§ 5. Смешаноё произведение трёх векторов

Литература: (1, с. 78-80; 2, с. 69-71; 3, с. 239-241; 4, с. 40-43)

1. Определение и свойства смешанного произведения трёх векторов.

Смешанным произведением трёх векторов иназывается их векторно-скалярное произведение:

(24)

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не изменяется, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке: .

2. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак.

Если векторы заданы своими координатами ,,, то

(25)

Если , то тройка векторов правая; если, то – левая.

Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов служит условие:

(26)

Объект параллелепипеда, построенного на векторахии объёмобразованный ими треугольной пирамиды находится по формулам:

(27)

(28)

Эти формулы выражают геометрический смысл смешанного произведения.

2. Примеры

5.2.1. Доказать, что векторы ,икомпланарны.

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов по формуле (25)

Так как , то векторы и- компланарны.

5.2.2. Вычислить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках ,,,

Решение. Введём векторы ,,,.

Найдём

Следовательно, (куб.ед.)

5.2.3. Вычислить , зная, что ,,.Векторы иобразуют правую тройку и взаимно перпендикулярны.

Решение. , где- угол между вектороми вектором. Векторыиколлинеарны, поэтому. Так как по условию векторы,иобразуют правую тройку, то. Следовательно,. Найдём. Тогда.

3. Вопросы для самопроверки

Что называется смешанным произведением векторов? Как оно обозначается?

Каковы свойства смешанного произведения?

Как считается смешанное произведение векторов, заданных своими координатами?

Каково условие компланарности векторов?

Каков геометрический смысл смешанного произведения?

4. Примеры для самостоятельного решения

5.4.1. Найти смешенное произведение векторов ,,

5.4.2. Найти смешанное произведение векторов ,,

5.4.3. Установить, компланарны ли векторы:

а) ,,

б) ,,

в) ,,

5.4.4. Показать, что точки ,,илежат в одной плоскости

5.4.5. Определить, какой является тройка векторов ,,(правой или левой), если:

а) ,,;

б) ,,;

в) ,,.

5.4.6. Векторы ,,, образующие правую тройку векторов, взаимно перпендикулярны. Зная, что,,, вычислить.

5.4.7. Вектор перпендикулярен к векторами, угол между векторамииравен. Зная, что,,, вычислить.

5.4.8. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах ,,.

5.4.9. Вычислить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках ,,и

5.4.10. Вычислить объём треугольной пирамиды с вершинами ,,и.

5.4.11. Даны вершины тетраэдра ,,,. Найти длину его высоты, опущенной из вершины.

5. Ответы к примерам

5.4.1. 5.4.2.

5.4.3. а) нет; б) да; в) да. 5.4.5. а) левая; б) правая; в) левая

5.4.6. 5.4.7.

5.4.8. 5.4.9.

5.4.10. 5.4.11.

Часть 3. Аналитическая геаметрия на плоскости и в пространстве

§ 1. Предмет аналитической геометрии. Простейшие задачи. Преобразование координат

Литература: (1, с.38-41, 105-108; 2, с. 12-20; 3, с. 33-41; 4, с. 34-40)

Аналитическая геометрия рассматривает изучение геометрических задач средствами алгебры на основе метода координат

8. Простейшие задачи аналитической геометрии

Расстояние между двумя точками иопределяется по формуле:

(1)

Деление отрезка в данном отношении

Если точка лежит на прямой, проходящей через данные точкии, и делит отрезокв отношении, то координаты точки М определяются по формулам:

; ;.(2)

В частности, если точка делит отрезокпополам, то,

; ;.

Пример 1. На оси ординат найти точку, равно удалённую от точек и.

Решение. Искомая точка М имеет координаты . Найдём её расстояния до точек А и В по формуле (1)

;

;

По условию , т.е., или. Итак, искомая точка

Пример 2. Даны вершины треугольника ,,. Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

Решение. Чтобы найти длину биссектрисынужно знать координаты точки. Воспользуемся тем, что биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е.

Найдём длинны сторон АВ и ВС по формуле (1):

;

.

Тогда.

По формуле (2) определим координаты т. :

;

;

,

.

Следовательно,

.

9. Полярная система координат

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом луча, исходящего из этой точки, называемого полярной осью, и масштаба для изменения длинны.

Полярными координатами произвольной точки М называются числа - полярный радиус, и- полярный угол (рис 1).

Обычно положительным считается поворот против часовой стрелки. Исходя из определения, полярный радиус, а полярный угол имеет бесконечно много возможных значений.

Связь между декартовыми и полярными координатами определяются формулами:

; (3)

; (4)

При этом предполагается, что полярность ось совпадает с положительным направлением оси абсцисс, начало координат – с полюсом, и все три оси имеют общую единицу масштаба (рис. 2).

Пример 3. В полярной системе координат даны точки ,,. Определить декартовы координаты этих точек.

Решение. Воспользуемся формулой (3) ;.

Для данных точек имеем:

; ;;

; ;;

; ;;

10. Преобразование координат

Формулы , выражающие координаты в одной системе через её координаты в другой системе, называются формулами преобразования координат.

Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге осей определяется по формулам:

, (5)

где и- координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей:,- координаты той же точки относительно новых осей;- координаты нового началастарых осей (рис. 3).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол (рис. 4) определяется по формулам:

; .(6)

Пример 4. Оси координат повёрнуты на угол . Координаты точекиопределены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

Решение. Воспользуемся формулами (6) ;, где- угол поворота,- координаты точек в новой системе,- координаты точки в старой системе.

Тогда для точки А получим:

;

.

Следовательно, .

Аналогично для точки В имеем: ;

. Следовательно, .

11. Вопросы для самопроверки

Как определяется расстояние между двумя точками?

Как находятся координаты точки, делящей отрезок в данном отношении?

Как задаётся полярная система координат?

Какая существует связь между декартовыми и полярными координатами?

Как определяются параллельный перенос и поворот декартовых прямоугольных осей координат?

12. Примеры для самостоятельного решения

1. Даны точки ,,,. Вычислить расстояние между: а) А и С; б) В и.

2. Доказать, что треугольник с вершинами ,иравнобедренный.

3. На оси абсцисс найти точку, расстояние которой от точки равно 12.

4. Даны вершины треугольника ,,. Вычислить длину его медианы, проведённой из вершины А.

5. Даны три вершины параллелограмма ;и. Найти его четвёртую вершину, противоположную В.

6. Определить координаты концов отрезка АВ, который точками иразделён на три равные части.

7. Построить точки ,,.

8. Даны полярные координаты точки . Найти её прямоугольные координаты.

9. Сделан параллельный перенос осей координат в точку . Известны старые координаты точки. Определить новы координаты этой же точки.

10. На плоскости дана точка. Систему координат повернули вокруг начала координат так, что новая ось прошла через точку М. Определить старые координаты точки А, если известны её новые координаты,.

13. Ответы к примерам

1.5.1. а) АС=7; б) =13. 1.5.3.и.

1.5.4. . 1.5.5..

1.5.6. ,. 1.5.8..

1.5.9. ;. 1.5.10..