Математический анализ

12

(метод ломаных Эйлера). Теорема суще ствования и единственности для задачи Коши.

Уравнения с разделяющимися пере менными. Однородные уравнения пер вого порядка. Линейное уравнение пер вого порядка. Уравнение Бернулли.

Устойчивость решения. Критерий ус тойчивости.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1.Пределы. Требуется вычислить предел, заданный для каждого вари анта в прил. 1.

2.Производные. Требуется вычислить производные функций, задан ных для каждого варианта в прил. 2.

3.Применение производной к исследованию функций. Требуется ис следовать функцию и построить ее график (конкретная функция для каждого варианта дана в прил. 3).

4.Производная по направлению и градиент. В прил. 4 для каждого ва

рианта приведены: функция z = f(x, y), точка A(x0, y0) и вектор a(x1, y1). Требу ется найти в точке A производную функции f(x, y) по направлению a.

5.Экстремумы функций нескольких переменных. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x, y) в области, ограниченной заданными линиями (конкретная функция и уравнения конкретных линий для каждого варианта приведены в прил. 5).

6.Неопределенный интеграл. Требуется вычислить неопределенный интеграл (конкретный интеграл для каждого варианта приведен в прил. 6).

7.Определенный интеграл. Требуется вычислить определенный инте грал (конкретный интеграл для каждого варианта приведен в прил. 7).

8.Применение определенного интеграла к вычислению площадей.

Требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя линиями (уравне ния конкретных линий для каждого варианта приведены в прил. 8).

9.Ряды. Требуется исследовать сходимость ряда, приведенного для каждого варианта в прил. 9.

10.Дифференциальные уравнения. Требуется найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения, приведенного для каждо го варианта в прил. 10.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1.Общее понятие функции. Функция одной переменной.

2.Способы задания функций: аналитический, графический, таблич

ный.

3.График функции. Свойства функций одной переменной: четность, монотонность, выпуклость, периодичность.

4.Элементарные функции: линейная функция, парабола, гипербола, многочлены.

5.Элементарные функции: степенная функция, показательная, лога рифмическая функция.

6.Последовательности и ряды чисел, предел последовательности и сумма ряда, монотонные, ограниченные последовательности. Геометрическая

иарифметические прогрессии.

7.Предел функции. Основные свойства пределов.

8.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение беско нечно малых.

9.Первый и второй замечательные пределы.

13

10.Непрерывность функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва.

11.Асимптоты графика функции.

12.Производная функции и ее геометрический смысл. Свойства произ

водной.

13.Дифференцируемость функции, первый дифференциал.

14.Производные основных элементарных функций.

15.Производная сложной функции и неявно заданных функций.

16.Инвариантность первого дифференциала.

17.Производные и дифференциалы высших порядков.

18.Свойства дифференцируемых функций.

19.Лемма Ферма.

20.Теоремы Ролля и Лагранжа.

21.Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

22.Ряд Тейлора.

23.Монотонность функции. Условия монотонности.

24.Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстре

мума.

25.Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

26.Общая схема исследования функции и построение графика с помо щью дифференциального исчисления.

27.Функция нескольких переменных как функция от точки в линейном пространстве.

28.Графическое и аналитическое описание функции нескольких пере

менных.

29.Пространственный график функции двух переменных. Линии и по верхности уровня.

30.Полное и частные приращения функции. Частные производные.

31.Дифференцируемость функции нескольких переменных, первый дифференциал, его геометрический смысл.

32.Производная по направлению.

33.Градиент и его геометрический смысл.

34.Производные и дифференциалы высших порядков.

35.Ряд Тейлора.

36.Необходимые условия экстремума. Достаточное условие для случая двух независимых переменных.

37.Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

38.Неопределенный интеграл и его свойства.

39.Основные приемы интегрирования: замена переменной, интегрирова ние по частям.

40.Табличное интегрирование. Интегрирование простейших рацио нальных функций. Рационализация интегрируемой функции.

41.Интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях (интеграл вероятности и др.).

42.Определенный интеграл как предел интегральных сумм.

43.Свойства определенного интеграла: линейность, аддитивность, теоре

14

ма о среднем.

44.Среднее значение функции.

45.Интеграл с переменным верхним приделом. Формула Ньютона — Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

46.Сходимость несобственных интегралов, признаки сравнения.

47.Кратные интегралы. Вычисление двойных интегралов с помощью по вторного интеграла. Интеграл Пуассона.

48.Числовые ряды. Сходимость числового ряда. Необходимое условие сходимости.

49.Гармонический ряд и ряд геометрической прогрессии.

50.Признаки сходимости знакопостоянных рядов.

51.Знакочередующиеся ряды.

52.Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

53.Степенные ряды. Область сходимости. Свойства степенных рядов.

54.Дифференциальные уравнения. Общее решение дифференциаль ного уравнения. Частные решения дифференциального уравнения. Задача с начальными условиями (задача Коши).

55.Приближенное решение задачи Коши (метод ломаных Эйлера). Тео рема существования и единственности для задачи Коши.

56.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

57.Однородные уравнения первого порядка.

58.Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

59.Уравнение Бернулли.

60.Устойчивость решения дифференциальных уравнений. Критерий устойчивости.

61.Линейные дифференциальные уравнения. Свойства решений линей ного уравнения. Определитель Вронского и его свойства.

62.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с по стоянными коэффициентами с помощью подстановки Эйлера.

63.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура решений линейных неоднородных уравнений. Принцип суперпозиции.

64.Поиск частных решений линейных неоднородных дифференциаль ных уравнений методом вариации постоянных. Подбор частных решений при специальном виде правой части уравнения.

65.Одномерные и двумерные отображения. Уравнения в конечных раз

ностях.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Ос н о в н а я

1.Соловьев В. И. Математика в экономической деятельности: Учебное пособие. – М.: Дрофа, 2008.

2.Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В., Шандра И. Г. Мате матика в экономике: Учебник: В 2 х ч. Ч. 2. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 560 с.

15

3.Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003. – 472 с.

4.Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Путко Б. А. и др. Практикум по выс шей математике для экономистов: Учеб. пособие. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003.

–423 с.

До п о л н и т е л ь н а я

5.Лебедев В. В., Журав С. М., Кирюшенков В. Н. и др. Высшая матема

тика для менеджера. – М.: Финстатинформ, 1999. – 137 с.

6.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевников Т. Я. Высшая математика в за дачах и упражнениях: В 2 х ч. Ч.1. – М.: Высшая школа, 1999. – 304 с.

7.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевников Т. Я. Высшая математика в за дачах и упражнениях: В 2 х ч. Ч.2. – М.: Высшая школа, 1999. – 416 с.

8.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2 х ч. Ч.1. – М.: Физматлит, 2000. – 424 с.

9.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2 х ч. Ч.2. – М.: Физматлит, 2000. – 415 с.

10.Малыхин В. И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М.: ИНФРА М, 2001. – 352 с.

11.Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Медведев Г. Н., Шишкин А. А. Ма тематический анализ в вопросах и задачах. – М.: Физматлит, 2001. – 480 с.

Вариант 2.

16

Вариант 7.