2. Practice questions about the text
In proving math propositions or theorems it is necessary to accept certain logical principles or rules. For the most part these are familiar to the reader through frequent usage. One of these principles, the so-called law of the excluded middle, is to the effect that any meaningful statement is either true or false.
For
example, the statement "if
,
then—a2
> 0"
has been proved true while the assertion "an integer a
exists
such that 0<a<l" has been shown to be false. Acceptance of
the principle of the excluded middle forces the conclusion that a
proposition is true if it has been shown to be not false and that it
is false if demonstrated to be not true.
The principle of non-contradiction is also assumed; that is, a statement cannot be both true and false. If an assertion has been shown to be true, then it may not also be false; if false, then it is not true.
Generally, propositions or theorems we wish to prove (or disprove) will be in the form of" if..., then''' statements. For example, "if a>0, then — a<0" or "if a and b are integers, then (—a) b=—(ab)". Such propositions maybe represented symbolically in the form "if p, then q" or "p implies q", where p and q stand for certain assertions. In the first example, p is the assertion "a>0", while q is "—a<0". Conventionally, p is styled the hypothesis of the proposition and q the conclusion. Regarding the proposition "if p then q", three questions maybe asked: Is p true? Is q true? Is the proposition itself true? Usually, it is with the last that we are concerned. For example, consider the assertion: "if axioms 1 through 15 are valid, then 0<1". Ignoring the question of truth or falsity of the individual statements "Axioms 1 through 15 are valid" and "0<1", we may concern ourselves solely with proving that if we assume the axioms to be valid, then it is necessarily follows that 0< 1.
As far as the axioms are concerned, we shall say that they are true in the sense that we simply accept them as such. We assert them to be the basic truths upon which all that follows may be justified. In this sense then, all consequences of the axioms, for example, 0< 1, will be spoken of as being true.
3. What's the English for:
пропозиція, судження, доказ, формалізована мова, власне им’я, константа, змінна, сентенціональні зв’язки, істина, брехня, операторы, кванторы, імплікація, квантифікація, правила выводу, правило підстановки, логічні вихідні символы, пропозиціональне числення, несуперечність, незалежність, істиннісні таблиці, роздільна процедура,функціональне числення першого порядку, антецедент, консеквент, велика (мала) посилка, дуальність, предикативне числення, кон'юнкція, диз'юнкція
4.Comment on the given translation. Practice back translation:
|
Church A. Introduction to Mathematical Logic. — Princeton: 1956, Vol. I, pp. 47-49
|
А. Чёрч. Введення до математичної логіки. - М.: 1960, т. I. С. 48-49.
|
|
The Logistic Method |
Логічний метод |
|
1. In order to set up a formalized language we must, of course, make use of a language already known to us, say, English or some portion of the English language, stating in that language the vocabulary and rules of the formalized language.
|
Для того, щоб побудувати формалізовану мову, ми повинні, звичайно, скористатися якою-небудь вже відомою нам мовою, наприклад, англійською або якою-небудь його частиною, і в термінах цієї мови утворити словник і сформулювати правила формалізованої мови. |
|
2. Whenever we employ a language in order to talk about some language (itself or another), we shall call the latter language the object language, and we shall call the former the metalanguage.
|
Кожного разу, коли ми користуватимемося якою-небудь мовою для того, щоб говорити про неї або про іншу мову, ми цю останню мову називатимемо мовою-об'єктом, або об'єктною мовою, а перший - метамовою.
|
|
3. Our procedure is not to define the new language merely by means of translations of its expressions (sentences, names, forms) into corresponding English expressions, because in this way it would hardly be possible to avoid carrying over into the new language the logically unsatisfactory features of English.
|
Наші дії не мають на меті визначити нову мову просто завданням перекладів його виразів(пропозицій, імен, форм) відповідними виразами англійської мови, оскільки при цьому навряд чи можна було б уникнути перенесення в нову мову певних властивостей англійської мови, що роблять його незадовільним з логічної точки зору.
|
|
4. Rather, we begin by setting up, in abstraction from all consideration of meaning, the purely formal part of the language, so obtaining an uninterpreted calculus or logistic system.
|
Навпаки, ми розпочнемо з того, що повністю відволікаючись від міркувань, пов'язаних зі змістом, будуємо чисто формальну частину нової мови, отримуючи при цьому неінтерпретоване числення, або логічну систему. |
|
5. After setting up the logistic system as described, we still do not have a formalized language until an interpretation is provided. This will require a more extensive metalanguage. However, it will proceed not by translations of the well-formed formulas into English phrases but rather by semantical rules which, in general, use rather than mention English phrases and which shall prescribe for every well-formed formula either how it denotes or else how it values. |
Після того, як ми описаним способом побудували логічну систему, ми все ж не маємо ще формалізованої мови до тих пір, поки не вказана інтерпретація.Для цього знадобиться ширша метамова. Проте, це робитиметься не шляхом перекладів на англійську мову правильно побудованих формул, а за допомогою семантичних правил, які в загальному випадку не стільки мають на увазі, скільки використовують англійські фрази і які для кожної правильно побудованої формули визначатимуть або яким чином вона означає, або яким чином вона набуває значень. |
|
6. The subject of formal logic, when treated by the method of setting up a formalized language, is called symbolic logic, or math logic, or logistic. The method itself we shall call the logistic method. |
Предмет формальної логіки, що вивчається методом побудови формалізованих мов, називається символічною логікою, або математичною логікою, або логістикою. Сам метод ми будемо називати логічним методом. |
|
7. Familiar in maths is the axiomatic method, according to which a branch of maths begins with a list of undefined terms and a list of assumptions or postulates involving these terms, and the theorems are to be derived from the postulates by the methods of formal logic.
|
У математиці звичайним є аксіоматичний метод, відповідно до якого всяка галузь ма-тематики розпочинається зі списку невизначуваних термінів і списку положень, що приймаються, або постулатів,які включають ці терміни, з яких теореми повинні виводитися засобами формальної логіки. |
|
8. If the last phrase is left unana-lyzed, formal logic being presupposed as already known, we shall say that the development is by the informal axiomatic method. And in the opposite case we shall speak of the formal axiomatic method. |
Якщо остання фраза залишається нероз'ясненою(причому формальна логіка передбачається вже відомою), то ми говоримо, що побудова ведеться за допомогою неформального аксіоматичного методу. Інакше ми говоримо про формальний аксіоматичний метод. |
|
|
|
|
|
|
Read the Ukrainian text and write its annotation and abstract in Ukrainian, then translate them into English. Analyse the models of the annotation and the abstract of the following the text.