1.3.1. Фундаментальные уравнения теории упругости

Среди пространственных задач теории упругости наибольшее значение имеют задачи Буссинеска (Boussinesq, 1885), Р. Миндлина (Mindlin, 1950) и К. Кельвина (Kelvin). Область, занятая упругой сре-_{дой, – полупространство}0£ z _.

Задача Буссинеска [8, 32]. Граница области – горизонтальная плоскость z = 0 – везде свободна от напряжений, кроме начала коор-динат, в котором приложена сосредоточенная вертикальная сила R (рис. 1).

Решение задачи даётся формулами:

3P ^x²z (1- 2v)^ 1 ( R + z)x² z ^{ х} 2p _{ R}⁵ 3 _ R(R + z) _{(R + z} ² _R³ _R³ _

3P ^ y²z (1- 2v)^ 1 2R + z)y² z ^{ y} 2p _{ R}⁵ 3 ^ R(R + z) _{(R + z} ² _R³ _R^{3 }_

3P z³ P 3 1 P ^z 2p _R⁵ _z² 2p _1+ _r 2 _^5/2 _z²

 

s_z = ¹ nK_iP, _{txz =} ^{3P xz}2; i=1

t_yz = ^{3P yz}2, K = ^{3 1} ;

2

^{1 } _z ^2_

t = ^{3P xyz} - ^{(1- 2v) 2R + z xy } ,

 ^{R R z R} 

_где R= x² + y² +z² _.

12

M(0; 0; 0)

M(x; y; z)

Рис. 1. Схема к задаче Буссинеска

Перемещения, параллельные осям координат:

u = ^P  ^xz - 1- 2n) ^x ;

4pG _R³ R(R + z)_

^{v =} 4pG ^ yz^{- (1- 2n)} R(R + z)^;

w = _4pG ^{ z}2+21- n)_R^ _.

На основе решения задачи Буссинеска путём интегрирования мо-гут быть получены решения задач для полупространства при действии произвольной вертикальной нагрузки, распределённой по некоторой площади на поверхности полупространства. Некоторые решения этой задачи приводятся в [8].

Аналогом задачи Буссинеска является задача о сосредоточенной касательной силе, приложенной к поверхности полупространства. Не-которые формулы этой задачи приводятся в [8]. Посредством суперпо-зиции решений данной задачи и задачи Буссинеска можно получить решение для произвольной наклонной нагрузки на поверхность полу-пространства.

Возможность применения рассмотренных выше решений для опре-деления напряжений в грунтовых основаниях основывается на прибли-жённой аппроксимации связи между напряжениями и деформациями линейными соотношениями закона Гука, что справедливо для некоторо-го диапазона допредельных напряжённых состояний. Отсюда следует,

13

что данные решения тем лучше будут соответствовать реальному рас-пределению напряжений в грунте, чем меньшее развитие получили в основании области предельного равновесия и тем более течения.

Так как законы деформирования грунта для нагрузки и разгрузки неодинаковы, то следует избегать применения решений теории упру-гости без учёта последовательности изменения силовых факторов, т.е. без учёта истории нагружения основания.

Наконец, следует отказаться от формального использования ре-шений теории упругости в случаях, когда решением предсказываются значительные растягивающие напряжения в грунте, поскольку в дей-ствительности грунт практически не способен сопротивляться растя-жению.

Задача Р. Миндлина [8, 32]. Сила Р приложена внутри упругого полупространства на расстоянии с от поверхности основания (рис. 2).

Решение задачи даётся следующими формулами. Перемещение в радиальном направлении:

P´r ^z - c (3- 4u)(z - c) 4(1- u)(1- 2u) 6cz(z +c)^ 16pG(1- u) _{ R} ³ _R2³ R₂(R₂ + z + c) _R2⁵ _

^где G = ^E (1+ u) ^{– модуль сдвига;} 2

R = (z-c)² +r²; R = (z+c)² +r² _.

^{Плоскость Z=0} (0;0;-c)

X

(0;0;+c)

2 R1

r

Y _(x;y;z)

Z

Рис. 2. Схема к задаче Р. Миндлина для вертикальной силы, приложенной внутри упругого полупространства

14

Перемещение в вертикальном направлении:

P ^3- 4u 8(1- u)² -(3- 4u) (z -c)² 16pG(1- u) _{ R} R_{2 R} ³

₊ (3- 4u)(z +c)² - 2cz ₊ 6cz(z +c)^{2 }_; ^{R R} 

_sx₌ 8 (P u)^(1-2 )(z-c) _- 3x²(z-c) ₊ (1-2 )[3(z-c)-4 (z+c)]_-

_- 3(3-4 )x²(z-c)-6c(z+c)[(1-2 )z-2 c]_- 30cx z(z+c) _-R R

4(1 u)(1-2 ) _ x² x^{2 }

R (R +z+c _ R (R +z+c _R2² _

_{s =} P ^(1- 2u)(z - c) _- 3y²(z -c) ₊ (1- 2u)[3(z - c)- 4u(z +c)]_-8p(1- u)_ R R R

_- 3(3- 4u)y²(z -c)-6c(z +c)[(1- 2u)z - 2uc] _- 30cy²z(z +c) _-R R

_- 4(1- u)(1- 2u) _1- y² _- y^{2 } _; R (R + z +c) _ R (R + z +c) R_{2 }

_{s =} P ^_- (1- 2u)(z - c) _- (1- 2u)(z - c) _- 3(z - c)³ _-

8p(1- u) _ R ³ R₂³ R ⁵

_- 3(3- 4u)z(z + c)² - 3 (5z - c) _- 30cz(z + c)³ _;

^R25^R27

_{t =} Py ^_- (1- 2u) ₊ (1- 2u) _- 3(z - c)² _-

8p(1- u) _ R ³ R₂³ R ⁵

_- 3(3- 4u)z(z + c) - 3 (3z + c) _- 30cz(z + c)^{2 }_;

^R25^R27

15

t = ^Px - ^{(1- 2u)} + ^{(1- 2u)} - ^{3(z - c)}2-

8p(1- u) _ R ³ R₂³ R ⁵

_- 3(3- 4u)z(z + c) - 3c(3z + c) _- 30cz(z + c)² _.

^R25^R27

Решение задачи даётся формулами:

_{u =} P ^3- 4u ₊ 1 ₊ x² ₊ (3- 4u)x² ₊ 2cz _1- 3x² _+

16pG(1- u)_ R R R R R _ R _

₊ 4(1- u)(1- 2 )_{ -} x² _^_; R + z +c _ R (R + z+c)_

Pxy ^ 1 (3-4u) 6 z 4(1- u)(1-2u)^

16pG(1- u)_R³ _R ³ _R ⁵ _{R (R +z+c)}² _

(33)

(34)

Px ^z-c (3-4u)(z-c cz z+c) 4(1- u)(1- u)^ 1 pG 1- u)_{ R}³ ₂³ ₂⁵ R (R +z+c) _

^{Плоскость Z=0} (0;0;-c)

X

(0;0;+c)

P

2 R1

r

Y _(x;y;z)

Z

Рис. 3. Схема к задаче Р. Миндлина для горизонтальной силы, приложенной внутри упругого полупространства

16

Px ^ 1-2 (1-2 )(5-4 ) 3x² 3(3-4 )x^{2 x} 8p(1- u) _{ 1 2}³ _{1 2}⁵

- _{4(1 u)(1-2 ) }3-_x²_{( R2 +z+c  c} 3 -(3-2 )(z+ )+_5x2 ;

^{R (R z c}  ^{R (R2 z c)} ^{R  R} _

_sy₌ Py ^1-2u ₊ (1-2 )(5-4 ) _- 3 5_- 3(3-4 )y² _-1 2 1 2

- ^{4(1- u)(1- 2 )} - ^y2^{( R}2^{+ z+c)} + ^{6 }c-(1- u)(z+c)+ ^5y2^z ;

R (R + z+c)² _ R (R2+ z+c) _{2 } R _

Pz ^1- 2u 1- 2u 3(z - c²) 3(3- 4u)(z + c)^{2 z} 3 3 5 5

1 2 1 2

+ ^{6c }c + (1- 2u)(z +c) + ^5z(z ₂^c)2^; 2 2

_{t =} Pxy _3(z - c) _- 3(3- 4u)(z +c) ₊ c _{1- 2u +} 5z(z +c) _; ^{p(1- u)} _ ^{R R R}  ^R _

_{t =} P _- (1-2 )(z-c) ₊ (1- 2 )(z -c) _- 3x²(z-c) _-8 (1- u)_ R R R

- ^{3(3- u)x}2^{(z +c)} - - ^c _z(z+c -(1- u)x² - ^5x2^{z(z +c)}_ ; ^{R R}  ^R 

_t y₌ 8pPy u)^_-1-2u ₊1-2u _- 3x² _- 3(3-4u)x² _-

4( - u)(1-2u)x^{2 } x²( R +z+c) ^ cz^ 5x^{2  R (R +z+c)2} _ R ²(R +z+c)² _ R ⁵ _ R ⁵ _

17

Задача Л. Кельвина [32]. Сила приложена на значительной глу-бине ( z Ò ), когда её влияние на деформацию граничной плоскости (z = 0) незначительно.

Решение задачи даётся следующими формулами. Перемещения в направлении оси х:

_{u =} P(l + m) xz _.

8pm(l +2m) r³

Перемещения в направлении оси y:

_{u =} P(l + m) yz_.

8pm(l +2m) r³

Вертикальные перемещения:

P( + m) ^z² l +3 1^ 8pm(l +2m) _r³ l + m r_

В горизонтальной плоскости приложения нагрузки осадки опре-деляются формулой:

(3- 4u)(1+ u) 8p(1- u)r

Напряжения определяются формулами:

s_r = P/8p(1- u)(1- 2u)z(r² + z²) ^-3/2 -3r²z(r² + z²) ^-5/2 ;

s_Q = P/8p(1- u)(1- 2u)z(r² + z²) ^{-3/ 2};

s_z = P/8p(1- u)(1 2u)z(r² + z²) ^-3/2 -3z(r² + z²) ^-5/2 ; s_rz = P/8p(1- u)(1-2u)r(r² +z²) ^-3/2 -3rz (r² +z²) ^-5/2].

В формулах l и m – постоянные Ляме;

l E /(1 u)(1 2u); m = E/2(1+ u).

Решение Р. Миндлина применяют для расчёта свай (Н.М. Дорош-кевич, А.А. Бартоломей и др.), фундаментов мелкого заложения (М.И. Горбунов-Посадов, Р.С. Шеляпин, В.В. Леденев и др.). Однако по фундаментальному решению упругая среда одинаково сопротивля-ется сжатию и растяжению. Грунт на растяжение практически не рабо-

18

тает. Вследствие этого за силой должны возникать разрывы сплошно-сти (для реальных грунтовых оснований).

Предлагаются [7, 8] приближённые методы снижения растяги-вающих напряжений, например, введением двойных сил [7, 8] или принятие их равным нулю.

Плоские задачи теории упругости. Задача Фламана [8, 32]. Относится к числу статических задач теории упругости. Областью, занятой упругой средой, в данной задаче является полупространство 0 z ¥ _{(рис. 4). Граница области z = 0 свободна от напряжений везде,} за исключением оси у, вдоль которой приложена линейная нагрузка

равномерной интенсивности R.

Рассматриваемая задача принадлежит к классу задач плоской де-формации. Это обусловлено структурой области и граничных условий: очевидно, что все плоскости, перпендикулярные оси у, являются в данной задаче равноправными, поэтому все искомые функции не зави-сят от координаты у.

Следовательно, достаточно рассмотреть только одну из таких плоскостей, например плоскость XOZ. Также очевидно, что компонен-та n вектора смещения вдоль оси у тождественно равна нулю, однако нормальное напряжение s_y отлично от нуля. Из сказанного следует, что вектор смещения в задачах этого класса равен

S =ui +wk,

а из соотношений Коши – что тензор деформации имеет вид

 _e

Э = ^ 0

1

 ₂ ^xz

0

0

0

¹  ²₀xz _.

^ez 

P

О _{M(x;y;z) X}

Y _Z

Рис. 4. Схема к задаче Фламана

19

Из формул закона Гука в этом случае вытекает, что только одно касательное напряжение не равно нулю:

p = ^ 0

_t_xz

0 s _y

0

t_{xz } .

^{s z} 

Решение задачи:

s = ^{2P x}2^z _;

x² + z²

s = ^{2P z}3_;

x² + z² s _y = v s_X s_Z )_;

2P xz²

xz ^p x² + z² 2

В реальных ситуациях грунтовое основание нередко вполне обос-нованно может рассматриваться как полупространство, однако внеш-ние нагрузки, как правило, только в немногих случаях и с большой степенью условности могут быть сведены к линейной.

Из этого не следует, однако, практическая бесполезность задачи Фламана. Решения задачи Фламана могут быть легко обобщены на случай полосовой нагрузки, для которого приводится ряд важных ин-женерных задач.