математика 1874
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
nπx |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
− |
(− 3cosπn − 9cos(− πn))− |
|
|
|
|
sin |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
π |
|
|
|
|
−3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
12 |
cos nπ = (− 1)n |
|
12 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Отже, ряд Фур′є для даної функції має вигляд |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
12 |
|
πx |
|
1 |
|
|
2πx |
|
1 |
|
3πx |
|
|
|
1 |
|
|
4πx |
|
|
|
|
|||||||
3 − |
|
|
sin |
|
− |
|
sin |
|
|
|
+ |
|
sin |
|
|
− |
|
|
sin |
|
|
|
+ ... . |
|
|||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Розклад в ряд функцій, заданих на інтервалі (0; l]. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Іноді маємо справу з функціями, |
|
заданими тільки на інтервалі |
0 < x ≤ l . В цьому випадку можна продовжити по деякому закону функцію на інтервал − l < x ≤ 0 , а потім продовжити її на всю числову пряму періодично з періодом 2l. Продовжити функцію з інтервала 0 < x ≤ l на інтервал − l < x ≤ 0 можна довільним способом. Найчастіше функцію продовжують парним чи непарним способом. Якщо функцію продовжують парним способом, то ряд Фур′є містить тільки косинуси і вільний член. Якщо продовжити непарним способом, то ряд Фур′є містить тільки синуси. Одержані ряди представляють на інтервалі 0 < x ≤ l задану функцію.
Приклад 28. Розкласти в ряд по синусам функцію f (x) = x ,
задану на інтервалі 0 < x ≤ 1. Розв′язання.
Для розкладу функції в ряд по синусам потрібно спочатку її
продовжити на інтервал |
− 1 < x ≤ 0 |
непарним способом, а потім |
|
одержану функцію продовжити періодично на всю числову вісь: |
|||
|
у |
|
|
|
1 |
|
|
-2 -1 |
0 1 2 |
3 |
4 х |
-1
82
|
Так |
|
|
як |
продовжена |
|
функція |
|
|
||||||||||||||
a0 = 0, an = 0 (n = 1,2,3...), а для нашого приклада |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
u = x, dv = sin nπxdx |
|
|
|||||||||||
bn |
= 2∫ x sin nπxdx = |
du = dx, v = − |
1 |
|
|
cos nπx |
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
2 − |
cos nπx |
|
+ |
|
∫cos nπx dx = |
|
|
|
|
|
||||||||||||
nx |
nπ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
2 − |
|
|
cos nπ + |
|
|
|
sin nπx |
|
= − |
|
cos nπ = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
nπ |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
π |
|
|
|
0 |
|
|
nx |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= (− 1)n+1 |
(n = 1,2,3...) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, одержуємо наступний розклад:
непарна, то
−2 (− 1)n = nπ
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
sinπx − |
|
sin 2πx + |
|
sin3πx − |
|
sin 4πx + ... |
π |
|
|
|
||||
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
На інтервалі 0 < x < 1сума цього ряду дорівнює х.
ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ
Завдання 1. Довести безпосередньо збіжність рядів і знайти їх суми
1. |
∞ |
1 |
|
|
|
|
∑n=1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(3n + 1)(3n + 4) |
||||
3. |
∞ |
1 |
|
|
|
|
∑n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(n + 3)(n + 4) |
||||
5. |
∞ |
1 |
|
|
|
|
∑n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n(n + 4) |
2. |
∞ |
1 |
|
|
|
|
∑n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 2)(n + 3) |
||||
4. |
∞ |
1 |
|
|
|
|
∑n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n(n + 1) |
||||
6. |
∞ |
1 |
|
|
|
|
∑n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2n(2n + 2) |
7. |
∞ |
1 |
|
|
|
∑n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1)(n + 2) |
|||
9. |
∞ |
1 |
|
|
|
∑n=1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
(3n − 1)(3n + 2) |
83
8. |
∞ |
1 |
|
|
|
∑n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n − 2)(3n + 1) |
|||
10. |
∞ |
1 |
|
|
|
∑n=1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
(4n − 3)(4n + 1) |
Завдання 2. Дослідити збіжність числового ряду за необхідною ознакою збіжності.
1. |
∑ ln |
|
|
|
|
2. |
∑ |
|
(n − 1) |
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
n=1 n3 + 5n2 + 3 |
||||||||||||
3. |
∞ |
|
1+ 9n |
4. |
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
∑ |
|
|
∑arccos |
|
|
|||||||||||||
|
16n + 3 |
|
n |
||||||||||||||||
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
∞ |
|
|
|
nπ |
|
6. |
∞ |
|
n + 4 |
|
|
|
||||||
|
∑tg |
|
|
|
∑ln |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
+ 4n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 |
1 |
|
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||
7. |
∞ |
2n + 1 |
8. |
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||
|
∑ |
|
∑arctg |
|
|
||||||||||||||
|
n 5 |
|
n |
+ 1 |
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|||||||||||||
9. |
∞ |
3n |
2 |
+ 2 |
|
|
10. |
∞ |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1+ 5n |
|
|
+ n3 |
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
n=11 |
|
|
|
Завдання 3. Дослідити на збіжність ряди за ознакою порівняння.
1. |
∞ |
1 |
|
|
|
|
2. |
∞ |
2n + 1 |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
∑ |
||||
|
n=1 |
2n2 + 5 |
|
n=1 n2 + 4 |
|||||||
3. |
∞ |
n |
2 |
|
4. |
∞ |
|
|
|
||
|
∑ |
|
|
|
|
∑ n + 1 |
|||||
|
(n2 + 1)(n + 6) |
|
|||||||||
|
n=1 |
|
n=1 n3 |
||||||||
5. |
∞ |
5n |
|
|
|
6. |
∞ |
3n |
|||
|
∑n=1 |
|
|
|
|
∑n=1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1+ n3 |
|
|
|
|
(2n − 1)(2n + 1) |
84
7. |
∞ |
n |
8. |
∞ |
3n − 1 |
|||
|
∑ |
|
∑ |
|||||
|
n=1 n |
2 + 2 |
|
|
n=1 |
n(n + 4) |
|
|
9. |
∞ |
n + 5 |
10. |
∞ |
n |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
∑n=1 |
|
|
|
∑n=1 2n − 1 |
|||
|
n(2n + 1) |
|
Завдання 4. Користуючись ознакою Даламбера, дослідити на збіжність ряди:
1.∞ 3 n 1
5 nn=1
3. ∞ n
∑n=1 2n
5. ∞ 7n
∑ n + 1
=
n 1
7.∑∞ 2nn!− 1=
n 1
9.∑∞ 2n2 − 1n=1 n
2. |
∞ |
2 |
n |
|
∑ |
|
|
|
(n + 2)! |
||
|
= |
||
|
n 1 |
|
|
4.∞ 3n
∑(n + 1)2n=1
6.∞ n!
∑3nn=1
8. |
∞ |
3 |
n |
|
∑ |
|
|
|
n(n + 1) |
||
|
= |
||
|
n 1 |
|
|
10.∑∞ nn!+ 3=
n 1
Завдання 5. Дослідити на збіжність ряди, користуючись ознакою Коші (радикальною).
1. |
∞ 1 n + 1 n2 |
2. |
∞ |
|
3n2 n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
2 |
|
|
n |
|
n=1 |
n |
|
+ n − 1 |
|||||||
3. |
∞ |
n + 1 |
5n |
4. |
∞ 3n |
+ 1 n2 |
|||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
2n |
|
|
∑n=1 3n |
85
5. |
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
2n |
6. |
∞ |
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|||||
|
∑ |
arcsin |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 n |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
3n |
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
∞ |
n + 1 |
2n |
|
8. |
∞ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
3n |
|
− n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=1 |
6n |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
7n2 + 2 |
|
|||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
n2 |
|
10. |
∞ |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
n |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
1 |
+ |
n |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
2n − 1 |
|
|||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
7n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання 6. Користуючись дослідити на збіжність ряди:
1. |
∞ |
1 |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
(5n − 2)ln(5n − 2) |
||
|
n=1 |
|
|
3. |
∞ |
1 |
|
|
7 n |
||
|
∑ |
||
|
n=1 |
n2 |
5.∞ ln2 (n + 1)
∑n + 1=
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
∞ |
|
|
1 |
|
|
||
|
∑n=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
(n + 2)ln3 (n + 2) |
|||||||
9. |
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 1 |
|
|
||
|
n=1 n |
cos |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n
інтегральною ознакою Коші,
2 |
∞ |
arctg n |
|
|
||
|
∑ |
|
|
|||
|
1+ n2 |
|||||
|
n=1 |
|||||
4. |
∞ |
|
− n |
|||
|
∑ e |
n |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
∑n=1 |
|
|
|
||
8. |
(1+ n2 )arctg n |
|
||||
∞ |
|
e |
n |
|||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
1+ e2n |
|||
10. |
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
∑n=1 |
|
|
|
||
|
(1+ n2 )arctg 2n |
86
Завдання 7. Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряди:
1. |
∑ (− 1) (2n |
|
− 1) |
|
|
2. |
∑ |
(− 1) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
(n + 1) 3n |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
∞ |
(− 1)n |
|
2n + 1 |
|
|
|
|
4. |
∞ |
(− 1)n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n2 + 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
3n4 + 2 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5. |
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
∞ |
|
|
|
|
|
|
n − 1 |
|
|
|||||||
|
∑ |
|
|
(− 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
(− 1)n |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
(3n + 1)2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
4n + 3 |
|||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
∞ |
(− 1) |
|
|
|
|
|
|
n |
8. |
∞ |
(− 1) |
|
n + 1 |
|||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
3n |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
2n + 3 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n n |
|
|
|
||||||||||||||
9. |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2n − 1 |
|
|
10. |
∞ |
( |
)n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∑ |
(− 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n3 + n + 1 |
|
∑n=1 (2n − 1)! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Завдання 8. Вказати радіус збіжності степеневого ряду. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ (x − 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ 2n + 1 |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||
1. |
n∑=0 |
|
|
|
|
|
2. |
n∑=0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n − 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(m + 1)9n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
(x + |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
∑ |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
∑ |
|
|
|
|
(x + 2)n |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
3n − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 n3 − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
∞ |
|
n + 2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
(x |
+ 1) |
|
|
|
6. |
∑ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=1 n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
( |
)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
(x |
+ 1)n |
8. |
∑ |
|
− |
1 |
|
( |
x + |
)n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2n − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 n |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(x + 1)n |
|
|
|
||||||||||||||
9. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n∑=0 (2n + 1)2n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87
Завдання 9. Розкласти в степеневий ряд за степенями х функції.
1. |
sin |
2 |
x |
2. |
x sin 2x |
3. |
x |
3 |
e |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
x2 e1− x |
5. |
x3 cos 2x |
6. |
5 1− 3x |
|||||
7. |
x |
|
8. |
ln(10 + x) |
9. |
4 16 + x |
1− x
10.x arctg 3x
Завдання 10. Користуючись розкладом в степеневий ряд, обчислити наближено; взяти вказане число членів розкладу, оцінити похибку.
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
dx |
|
|||||||
1. |
∫arctg x2dx |
(3 члени) |
2. |
∫ |
(4 члени) |
|||||||||||||
1− x4 |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
3. |
0,1 |
− |
x3 |
(4 члени) |
4. |
0,1 |
dx |
|
|
|
(2 члени) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫e |
2 dx |
∫ |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 1+ x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin x |
|
|
|
|
|
|||
5. |
∫ 1+ x5 dx |
(3 члени) |
6. |
∫ |
dx |
(3 члени) |
||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
∫ |
sin 2x |
dx |
(2 члени) |
8. |
∫e |
− x3 dx |
(3 члени) |
||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
0,5 |
arctgx2 |
|
|
|||||||
9. |
∫ x4 sin xdx |
(4 члени) |
10. |
∫ |
dx |
(3 члени) |
||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання 11. Знайти розклад в степеневий ряд за степенями х розв′язку диференціального рівняння (записати три перших, відмінних від нуля, члени цього ряду).
1. y′ = xy − y 2 |
y(0) = 0,2 2. y′ = e2x + 3xy2 |
y(0) = 1 |
88
3. |
y′ = 2cos x − xy2 |
y(0) = 1 |
4. y′ = 2x + e3y |
y(0) = 0 |
|||||||||||
5. |
y′ = xy + e y |
|
y(0) = 0 |
6. y′ = x2 − y2 |
y(0) = 1/ 2 |
||||||||||
7. |
y′ = e4x + 2xy2 |
y(0) = 1 |
8. y′ = x2 − 3xy + y 2 y(0) = 0,5 |
||||||||||||
9. |
y′ = 3cos 2x − xy3 |
y(0) = 1 |
10. y′ = xex + 2y2 |
y(0) = 0 |
|||||||||||
|
Завдання 12. Розкласти в ряд Фур′є функцію f (x)з періодом 2π , |
||||||||||||||
|
|
a, якщо -π < x ≤ 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
яка задана так: b, якщо 0 < x ≤ π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
a = −1, |
b = 2 |
|
6. |
a = −2 , |
b = 1 |
|||||||||
2. |
a = 3 , |
b = −1 |
7. |
a = 1, |
b = 4 |
||||||||||
3. |
a = 1, |
b = −2 |
8. |
a = 1, |
b = 3 |
||||||||||
4. |
a = −4 , |
b = 1 |
|
9. |
a = −1, |
b = 4 |
|||||||||
5. |
a = −3 , |
b = 1 |
|
10. |
a = −2 , |
b = 3 |
|||||||||
|
Завдання 13. |
Розкласти в ряд Фур′є функцію з періодом 2π , |
|||||||||||||
задану на інтервалі − π < x ≤ π формулою: |
|
||||||||||||||
1. |
f (x) = |
1 |
|
|
|
x |
|
|
6. |
f (x) = |
1 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|||
2. |
f (x) = |
1 |
|
|
|
x2 |
|
7. |
f (x) = |
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||
3. |
f (x) = − |
2 |
x |
|
8. |
f (x) = − |
2 |
x2 |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|||||||||
4. |
f (x) = − |
1 |
x2 |
|
9. |
f (x) = |
3 |
x |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|||||||
5. |
f (x) = |
4 |
x |
|
|
10. |
f (x) = |
3 |
x |
2 |
|||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
89
Завдання 14. Розкласти в ряд Фур′є функцію f (x) задану на інтервалі − l < x ≤ l за формулою f (x) = ax + b , якщо
1. |
a = 2 , |
b = 1, |
3. |
a = −1, |
b = 3 , |
5. |
a = 2 , |
b = −1, |
7. |
a = 2 , |
b = 5 , |
9. |
a = 2 , |
b = −4 , |
l = 3 |
2. |
a = 1, |
b = 2 , |
l = 3 |
l = 2 |
4. |
a = 1, |
b = 2 , |
l = 4 |
l = 4 |
6. |
a = −4 , |
b = 2 , |
l = 5 |
l = 4 |
8. |
a = 4 , |
b = 2 , |
l = 4 |
l = 6 |
10. |
a = −2 , |
b = −4 , |
l = 6 |
Завдання 15. Розкласти в ряд Фур′є функцію |
f (x) задану на |
інтервалі 0 < x ≤ l ( в прикладах з непарними |
номерами по |
косинусам, в прикладах з парними номерами по синусам).
1.f (x) = 3x + 1
3.f (x) = x − 3
5.f (x) = 2x − 1
7.f (x) = 8 + x
9. |
f (x) = 3 − x |
l = 2 |
2. |
f (x) = 2 − x |
l = 3 |
4. |
f (x) = x − 1 |
l = 3 |
6. |
f (x) = x − 4 |
l = 4 |
8. |
f (x) = x + 3 |
l = 5 |
10. |
f (x) = 5 + x |
l = 2 l = 4 l = 2 l = 2 l = 4
90
ЛІТЕРАТУРА
1. Вища математика: Збірник задач: Навч. посібник /
В.П.Дубовик, І.І.Юрик, І.П.Вовкодав та ін; За ред.
В.П.Дубовика, І.І.Юрика. К.:-К.:А.С.К., 2001.-480 с. 2. Высшая математика: Учеб. пособие/ Под общ. ред.
П.Ф. Овчинникова.-К.: Вища шк., 1989.-679 с.
3. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. –Мн.: Узд. БГУ, 1973.-532 с.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2: Учебное пособие для студентов втузов.-М.: Высш. школа,
1980.-365 с.
5. В.П.Дубовик, І.І.Юрик. Вища математика.-К.:”Вища школа”,1993. -648 с.
6. Запорожець Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу.-М.:Высш школа,1964.-
480 с.
7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Для втузов.Т.2.-М.:”Наука”,1985.-576 с.
8. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие.-М.: Высш.шк.,1989.-383 с.
9. Сборник задач по курсу высшей математики. Под ред. Г.И.Кручковича. Учебное пособие для втузов.-
М.: Высш. школа, 1973.-576 с.
10. Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М. Вища математика. Кн. 2. Диференціальне та інтегральне числення функції однієї змінної. Ряди.-К.:”Либідь”,
1994.-352 с.
11. Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М. Вища математика. Кн. 3. Диференціальне та інтегральне числення функції багатьох змінних. Диференціальні рівняння.-К.:”Либідь”, 1994.-352 с.
12. Шмелев П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях: Учеб. пособие для студентов втузов.-
М.: Высш. шк., 1983.-176 с.