3. Выбор численных методов для решения задач анали­за

Как видно из рис. 3.2, большинство задач анализа в САПР сводится к решению систем алгебраи­ческих и обыкновенных дифференциальных урав­нений.

Для решения систем нелинейных алгеб­раических уравненийприменяютитерационные методы. Главными показателями эффективности этих ме­тодов являются вероятность и скорость сходимости ите­раций к корню системы.

Наибольшей скоростью сходимости среди применяе­мых в САПР методов обладает метод Ньютона, основан­ный на линеаризации исходной системы уравнений и вычислении нового приближения к корню путем решения линеаризованной системы.

Пример применения метода Ньютона при нахождении корня некоторого уравненияf (x) = 0 проиллюстрирован на рис.4.1а. Выбрав некоторое началь­ное значение аргументах₀, находят уравнение касательной к графику функцииf (x) в точке (х₀,f (x₀)). Затем ищут кореньх₁этого уравнения (абсциссу точки пересечения касательной с осью абсцисс). Для аргументах₁повторяют указан­ные действия, в результате чего получают аргументх₂. С каждым последу­ющим шагом итерации получаемое значение аргумента приближается к дейст­ви­тельному решению уравненияf (x) = 0. Процесс завершают наi-м шаге, когда достигают необходимой точности определения значения корня, т.е. когда

       или, (4.6)

где δ_yиδ_х— допустимые величины погрешностей определения значения функции и корня уравнения.

Однако метод Ньютона име­ет ограниченную область сходимости — итерации сходят­ся, если начальное приближение было выбрано в доста­точно малой окрестности корня. Наличие экстремума или разрыва функции между выбранным начальным приближением и корнем приведет к ошибке, рис. 4.1б.

Поэтому в САПР находят применение также итера­ционные методы, для которых имеются сравнительно простые способы обеспечения сходимости. Недостаток этих методов — меньшая скорость сходимости, что при­водит к значительным затратам машинного времени. Основными представителями этих методов являются ре­лаксационные методы.

Для решения систем линейных алгебраиче­ских уравнений(ЛАУ) в различных процедурах автоматизированного проектирования ис­пользуетсяметод Гаусса, заключающийся в последова­тельном исключении неизвестных исходной системы, иматричный метод. Последний более экономичен и легче форма­лизу­ется, поэтому используется значительно чаще.

Решение дифференциальных уравненийв САПР выполняется с исполь­зо­­ва­ни­емметодов численного интегрирования. Известно несколько таких мето­дов, наиболее простыми из которых являютсяметод прямоугольниковиметод трапеций.

Все методы предполагают дискретизациюпеременной интегрирования — разбиение отрезка интегриро­вания на некоторое количество равных или неравных интервалов. Вметоде прямоугольниковинтеграл вычисляется как сумма площадей прямоугольников, рис.4.2а:

, (4.7)

где Δx = (x_i+1 – x_i) — величина интервала;n— количество интервалов. Как видно из рисунка, метод дает весьма большую погрешность, которая будет тем больше, чем больше величина интервалов Δx.

Метод трапеций(метод Ромберга) предполагает суммирование площадей трапеций, рис.4.2б:

, (4.8)

Метод несколько увеличивает объем вычислений, но дает значительно меньшую погрешность.

В методе парабол(методе Симпсона) участки кривойf (x) аппрокси­ми­ру­ются не прямыми, как в предыдущем методе, а параболами. Метод позволяет получить весьма точный результат, но приводит к значительно большему объему вычислений.