядом Тейлора функції f (z) .

2) Розвинення в кільці 1 < z < 3

Ряд (1.17) в цьому кільці збігається, а ряд (1.16) – розбігається.

Тому знайдемо інший розклад для функції

, який буде збіжним в

−1

даному кільці.

+ .....,

+ ...

z − 1

z 2

−

z 1

(1.18)

< 1,

> 1

Підставимо (1.17) та (1.18) в (1.15) та отримаємо необхідний ряд

f (z) =

−

+...

+.....=

∞

1 ∞

(−1)n zn

=....+

−

+...=∑

∑

n=1 z

3n=0

Ряди (1.17) і(1.18) однозначно збігаються в області 1 < z < 3. Це

іє область збіжності отриманого ряда.

3)Розвинення для z > 3

Ряд (1.18) збіжний в цій області, а ряд (1.17) – розбіжний. Тому

знайдемо ряд для функції

, який буде збіжним в області

> 3 .

z +

(1.19)

1 −

−

+ ...

< 1,

> 3

z + 3

z 2

z 1 +

Підставимо (1.18) і (1.19) в (1.15):

1 1

3 9 27

2 10 26

f (z)=

+....

−

+...

−

+...

z z

z z z

Цей ряд збіжний для z > 3 .

Приклад 1.16

0 <| z +1|< 3

Розкласти

ряд Лорана в

кільці

функцію

f (z) =

(z +1)2 (z −2)

Розв’язок:

1 спосіб

f (z) є аналітичною в кільці 0 <| z +1|<3 . Коефіцієнти

Функція

знайдемо за формулами:

Cn =

∫L

f (z)dz

∫L

2πi

(z +1)n+1

2πi

(z +1)n+3 (z −2)

де L – будь-яке коло з центром в точці

z0 = −1,

яке лежить в

кільці 0 <| z +1|<3 .

Якщо

n +3 ≤ 0 ,

то

підінтегральна

функція

(z +1)|n+3|

аналітичною

всередині

кола L, не

(z +1)n+3 (z −2)

z −2

виключаючи

точки

z0 = −1.

Тому

за

теоремою

Коші

= 0 . Звідки маємо Cn = 0 для n = −3, −4, −5,... .

∫L (z +1)n+3 (z −2)

Якщо n +3 > 0 ,

то

за формулою

для похідної будь-якого

порядка від аналітичної функції отримаємо:

d n+2

∫

−2)

Cn =

n+3

n+2

2πi L

+1)

(n +

2)! dz

z −2

z =−1

(−1)n+2 (n + 2)!

1 n+3

= −

(n + 2)!

(z −2)n+3

3n+3

z =−1

Таким чином, для n = −2, −1, 0,1, 2,... Cn

= −

3n+3

Ряд Лорана даної функції в кільці 0 <| z +1|<3 має вигляд:

∞

= ∑+Cn (z +1)

∑

−

(z +1)

(z −2)

n+3

n=−2

z +1

(z +1)2

= −

−

−...

3(z

+1)

3 (z

2 спосіб

Функцію f (z) розкладемо у суму елементарних дробів:

−

f (z) =

(z +1)2 (z −

+1)2

+1)

−2)

Далі необхідно останній дріб надати у вигляді суми степенів

(z +1) .

+1 1

z +1 2

z +1 3

= −

+ ...

(z − 2) (z

+1) − 3

z +1

3 3

−

3 1

z +1

Ряд

збіжний

при

<1,

z +1

<3 .

Підставивши

f (z) ,

отриманий ряд в розклад функції

отримаємо

ряд

Лорана

кільці 0 <| z +1|<3 :

z +1

(z +1)2

= −

−

−...

(z +1)

(z −2)

3(z +1)

3 (z +1)

1.7 Нулі аналітичної функції

Будь-яка точка a , для якої f (a) = 0 , називається нулем функції f (z) .

Інакше кажучи, нулі функції f (z) – це корені рівняння f (z) = 0 .

Нехай

f (z) ≠ 0 аналітична в точці a ≠ ∞ .

Точка

a має назву нуль порядку (або кратності)

функції

f (z) , якщо її степеневий ряд за степенями (z −a) має вигляд:

f (z) = c (z −a)k

(z −a)k +1

+...

c ≠ 0

(1.20)

k +1

Якщо k =1 , то точка a називається простим нулем.

Із

формули

f (m) (a)

(m = 0,1, 2,...; f (0)

= f ; 0!=1)

випливає:

якщо a є нулем порядку k функції f (z) , то

′

(k −1)

(a) = 0; f

(k )

(a) ≠ 0

(1.21)

f (a) = f (a) =... = f

Тобто порядок нуля є порядок найменшої похідної, відмінної

від нуля.

Для того, щоб точка a була нулем порядку k аналітичної функції, необхідно і достатньо, щоб цю функцію можна було в деякому околі цієї точки подати у вигляді:

f (z) = (z −a)k ϕ(z)	(1.22)
де ϕ(z) – аналітична в точці a і ϕ(a) ≠ 0 .	f (z) , то для функції
Якщо точка a є нулем порядку k функції	f (z) , то для функції
g(z) = ( f (z))p ( p ≥1) ця точка є нулем порядку	pk .

1.8 Ізольовані особливі точки

Точка z0 називається ізольованою особливою точкою функції

f (z) , якщо існує такий окіл цієї точки	z − z0	< R , в якому f (z)
f (z) , якщо існує такий окіл цієї точки	z − z0	< R , в якому f (z)
аналітична всюди, крім точки z = z0 .
Функція f (z) розкладається в	ряд	Лорана в області

0 < z − z0 < R

k =∞
f (z) = ∑ck (z − z0 )k	(1.23)

k =−∞

Ізольовану особливу точку однозначної аналітичної функції

f(z) будемо називати:

1)усувною, якщо в розкладі (1.23) ck = 0 для k = −1;−2;−3;... ,

тобто відсутні від’ємні степені (z − z0 ) .

Функція має скінчену границю в усувній точці: lim f (z) = c0

z→z0

2) полюсом порядку (або кратності) m ≥1, якщо в розкладі

(1.23) c−m ≠ 0 , ck = 0 для k = −(m +1);−(m + 2);−(m +3);... , при цьому полюс називається простим, якщо m =1, і кратним при m >1.

В цьому випадку:	lim f (z) = ∞
	z→z0
Якщо z = z0	полюс m -го порядку функції			f (z) , то в деякому
околі цієї точки має місце f (z) =		1	g(z) , де g(z) аналітична
околі цієї точки має місце f (z) =		(z − z0 )m	g(z) , де g(z) аналітична
в точці z = z0 та	g(z0 ) ≠ 0 . Для того, щоб		z = z0	була нулем m -го

порядку аналітичної функції F(z) , необхідно і достатньо, щоб для

функції f (z) =	1	точка z = z0	була полюсом m -го порядку.
	F(z)

3) істотно особливою точкою, якщо в розкладі (1.23)
нескінчена кількість коефіцієнтів			ck ≠ 0 ( k = −1;−2;−3;... ), членів з

від’ємними степенями (z − z0 ) . В як завгодно малому околі істотно

особливої точки функція f довільного числа (скінченого f (z) в істотно особливій точці

(z) приймає значення, близькі до чи нескінченного). Границя функція не існує.

1.9 Лишки

Лишком функції f (z) в ізольованій особливій точці z = z0 називається коефіцієнт с–1 ряду Лорана (1.23), тобто

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.2016317.44 Кб281Likarsky_i_pedagogichny_kontrol_v_sistemi_fi.doc
#
07.02.2016371.71 Кб5linlab.doc
#
07.02.201679.68 Кб23Lozitska_1_chastina.docx
#
07.02.2016460.12 Кб3LR_TOY_M03062.pdf
#
23.11.20181.25 Mб14lvs_tz.doc
#
07.02.2016615.43 Кб8M00685(В.М.).pdf
#
07.02.20164.74 Mб10M00788(философия).pdf
#
07.02.2016543.84 Кб6M00920.pdf
#
07.02.20161.97 Mб10M00968.pdf
#
07.02.2016475.79 Кб6M01220.pdf
#
07.02.20161.55 Mб7M01285 СОЦІОЛОГІЯ печать.pdf